第四章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.dx等于( D )
A．－2ln2 B．2ln2
C．－ln2 D．ln2
[解析] 因为(lnx)′＝，
所以 dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.
2．把区间[a，b](aA．[，]
B．[(b－a)，(b－a)]
C．[a＋，a＋]
D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]
3．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，直线x＝a，x＝b(aA． f(x)dx B．－ f(x)dx
C． f(x)dx－adx D． f(x)dx－bdx
[解析] 由定积分的几何意义可知，S＝－ f(x)dx.
4．设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a，a]上的积分f(x)dx，由定积分的几何意义得f(x)dx的值为( B )
A．0 B．2f(x)dx
C. f(x)dx D.f(x)dx
5．下列等式不成立的是( C )
A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.sinxdx＝－2πsinxdx＋sinxdx
[解析] 由定积分的性质知选项A、B、D正确，故选C.
6．设物体以速度v(t)＝3t2＋t(单位v：m/s，t：s)做直线运动，则它在0～4 s内所走的路程s为( B )
A．70 m B．72 m
C．75 m D．80 m
[解析] 所走的路程为(3t2＋t)dt＝(t3＋t2)|＝(43＋×42)－0＝72(m)．
7．物体A以v＝3t3＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.
8．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为( B )
A. B.
C. D.
[解析] 阴影部分的面积为S＝(－x2)dx＝(x－x3)|＝－＝，而正方形OABC的面积为1，故点M取自阴影部分的概率为.
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30等于( A )
A．15 B．20
C．25 D．30
[解析] S10＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝12
又{an}为等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20.
∴S30＝3(S20－S10)＝3×(17－12)＝15.
10．由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为( D )
A．2 B．
C．4 D．
[解析] 联立
解得直线与抛物线的交点横坐标为x＝－1，
由题意得，由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，
直线x＝1围成的封闭图形的面积为：
(2x2＋4x＋2)dx
＝(x3＋2x2＋2x)＝＋2＋2＋－2＋2＝.
故选D.
11．若y＝(sint＋cost·sint)dt，则y的最大值是( B )
A．1 B．2
C．－ D．0
[解析] 先将sintcost化简为sin2t.
y＝dt
＝|
＝－cosx－cos2x＋
＝－cos2x－cosx＋
＝－(cosx＋1)2＋2.
当cosx＝－1时，ymax＝2.
12.|x2－4|dx等于( C )
A. B.
C. D.
[解析] 令f(x)＝|x2－4|＝
∴|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝(4x－x3)|＋(x3－4x)|
＝.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．一辆汽车的速度与时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为900m.
[解析] 根据题意，v与t的函数关系式为
v(t)＝
∴该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s＝v(t)dt＝tdt＋(50－t)dt＋10dt＝t2|＋(50t－t2)|＋10t|＝×400＋(2000－800)－(1000－200)＋(600－400)＝900(m)．
14．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形面积为.
[解析] 由y′＝－2x＋4，得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2.
则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.
由得记点C(2,2)．
所以S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
15．函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图像所围成的阴影部分的面积为，则k＝3__.
[解析] 由解得或
由题意得，(kx－x2)dx＝(kx2－x3)|＝k3－k3＝k3＝，∴k＝3.
16．曲线y＝ex，直线x＝0，x＝与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.
[解析] V＝π(ex)2dx＝πe2xdx＝π×e2x＝(e－1)＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算由直线y＝0和曲线y＝x2－6x＋5围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．(π≈3.14，精确到0.01)
[解析] 由题意，所围成的平面图形如图中的阴影部分，则绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
V＝π(x2－6x＋5)2dx
＝π(x2－6x＋5)2dx
＝π(x4－12x3＋46x2－60x＋25)dx
＝π(x5－3x4＋x3－30x2＋25x)|≈107.18.
18．(本小题满分12分)求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x在x＝－到x＝之间围成的图形的面积．
[解析] 如图画出y＝sin x与y＝cos x在[－，]上的图像，它们共产生三个交点，分别为(－，－)，(，)，(，－)．
在(－，)上，cos x>sin x，在(，)上，sin x>cos x.
∴面积S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx＝2 (sin x－cos x)dx＝2(－cos x－sin x) ＝4.
19．(本小题满分12分)用定积分表示曲线y＝x2，x＝k，x＝k＋2及y＝0所围成的图形的面积，并确定k取何值时，使所围图形的面积为最小．
[解析] 如图．
∴s＝x2dx＝＝－
＝
＝(3k2＋6k＋4)＝2＝2(k＋1)2＋.
