第五章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝( D )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[解析] 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
2．已知i是虚数单位，则＝( D )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
[解析] ＝＝＝1＋2i.
3．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( C )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
[解析] 由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
4．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚部为－(m＋1)，
由得此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
5．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A.
6．复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A、B、C所构成的三角形是
( A )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] 1,2i,5＋2i对应的向量坐标为(1,0)，(0,2)，(5,2)，
设O为坐标原点，
即＝(1,0)，＝(0,2)，＝(5,2)，
＝－＝(－1,2)．
＝－＝(5,0)，
＝－＝(4,2)，
则||2＝||2＋|A|2，
∴∠BAC＝90°，即由A、B、C所构成的三角形是直角三角形．
7．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足( C )
A．m≤－ B．m≥－
C．m＝ D．m＝－
[解析] 设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得
8．(2019·全国Ⅰ卷理，2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C.
9．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( B )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．
10．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] θ∈时，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
11．(2019·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于复平面内的( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵A、B为锐角三角形的内角，
∴
∴A>－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，∴对应点在第二象限，故选B.
12．(2019·南宁高二检测)复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是
( A )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|2z＋1|＝，
|z－i|＝，
∴＝，
整理得：a2＋b2＋a＋b＝0.
故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2019·浙江卷，11)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝.
[解析] z＝＝＝＝－i，
易得|z|＝ ＝.
14．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1.
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.
15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是cos(α＋β)．
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
＝cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i，
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
16．在复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，则z1＝1－i或－1＋i.
[解析] 设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，
∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，
∴，
解得或.∴z1＝1－i或z1＝－1＋i.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
18．(本题满分12分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
[解析] (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0，
解得m＝0或m＝－1±.
所以当m＝0或m＝－1±时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
19．(本题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
[解析] ∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2.
又a>0，故a＝2.
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝.
20．(本题满分12分)已知复数z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．
[解析] ∵z＝＝＝1－i，
∴|z|＝.又＝≤，∴|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.即a的取值范围为[1－，1＋]．
21．(本小题满分12分)已知虚数z满足|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|，
(1)求|z|的值；
(2)若mz＋∈R，求实数m的值．
[解析] (1)设虚数z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)代入|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|得，
|2a＋1＋(2b－1)i|＝|(a＋2)＋(b－2)i|，
∴(2a＋1)2＋(2b－1)2＝(a＋2)2＋(b－2)2，
整理得a2＋b2＝2，即|z|＝2.
(2)由(1)知，z＝a＋bi其中a，b∈R，且b≠0.
a2＋b2＝2，又知m∈R，mz＋∈R.
∴mz＋＝m(a＋bi)＋
＝ma＋mbi＋＝ma＋mbi＋a－bi，
＝(ma＋a)＋(mb－b)i
∵(mz＋)∈R，∴mb－b＝0，∴m＝.
22．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率为.
即事件“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
课件29张PPT。第五章数系的扩充与复数的引入
本章总结知 识 网 络专题突破1．复数实部与虚部的区分
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部，一定要注意bi不是虚部．如2＋3i的实部为2，虚部为3，而不是3i.
2．纯虚数的理解
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数，一定要注意记清“a＝0”是必要条件，而不是充要条件．专题一 ?利用复数的基本概念解题 已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.
[解析] 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i＝(4－b2)＋(4b＋8)i，∵(z＋2)2＋8i为纯虚数，
∴4－b2＝0，且4b＋8≠0.∴b＝2.∴z＝2i.典例 1 『规律方法』 先设出z的代数形式z＝bi(b∈R，b≠0)，然后依据概念处理．对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.
(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.
(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．专题二 ?利用复数相等的条件解题典例 2 B 典例 3 『规律方法』 复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．熟记几个结论对解决问题是十分有利的：
(1)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；专题三 ?复数代数形式的四则运算典例 4 D 典例 5 0 复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的加减运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
(1)复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．
(2)复数形式的基本轨迹
①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；
②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；
③|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|Z1Z2|>0)表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆．专题四 ?复数的几何意义及应用 (2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复
平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)典例 6 B[解析] 由于m∈R，复数z可以表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即m＝0或m＝2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．典例 7 『规律方法』 将复数与复平面内的向量建立联系后，与复平面上点的对应就非常容易了． 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
[解析] (1)将b代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.典例 8 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位．该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的讨论等．
实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[思路分析] 把复数整理成a＋bi(a，b∈R)的形式，用复数分类的条件分别求解．专题五 ?分类讨论思想典例 9 一、选择题
1．若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－2i D．2iB C 3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，
∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．
故选C.C B 二、填空题
5．已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，则m＝______；
(2)若z为纯虚数，则m＝____.1或26．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为___.
[解析] 在复平面内复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)对应的点的轨迹是(x－2)2＋y2＝4，
∴z＋2＝(x－2)＋yi＋2＝x＋yi，
∴|z＋2|＝|x＋yi|，
∴|z＋2|的几何意义是复数z对应的点(x，y)到原点的距离的最大值．
∴|z＋2|＝|x＋yi|max＝4.4三、解答题
7．已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R.当x在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．