北师大版数学选修2-2 §1.4 数学归纳法(56张PPT课件+学案)

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名称 北师大版数学选修2-2 §1.4 数学归纳法(56张PPT课件+学案)
格式 zip
文件大小 4.8MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-11-23 13:02:15

文档简介

第1章 §4 数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1.我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时,在由“n=k时论断成立?n=k+1时论断也成立”的过程中( A )
A.必须运用假设
B.n可以部分地运用假设
C.可不用假设
D.应视情况灵活处理,A,B,C均可
[解析] 由“n=k时论断成立?n=k+1时论断也成立”的过程中必须运用假设.
2.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)·(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立,则a,b的值应该等于( D )
A.a=1,b=3    B.a=-1,b=1
C.a=1,b=2 D.a=2,b=3
[解析] 当n=1时,上式可化为ab+a+b=11;①
当n=2时,上式可化为ab+2(a+b)=16.  ②
由①②可得a+b=5,ab=6,验证可知只有选项D适合.
3.(2019·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( A )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
[解析] 因为从n=k到n=k+1的过渡,增加了(k+3)3,减少了k3,故利用归纳假设,只需将(k+3)3展开,证明余下的项9k2+27k+27能被9整除.
4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( D )
A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
[解析] 对于A,因为“原命题成立,否命题不一定成立”,所以若f(1)<1成立,则f(10)<100不一定成立;对于B,因为“原命题成立,则逆否命题一定成立”,所以只能得出:若f(2)<4成立,则f(1)<1成立,不能得出:若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立;对于C,当k=1或2时,不一定有f(k)≥k2成立;对于D,因为f(4)≥25≥16,所以对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故选D.
5.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:
(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即∴当n=k+1时,不等式成立,上述证法( D )
A.过程全都正确
B.n=1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
[解析] n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.
二、填空题
6.(2019·吉林长春一模)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时左边表达式是1+2+3;从k→k+1需增添的项是4k+5(或(2k+2)+(2k+3)).
[解析] 因为用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,2n+1=3,所以左边表达式是1+2+3;从k→k+1需增添的项的是4k+5或(2k+2)+(2k+3).
7.(2019·无锡期末)一个与自然数有关的命题,若n=k(k∈N)时命题成立可以推出n=k+1时命题也成立.现已知n=10时该命题不成立,那么下列结论正确的是:③(填上所有正确命题的序号)
①n=11时,该命题一定不成立;
②n=11时,该命题一定成立;
③n=1时,该命题一定不成立;
④至少存在一个自然数,使n=n0时,该命题成立.
[解析] 由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,P(n)对n=10时该命题不成立,(否则n=11也成立).
同理可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.所以③正确.
故答案为③.
8.凸k边形有f(k)条对角线,则凸k+1边形的对角线条数f(k+1)=f(k)+k-1.
[解析] 设原凸k边形的顶点为A1,A2,…,Ak,增加一个顶点Ak+1,增加Ak+1与A2、A3,…,Ak-1共k-2条再加上A1与Ak的一条连线共k-1条.
三、解答题
9.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
[解析] (1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1;
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=;
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.
由此猜想an=(n∈N*)
(2)证明:①当n=1时,a1=1结论成立,
②假设n=k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,
即ak=,
当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,∴2ak+1=2+ak
∴ak+1==,∴当n=k+1时结论成立,
于是对于一切的自然数n∈N*,an=成立.
10.(2019·汉阳期中)已知{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).
(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表达式;
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.
[解析] (1)f2(x)=f1[f1(x)]==,
f3(x)=f1[f2(x)]==
猜想:fn(x)=,(n∈N*)
(2)下面用数学归纳法证明 ,fn(x)=(n∈N*)
①当n=1时,f1(x)=,显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,
则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]==,
即对n=k+1时,猜想也成立;
结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.
B级 素养提升
一、选择题
1.(2019·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( B )
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
[解析] 因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选B.
2.(2019·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1)(n∈N*)时,从“n=k到n=k+1”左边需增乘的代数式为( B )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C.   D.
[解析] n=k时,等式为(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1),
n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k)·(2k+1)·(2k+2),右边为2k+1·1·3·…·(2k-1)(2k+1).左边需增乘2(2k+1),故选B.
二、填空题
3.对任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=5__.
[解析] 当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5,当a=3时且n=3时,310+35不能被14整除,故a=5.
4.若不等式+++…+>对n∈N*都成立,则正整数m的最大值为11.
[解析] 设f(n)=++…+,
∴f(n+1)=++…+
=++…+++-
=f(n)+(-)
=f(n)+>f(n),
∴f(n+1)>f(n)>…>f(1)==,∴m=11.
三、解答题
5.用数学归纳法证明:1-+-+…+-=++…+.
[证明] ①当n=1时,左边=1-===右边,
∴当n=1时,等式成立.
②假设n=k时等式成立,即
1-+-+…+-=++…+.
则当n=k+1时,
左边=1-+-+…+-+-
=(++…+)+-
=(+…++)+(-)
=+…+++=右边.
