第1章 §3 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．反证法是( A )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
[解析] 反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性．
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( C )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
3．(2019·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．用反证法证明命题“若sinθ·＋cosθ·＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是( A )
A．sinθ<0或cosθ<0 B．sinθ<0且cosθ<0
C．sinθ≥0或cosθ≥0 D．sinθ>0且cosθ>0
[解析] 用反证法证明，只需要否定命题的结论，故假设应为“sinθ<0或cosθ<0”．
5．(2019·济南高二检测)设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( B )
A．0 B．
C． D．1
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，与已知矛盾．
6．若a、b、c不全为零，必须且只需( D )
A．abc≠0
B．a、b、c中至少有一个为0
C．a、b、c中只有一个是0
D．a、b、c中至少有一个不为0
[解析] a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.
二、填空题
7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证|f(x1)－f(x2)|<.那么其反设应该是如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥.
[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．
8．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为两个方程都没有实数根．
三、解答题
9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.
[证明] 已知∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.
证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，
即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，
三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与三角形内角和定理矛盾，
∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．
∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
10．(2019·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
[解析] 假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·龙岩期中)“已知函数f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于.”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( B )
A．假设|f(1)|≥且|f(2)|≥
B．假设|f(x)|<且|f(2)|<
C．假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于
D．假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于
[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
假设|f(1)|＜且|f(2)|＜，故选B.
2．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则
( D )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
[解析] 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．
二、填空题
3．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．
4．设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：
(1)存在一条定直线与所有的圆均相切
(2)存在一条定直线与所有的圆均相交
(3)存在一条定直线与所有的圆均不相交
(4)所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是(2)、(4)．(写出所有真命题的代号)
[解析] 判断(1)是否正确用反证法：因为Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)表示以(k－1,3k)为圆心，以k2为半径的一组圆，假若存在一条直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与所有的圆均相切，则必有＝k2对于任意k∈N*恒成立，即k2－A(k－1)－3Bk－C＝0恒成立，或k2＋A(k－1)＋3Bk＋C＝0恒成立，这是不可能的，故(1)不正确．
(2)存在直线y＝3(x＋1)过所有圆的圆心．
(3)由于半径k2随着k的无限增大而增大，故不存在这样的直线与所有的圆均不相交．
(4)由于将x＝0，y＝0代入方程中得不到恒等式，故所有的圆不经过原点是正确的．
三、解答题
5．已知a、b是正有理数，、是无理数，证明：＋必为无理数．
[证明] 假设＋为有理数，记p＝＋，因为a、b是正有理数，所以p>0.将＝p－两边平方，得a＝p2＋b－2p，所以＝.因为a、b、p均为有理数，所以必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．
所以＋必为无理数．
6．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负实数根．
[思路分析] (1)可直接用定义证明单调性；(2)应用反证法要注意准确作出反设．
[证明] (1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1
0.
ax2－x1>1，且ax1>0，所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又因为x1＋1>0，x2＋1>0，
所以－
＝
＝>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
又0故x0<0不成立，故方程f(x)＝0没有负实数根．
C级 能力拔高
已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] (1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即cn＝·()n－1，
故1－a＝·()n－1?a＝1－·()n－1.
又a1＝>0，anan＋1<0，
故an＝(－1)n－1.
bn＝a－a＝[1－·()n]－[1－·()n－1]＝·()n－1.
(2)用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(rbs>bt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
∴2·()s－1＝()r－1＋()t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r课件46张PPT。第一章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯． §3 反证法自主预习学案 甲、乙、丙三人站成一列，甲在前，丙在后，
乙在中间．有3红2黑5顶帽子，现在随机抽取3顶
分别戴在甲、乙、丙三人头上．只有站在后面的
人才可以看见前面的人头上帽子的颜色．让这三
人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知
道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的．你知道甲是怎么推理的吗？1．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法．
_______就是一种常用的间接证明方法．
2．反证法
(1)概念：假定命题结论的_________．在这个前提下，若推出的结果与_________________矛盾，或与命题中的_________相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定_______________不可能成立，由此断定命题的结论成立．这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)．反证法 反面成立 定义、公理、定理 已知条件 命题结论的反面 3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤：
(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；
(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用
( )
①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.C 2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”．B 3．反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为______.
[解析] 考查反证法的证题步骤．③①② 4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为______________.
[解析] 对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．x＝a或x＝b 互动探究学案 求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
[思路分析] bc≠0的否定形式为bc＝0，包括①b＝0，c＝0；②b＝0，c≠0；③b≠0，c＝0三种情况，要注意分类讨论．
[证明] 假设bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．命题方向1 ?用反证法证明否(肯)定性命题典例 1 (2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实根相矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实数根相矛盾．
综上所述，可知bc≠0.『规律总结』 1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法．
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法．
(3)注意否定结论时，要准确无误．〔跟踪练习1〕
已知a≠0，求证：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
[证明] 假设方程ax＝b(a≠0)至少存在两个实根，不妨设其中的实根分别为x1，x2，且x1≠x2，
则ax1＝b，ax2＝b，ax1＝ax2，ax1－ax2＝0，∴a(x1－x2)＝0.
又∵x1≠x2，x1－x2≠0，∴a＝0，这与已知a≠0矛盾，故假设不成立，原命题成立．命题方向2 ?“至少”“至多”型命题典例 2 『规律总结』 1.当命题中出现“至少……”“至多……”“不都……”“都不……”“没有……”“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB，CD不能互相平分．命题方向3 ?反证法在几何中的应用 典例 3 [思路分析] 本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，
能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论．[证明] 假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，
所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.
因为四边形ACBD为圆内接四边形，
所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.
因此∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，
所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾．
因此AB，CD不能互相平分．『规律总结』 用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立．,〔跟踪练习3〕
如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
[证明] 假设AC⊥平面SOB，连接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC.又因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.又因为AC∩AB＝A，所以SO⊥面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．命题方向4 ?反证法在数列中的应用典例 4 『规律总结』 当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便．,〔跟踪练习4〕
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
[证明] 假设{cn}为等比数列，
则当n≥2时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)，所以a＋2anbn＋b＝ an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.
设{an}，{bn}的公比分别为p，q(p≠q)．正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．适宜运用反证法证明的命题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．典例 5 [解析] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得：
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．『规律总结』 1.反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．〔跟踪练习5〕
若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[解析] 由于f(x)在[a，b]上的图像连续，且f(a)<0，f(b)>0，
即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，
即0>0，矛盾；
若n即0<0，矛盾．
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．
∴假设不成立，∴原命题成立．
[辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”结论反设不当致误典例 6 [正解] 证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，
同理可证b>0，c>0.证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc>0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0，
∵ab＋bc＋ac>0，∴a(b＋c)＋bc>0，
∵bc<0，∴a(b＋c)>0，
∵a<0，∴b＋c<0，∴a＋b＋c<0，这与a＋b＋c>0矛盾，故假设不成立，原结论成立．
即a，b，c全为正实数．
[点评] 含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证．玉 C 2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.C 3．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误
D．①的假设错误，②的假设正确
[解析] 用反证法证题时一定要将结论的对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确．D 4．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[解析] 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0且c＋d＝0且a－d＝0且b＋c＝0，所以a＝b＝c＝d＝0与ad－bc＝1矛盾．
所以假设不成立，原结论成立．课时作业学案