第1章 §2 综合法和分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( C )
A．ab>0 B．b>a
C．a
[解析] 由a，但>?/ a∴a成立的一个充分不必要条件．
2．命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了( B )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法 D．演绎法
3．设a与b为正数，并且满足a＋b＝1，a2＋b2≥k，则k的最大值为( C )
A． B．
C． D．1
[解析] ∵a2＋b2≥(a＋b)2＝(当且仅当a＝b时取等号)，∴kmax＝.
4．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( D )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C．－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
5．要使－<成立，a，b应满足的条件是( D )
A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a[解析] －<?a－b＋3－3∴<.
∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
二、填空题
6．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则＋＝1.
[解析] ＋＝，因为∠C＝60°，由余弦定理得cosC＝＝，即a2＋b2＝ab＋c2，所以＋＝＝1.
7．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P1P2P3一定是等边(形状)三角形．
[解析] ∵＋＋＝0
∴O为△P1P2P3的重心
又∵||＝||＝||
∴O为△P1P2P3的外心
故△P1P2P3的重心、外心重合
∴△P1P2P3为等边三角形．
8．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0，由于(a－b)2≥0显然成立，因此原不等式成立．
三、解答题
9．已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
[证明] 要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
10．已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥.
[证明] 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( A )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[解析] ≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
2．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1； ②a＋b＝2； ③a＋b>2；
④a2＋b2>2； ⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( C )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
[解析] 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
二、填空题
3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝－.
[解析] 观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.
由已知，得sinγ＝－(sinα＋sinβ)，
cosγ＝－(cosα＋cosβ)，
∴(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2
＝sin2γ＋cos2γ＝1，
化简并整理得cos(α－β)＝－.
4．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为.
[解析] a·＝a·≤(a2＋＋)＝(当且仅当a2＝＋且a2＋＝1即a＝，b＝时取“＝”)
三、解答题
5．已知A、B是△ABC的两个内角．向量m＝(cos)i＋(sin)j，其中i, j为相互垂直的单位向量．若|m|＝，证明：tanA·tanB＝.
[证明] |m|2＝m2＝cos2＋·sin2＝＋·，
由|m|2＝，得cos(A－B)＝cos(A＋B)．
∴4(cosAcosB＋sinAsinB)＝5(cosAcosB－sinAsinB)．
即9sinA·sinB＝cosA·cosB.
又∵A，B是△ABC的内角，
∴cosAcosB≠0，故tanAtanB＝.
6．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9.
[证明] 证法一：∵x＋y＝1，∴(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)
＝5＋2(＋)．
又∵x>0，y>0，∴>0，>0.
∴＋≥2，
当且仅当＝，即x＝y＝时取等号．
则有(1＋)(1＋)≥5＋2×2＝9成立．
证法二：∵x>0，y>0,1＝x＋y≥2，当且仅当x＝y＝时等号成立，∴xy≤.∴≥4.
则有(1＋)(1＋)
＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9成立．
C级 能力拔高
在某两个正数m，n之间插入一个数x，使m，x，n成等差数列，插入两个数y，z，使m，y，z，n成等比数列．
求证：(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．
[证明] 由已知可得，
所以m＝，n＝，即m＋n＝＋，
从而2x＝＋.
要证(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)，
只需证x＋1≥成立．
要证x＋1≥成立，
只需证x＋1≥即可．
也就是证2x≥y＋z，
而2x＝＋，
则只需证＋≥y＋z成立即可．
即y3＋z3≥yz(y＋z)，
只需证y2－yz＋z2≥yz，
即证(y－z)2≥0成立，
由于(y－z)2≥0显然成立，
所以(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．
课件50张PPT。第一章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯． §2 综合法和分析法自主预习学案 夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生
了一宗凶杀案，时间是下午4时左右．警方经过三天
的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，
但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，
事发当天，我一个人在箱根游玩．直至下午4时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？1．演绎推理的概念
从一般性的_____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
2．演绎推理的特点
(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．原理 (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也_____________．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
3．综合法定义
利用_________和某些数学_____、_____、_____等，经过一系列的_________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．必定是正确的 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 4．综合法的特点
从“已知”看“_____”，逐步推向“_____”，其逐步推理，是由___导___，实际上是寻找“已知”的_____条件．
5．综合法的基本思路
用__表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，___表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为
其逻辑依据是三段论式演绎推理．可知 未知 因 果 必要 P Q 6．分析法定义
从要证明的_______出发，逐步寻求使它成立的_______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法
7．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_____”，执果索因，逐步靠拢“_____”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_____条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．结论 充分 需知 已知 充分 8．分析法的基本思路
分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用___表示要证明的结论，则分析法的推理形式为P 1．分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．A B p>q 4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
[证明] 因为a≥b>0，
所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.互动探究学案[思路分析] 要证不等式是在已知条件下，从不等式的结论及其与已知条件间的关系来观察，可用综合法证之．命题方向1 ?综合法的应用典例 1 『规律总结』 综合法证明不等式的主要依据
综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：
①a2≥0(a∈R)；
④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；
⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，体现了a＋b＋c，a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac这三个式子之间的关系．整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.
即sin(B－C)＝1.命题方向2 ?分析法的应用典例 2 『规律总结』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．利用分析法、综合法证明问题 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，它们所对的边分别为a，b，c.
求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.典例 3 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，猜想用余弦定理．
综合法：题目条件是关于△ABC三内角的，
∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，由余弦定理，
有b2＝a2＋c2－2accos60°，
即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2.
此式即分析法中欲证之等式．[证明] ∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，『规律总结』 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要得出需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．注意隐含条件的挖掘典例 5 [辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．②当a、b中有一个为负值时，不妨设a＞0，b<0，且a＋b＞0，∴a＞|b|.
∴(ab)n＞0，an＞bn＞0，an－1＞0，bn－1＜0，故an－bn＞0，an－1－bn－1＞0，
[点评] 审题过程中注意将条件等价转化翻译，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件．1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定B C a>c>b 综合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，课时作业学案