∴n=k+1时等式成立.
由①②知等式对任意n∈N+都成立.
6.已知函数f(x)=(x≥0).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-|,用数学归纳法证明:bn≤.
[证明] 当x≥0时,f(x)=1+>1.
因为a1=1,所以an≥1(n∈N+).
下面用数学归纳法证明不等式bn≤.
(1)当n=1时,b1=-1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立.
即bk≤,
那么bk+1=|ak+1-|=≤bk≤.
所以,当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N+都成立.
C级 能力拔高
已知等差数列{an}中,a2=8,前10项的和S10=185,
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排成一个新数列,试求新数列的前n项和An;
(3)设Bn=n(5+3an),试比较An和Bn的大小,并说明理由.
[解析] (1)设公差为d,由题意得,
解得
∴an=5+3×(n-1)=3n+2.
(2)设新数列为{bn},∴bn=a2n=3×2n+2.
∴An=3×(2+22+23+…+2n)+2n
=3×2n+1+2n-6.
(3)∵Bn=n(9n+11)=9n2+11n,
∴A1=3×4-4=8,A2=3×8-2=22,A3=3×16=48,
A4=3×32+2=98,A5=3×64+4=196,A6=3×128+6=390,A7=3×256+8=776,……
而B1=20,B2=58,B3=114,B4=188,B5=280,B6=390,B7=518,……
①当n=1,2,3,4,5时,Bn>An;
②当n=6时,B6=A6;
③当n≥7,且n∈N*时,
猜想An>Bn,用数学归纳法证明:
当n=7时,A7=776>518=B7,结论正确;
假设当n=k(k≥7)时,Ak>Bk,
即3×2k+1+2k-6>9k2+11k?2k+1>3k2+3k+2,
∴n=k+1时,
Ak+1-Bk+1=[3×2k+2+2(k+1)-6]-[9(k+1)2+11(k+1)]=6×2k+1-9k2-27k-24=6×[2k+1-(3k2+3k+2)]+6×(3k2+3k+2)-9k2-27k-24=6×[2k+1-(3k2+3k+2)]+9k2-9k-12>9k2-9k-12=9k(k-1)-12≥9×7×(7-1)-12>0,
∴Ak+1>Bk+1,即n=k+1时,结论也正确.
综上知,当n≥7,且n∈N*时,有An>Bn.
课件56张PPT。第一章推理与证明同学们,你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗?你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗?你看过《福尔摩斯探案集》吗?你了解哥德巴赫猜想吗?你知道考古学家怎样推断遗址的年代,医生怎样诊断病人的疾病,警察怎样破案,气象专家怎样预测天气,数学家怎样论证命题的真伪吗?这一切都离不开推理.而证明的过程更离不开推理.
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理.学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等.要通过本章的学习养成言之有据,证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯. §4 数学归纳法自主预习学案 从前有一位画家,为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌
握程度,就把他们叫来,让他们用最少的笔墨,画出最多的马.
第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马;第二个徒弟为了
节省笔墨,只画出许多马头;第三个徒弟在纸上用笔勾画出两
座山峰,再从山谷中走出一匹马,后面还有一匹只露出半截身
子的马.三张画稿交上去,评判结果是最后一幅画被认定为佳作,构思巧妙,笔墨经济,以少胜多!
这第三张画稿只画了一匹半马,为何能胜过一群马呢?你知道其中蕴含的数学原理吗?数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
①(归纳奠基)证明当n取___________________时命题成立.
②(归纳递推)假设______________________________,证明_____________ ___________.第一个值n0(n0∈N*) n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立 当n=k+1时命题也成立 1.用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是(  )
A.1   B.1+3   
C.1+2+3  D.1+2+3+4
[解析] 当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故应选C.C 3.n为正奇数,求证:xn+yn能被x+y整除,当第二步假设n=k(k∈N+)命题为真时,则需证n=______时命题也为真.
[解析] n为正奇数,现在n=k,说明k为正奇数,下一个正奇数应为k+2.k+2 互动探究学案命题方向1 ?数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式典例 1 『规律总结』 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形., 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式
[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明,在n=k到n=k+1时的推证过程中应用了放缩技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一.命题方向2 ?证明不等式典例 2
(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤:第①步p(n0)成立是推理的基础,第②步由p(k)?p(k+1)是推理的依据(即n0成立,则n0+1成立,n0+2成立,…,从而断定命题对所有的自然数均成立).另一方面,第①步中,验证n=n0中的n0未必是1,根据题目要求,有时可为2,3等;第②步中,证明n=k+1时命题也成立的过程中,要作适当的变形,设法用上述归纳假设.,[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化. 用数学归纳法证明下列问题:
(1)求证:3×52n+1+23n+1是17的倍数;
(2)证明:(3n+1)·7n-1能被9整除.
[思路分析] (2)先考察:f(k+1)-f(k)=18k·7k+27·7k,因此,当n=k+1时,(3k+4)7k+1=(21k+28)·7k-1=[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k.命题方向3 ?证明整除问题典例 3 [证明] (1)①当n=1时,3×53+24=391=17×23是17的倍数.
