第1章 §1 归纳与类比
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( C )
①由圆的周长为C＝πd类比出球的表面积为S＝πd2；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试，张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，归纳出n边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
[解析] 由合情推理的概念知①②④符合题意．
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( B )
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1 111，
1 234×9＋5＝11 111，
12 345×9＋6＝111 111，
……
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
[解析] 利用归纳推理，由已知可推测等号右侧应有7个1.
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( C )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)
[解析] 设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球的球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现一定的规律性的为( A )
[解析] 观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由第二组图的前两个图，可知选A.
5．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( B )
A.a B.a
C.a D.a
[解析] 将正三角形一边上的高a类比到正四面体一个面上的高a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．
二、填空题
6．(2018·聊城模拟)高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在画画__．
[解析] ∵以上命题都是真命题，
∴对应的情况是：
打篮球
画画
跳舞
散步
A
×
×
B
×
×
C
×
×
D
×
×
则由表格知A在跳舞，B在打篮球，
篮球
画画
跳舞
散步
A
×
√
×
B
√
×
×
C
×
×
D
×
×
∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，
∴C在散步，则D在画画，故答案为画画．
7．观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝962__.
[解析] 观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m，构成一个等比数列，公比为4，故m＝128×4＝512.
观察每一个等式中cos2α的系数：2，－8,18，－32，p，规律是1×2，－2×4,3×6，－4×8，故p＝5×10＝50.
每一个式子中的系数和为1，故m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，
代入m和p，可求得n＝－400，
故m－n＋p＝512＋400＋50＝962.
8．设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ .
[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．
依题意：f1(x)＝＝，
f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，
f4(x)＝＝.
∴当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝.
三、解答题
9．已知Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，并由此归纳出Sn的表达式．
[解析] S1＝＝1－＝；
S2＝＋＝(1－)＋(－)＝1－＝；
S3＝＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＝1－＝；
S4＝＋＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＝1－＝；
由此猜想：Sn＝(n∈N＋)．
10．在△ABC中，余弦定理可叙述为a2＝b2＋c2－2bccosA，其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．
[解析] 如图，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α、β、γ依次表示平面PAB与平面PBC、平面PBC与平面PCA、平面PCA与平面ABP之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：
S2＝S＋S＋S－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S2S1cosγ.
B级 素养提升
一、选择题
1．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<( C )
A. B.
C. D.
[解析] 本题考查了归纳的思想方法．
观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，
所以当n＝2018时不等式为：
1＋＋＋…＋<.
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边长的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有( C )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
二、填空题
3．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝πab.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1.
[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
4．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2017＋a2018＋a2019的值为1009_.
[解析] 由题图知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，则a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2017＋a2019＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，则a2018＝1009，所以a2017＋a2018＋a2019＝1009.
三、解答题
5．我们知道：
12＝1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，
∴1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
[解析] 我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝
＝.
6．(2019·隆化县高二检测)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
[解析] 如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
∴＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD.
则＝＋＋.
如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋
∴＝＋＋，故猜想正确．
C级 能力拔高
(2019·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1，写出具有类似的性质，并加以证明．
[解析] 类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：设M(m，n)，P(x，y)，
则N(－m，－n)，
因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
课件45张PPT。第一章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯． §1 归纳与类比自主预习学案 《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患
头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一
点血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复
发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起
了他的注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，
都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？1．推理的概念
根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．推理一般由两部分组成：_____和_____．
2．合理推理
(1)当前提为真时，结论__________的推理，叫做合情推理．前提 结论 可能为真 合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为：
(2)两种合情推理：_________和_________．
3．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断_________________________ _________，这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．
归纳推理是由部分到整体，由_____到_____的推理．
利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．归纳推理 类比推理 该类事物中每一个事物都有 个别 一般 这种属性 4．类比推理的定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也_____________________，这种推理方式称为类比推理(简称类比)．
类比推理是由_______到_______的推理，是两类事物特征之间的推理．
利用类比推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．具有类似的其他特征 特殊 特殊 1．如图是2017年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.A 2．下面类比推理中恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[解析] 结合实数的运算律知C是正确的．C 3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________________.
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.b4＋b8>b5＋b7 互动探究学案 (1)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________________.命题方向1 ?归纳推理典例 1 V＋F－E＝2 (2)(2019·聊城高二检测)由下列各式：
13＝12
13＋23＝32
13＋23＋33＝62
13＋23＋33＋43＝102
请你归纳出一般结论．
[思路分析] (1)通过观察几组数字之间的关系列式；
(2)通过观察等式左右各自特点找通项．[解析] (1)因为5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴V＋F－E＝2.『规律总结』 (1)由已知数式进行归纳推理的步骤
①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．
②提炼出等式(或不等式)的综合特点．
③运用归纳推理得出一般结论．(2)归纳推理在图形中的应用策略
〔跟踪练习1〕
下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．
[解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，……
由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8.4n＋8 命题方向2 ?类比推理典例 2 [思路分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．『规律总结』 1.类比推理的思维过程大致为：
2．类比推理的一般步骤：
(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．〔跟踪练习2〕[解析] 如图所示，设A在底面的射影为O，连接BO并延长交CD于E.连接AE，由AB⊥AC，AB⊥AD得AB⊥平面ACD.归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论．
其具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．归纳推理在数列中的应用 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项an的表达式．典例 3 [解析] (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．『规律总结』 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果． 在下列类比推理中，正确的有__________．
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay.
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny.
③把实数a，b满足：“若ab＝0，b≠0，则a＝0”．类比平面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．典例 4 [错解] ②③
[辨析] 没有抓住类比推理的实质．
[正解] ④ ①②中，loga(x＋y)与sin(x＋y)都是一个整体，而a(b＋c)中a与b＋c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；③中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；④中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的．
[点评] 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比．玉 〔跟踪练习4〕
在Rt△ABC中，C为直角，A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则c2＝a2＋b2，类比在三棱锥中有何结论．[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．A 2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B 3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．
A．①②④ B．①③④
C．①② D．①④D [解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝_____________.课时作业学案