∴当k＝－1时，S最小．
20．(本小题满分12分)在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，y0)，过切点A的切线与x轴的交点为C.
由y′＝2x知A点处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x.令y＝0，得x＝，即C(，0)．
设由曲线y＝x2(x≥0)与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC.
∵S曲边△AOB＝x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝BC·AB＝(x0－)·x＝x，
∴S＝x－x＝x＝，∴x0＝1，
∴切点A的坐标为(1,1)，
即过切点A的切线方程为2x－y－1＝0.
21．(本小题满分12分)设f(x)是二次函数，其图像过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积；
(3)若直线x＝－t(0[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵其图像过点(0,1)，∴c＝1，
又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴
∵f ′(x)＝2ax＋b，
∴
∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，f(x)的图像与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，
故所求面积S＝ (x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝.
(3)依题意，有
S＝ (x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝，
即t3－t2＋t＝，
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c满足下列条件：
(1)在x＝0处取极值2；
(2)曲线y＝f(x)与其上一点(0,2)处的切线所围成的图形的面积为，求a、b、c的值．
[解析] (1)∵f′(x)＝(x3＋ax2＋bx＋c)′
＝3x2＋2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0，f(0)＝c＝2.
∴f(x)＝x3＋ax2＋2.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，f′(0)＝0，
∴f(x)在点(0,2)处的切线即为y＝2，平行于x轴．
(2)令f′(x)＝0，得3x2＋2ax＝0，∴x＝0或x＝－.
当－＝0时，则a＝0，f(x)＝x3＋2，在(0,2)点取不到极值，
∴－≠0.
当－<0时，即a>0时，
解方程组得x＝0或x＝－a.
∴S＝ (x3＋ax2＋2－2)dx
＝＝－a4＋·a3
＝＝(a>0)．
∴a＝3.
此时f(x)＝x3＋3x2＋2，即a＝3，b＝0，c＝2.
当－>0时，即a<0时，
S＝ (－x3－ax2－2＋2)dx＝
＝－＋＝＝(a<0)，
解得a＝－3.
此时f(x)＝x3－3x2＋2，即a＝－3，b＝0，c＝2.
课件33张PPT。第四章定积分
本章总结知 识 网 络专题突破定积分就是用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求曲边梯形的面积和变速运动物体在某段时间内的路程，体现了无限细分和无穷累积的思维方法．
已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时间内所经过的路程s.专题一 ?定积分的概念典例 1 『规律总结』 利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形面积的方法来解决此问题．专题二 ?定积分的计算 求下列定积分：
[思路分析] 先由定积分性质将其分解，然后由牛顿－莱布尼茨公式求解．典例 2 『规律总结』 (1)熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再求定积分．
(2)明确定积分的积分区间，弄清积分的上限、下限后代入计算．应用定积分解决实际问题的四个步骤
定积分的概念来源于生活，在生活中也有着广泛的应用．本章重点讲解了用定积分求平面图形的面积及简单旋转体的体积等方面的应用．
解题步骤如下：
(1)画出图形．
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分的上、下限．
(3)确定被积函数，即表示平面图形的面积或旋转体体积的定积分的表达式．
(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出图形的面积或旋转体的体积．专题三 ?定积分的应用 如图所示，求由两条曲线y＝－x2,4y＝－x2以及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为( )典例 3 B[解析] 所围成的平面图形的面积(记为S)由两部分组成：一部分是y轴右边的图形的面积(记为S1)；另一部分是y轴左边的图形的面积(记为S2)．典例 4 『规律总结』 利用图形的对称性求解，可以使运算量减少．数形结合思想是一个重要的数学思想，也是一种常见的数学方法．一般来说，“形”具有形象、直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“数形对照”便于寻求思路、化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够进行严格的论证和定理求解．“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端，恰当地应用数形结合思想可以提高解题的速度，优化解题过程，这正如著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．专题四 ?数形结合思想 直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成的图形为面积相等的两部分，求k的值及直线的方程．
[思路分析] 利用图像分清直线所分割成的两部分图形，再分别用定积分表示，利用代数关系列方程求出k的值．
[解析] 如图所示．典例 5
C A 3．由y＝sinx及y＝－sinx在x∈[0，π]时所围成的图形的面积为( )
A．2 B．π
C．2π D．4DC 二、填空题
5．求由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲线梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间是______．
[解析] 如图，阴影部分就是所求曲边梯形面积，积分区间为[0,2]．[0,2]f(x)＝4x＋3