②假设3×52k+1+23k+1=17m(m是整数),
则3×52(k+1)+1+23(k+1)+1=3×52k+1+2+23k+1+3
=3×52k+1×25+23k+1×8
=(3×52k+1+23k+1)×8+17×3×52k+1
=8×17m+3×17×52k+1
=17(8m+3×52k+1),
∵m、k都是整数,∴17(8m+3×52k+1)能被17整除,
即n=k+1时,3×52n+1+23n+1是17的倍数.
综合①②知对任意正整数3×52n+1+23n+1是17的倍数.(2)令f(n)=(3n+1)·7n-1
①f(1)=4×7-1=27能被9整除.
②假设f(k)能被9整除(k∈N*),
∵f(k+1)-f(k)=(3k+4)·7k+1-(3k+1)·7k=7k·(18k+27)=9×7k(2k+3)能被9整除,
∴f(k+1)能被9整除.
由①②可知,对任意正整数n,f(n)都能被9整除.『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
利用数学归纳法证明整除问题,由归纳假设P(k)能被p整除,证P(k+1)能被p整除,也可运用结论:若P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.或利用“∵P(k)能被P整除,∴存在整式q(k),使P(k)=P·q(k)”,将P(k+1)变形转化分解因式产生因式p.〔跟踪练习3〕
求证:当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
[证明] (1)显然,当n=1时,命题成立,即x1+y1能被x+y整除.
(2)假设当n=2k-1(k∈N*)时命题成立,即(x+y)能整除x2k-1+y2k-1,则当n=2k+1时,
x2k+1+y2k+1=x2x2k-1+x2y2k-1-x2y2k-1+y2y2k-1=x2(x2k-1+y2k-1)-(x+y)(x-y)y2k-1,
∵x+y能整除(x2k-1+y2k-1),
又x+y能整除(x+y)(x-y)y2k-1,∴(x+y)能整除x2k+1+y2k+1.
由(1)、(2)可知当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.玉  平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点.求证:这n个圆把平面分成n2-n+2个部分.
[思路分析] 用数学归纳法证明几何问题,主要是搞清楚当n=k+1时比n=k时,分点增加了多少,区域增加了几块.本题中第k+1个圆被原来的k个圆分成2k条弧,而每一条弧把它所在的部分分成了两部分,此时共增加了2k个部分,问题就容易得到解决.命题方向4 ?几何问题典例 4 [证明] ①当n=1时,一个圆把平面分成两部分,12-1+2=2,命题成立.
②假设当n=k时命题成立(k∈N*),k个圆把平面分成k2-k+2个部分.当n=k+1时,这k+1个圆中的k个圆把平面分成k2-k+2个部分,第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧,每条弧把它所在部分分成了两个部分,这时共增加了2k个部分,即k+1个圆把平面分成(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2个部分,即命题也成立.由①、②可知,对任意n∈N*命题都成立.『规律总结』 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步时,常用的方法是加一法.即在原来k的基础上,再增加1个,也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.,由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值,根据前几项的特点,猜想出数列{an}的通项公式或递推公式,利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法.
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n=1,2,3,…).
(1)求a1,a2;
(2)求{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明.归纳——猜想——证明 典例 5 玉 『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明,而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的.给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题.解题一般分三步进行:
(1)验证P(1),P(2),P(3),P(4),…;
(2)提出猜想;
(3)用数学归纳法证明., 数学归纳法证明:2+22+…+2n-1=2(2n-1-1)(n>2, n∈N+).未用归纳假设而致误典例 6 [辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设,直接使用了等比数列的求和公式.由于未用归纳假设,造成使用数学归纳法失误.
[正解] (1)当n=3时,左边=2+22=6,右边=2(22-1)=6,等式成立;
(2)假设n=k时,结论成立,即2+22+…+2k-1=2(2k-1-1),
那么n=k+1时,2+22+…+2k-1+2k=2(2k-1-1)+2k=2·2k-2=2(2k-1).
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,等式对任意n>2,n∈N+都成立.[点评] 在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.
其中,第一步是递推的基础,验证n=n0时结论成立的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2、3等;第二步是递推的依据,证明n=k+1时命题也成立的过程中,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法.,[解析] 当n=k时,(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1);当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=2k+1·1·3·…·[2(k+1)-1].通过对比可知,增加了两项(2k+1)、(2k+2),减少了一项(k+1).故答案为D.D 2.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N+)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(  )
A.当n=6时,该命题不成立
B.当n=6时,该命题成立
C.当n=4时,该命题不成立
D.当n=4时,该命题成立
[解析] 若n=4时,该命题成立,由条件可推得n=5命题成立.
它的逆否命题为:若n=5不成立,则n=4时该命题也不成立.C 3.用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时, 34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为_________________________.
[解析] 当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k+2+52k+1)+56·34k+2.25(34k+2+52k+1)+56·34k+2 4.已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.
(1)写出a1、a2、a3,并推测an的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论.课时作业学案
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