第1章 §4 数学归纳法
A级 基础巩固
一、选择题
1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )
A．必须运用假设
B．n可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[解析] 由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于( D )
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3
[解析] 当n＝1时，上式可化为ab＋a＋b＝11；①
当n＝2时，上式可化为ab＋2(a＋b)＝16. ②
由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．
3．(2019·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( A )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )
A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立
B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
[解析] 对于A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f(1)＜1成立，则f(10)＜100不一定成立；对于B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f(2)＜4成立，则f(1)＜1成立，不能得出：若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立；对于C，当k＝1或2时，不一定有f(k)≥k2成立；对于D，因为f(4)≥25≥16，所以对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．故选D.
5．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( D )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
6．(2019·吉林长春一模)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项是4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))．
[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时，2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．
7．(2019·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：③(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，(否则n＝11也成立)．
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．所以③正确．
故答案为③.
8．凸k边形有f(k)条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数f(k＋1)＝f(k)＋k－1.
[解析] 设原凸k边形的顶点为A1，A2，…，Ak，增加一个顶点Ak＋1，增加Ak＋1与A2、A3，…，Ak－1共k－2条再加上A1与Ak的一条连线共k－1条．
三、解答题
9．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
由此猜想an＝(n∈N*)
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，
即ak＝，
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak
∴ak＋1＝＝，∴当n＝k＋1时结论成立，
于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．
10．(2019·汉阳期中)已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x))．
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想．
[解析] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N*)
(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)＝(n∈N*)
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( B )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
2．(2019·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( B )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
[解析] n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.
二、填空题
3．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝5__.
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
4．若不等式＋＋＋…＋＞对n∈N*都成立，则正整数m的最大值为11.
[解析] 设f(n)＝＋＋…＋，
∴f(n＋1)＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋－
＝f(n)＋(－)
＝f(n)＋＞f(n)，
∴f(n＋1)＞f(n)＞…＞f(1)＝＝，∴m＝11.
三、解答题
5．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
[证明] ①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，
∴当n＝1时，等式成立．
②假设n＝k时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝(＋＋…＋)＋－
＝(＋…＋＋)＋(－)
＝＋…＋＋＋＝右边．
∴n＝k＋1时等式成立．
由①②知等式对任意n∈N＋都成立．
6．已知函数f(x)＝(x≥0)．设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)，数列{bn}满足bn＝|an－|，用数学归纳法证明：bn≤.
[证明] 当x≥0时，f(x)＝1＋>1.
因为a1＝1，所以an≥1(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤.
(1)当n＝1时，b1＝－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立．
即bk≤，
那么bk＋1＝|ak＋1－|＝≤bk≤.
所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N＋都成立．
C级 能力拔高
已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项的和S10＝185，
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n项和An；
(3)设Bn＝n(5＋3an)，试比较An和Bn的大小，并说明理由．
[解析] (1)设公差为d，由题意得，
解得
∴an＝5＋3×(n－1)＝3n＋2.
(2)设新数列为{bn}，∴bn＝a2n＝3×2n＋2.
∴An＝3×(2＋22＋23＋…＋2n)＋2n
＝3×2n＋1＋2n－6.
(3)∵Bn＝n(9n＋11)＝9n2＋11n，
∴A1＝3×4－4＝8，A2＝3×8－2＝22，A3＝3×16＝48，
A4＝3×32＋2＝98，A5＝3×64＋4＝196，A6＝3×128＋6＝390，A7＝3×256＋8＝776，……
而B1＝20，B2＝58，B3＝114，B4＝188，B5＝280，B6＝390，B7＝518，……
①当n＝1,2,3,4,5时，Bn>An；
②当n＝6时，B6＝A6；
③当n≥7，且n∈N*时，
猜想An>Bn，用数学归纳法证明：
当n＝7时，A7＝776>518＝B7，结论正确；
假设当n＝k(k≥7)时，Ak>Bk，
即3×2k＋1＋2k－6>9k2＋11k?2k＋1>3k2＋3k＋2，
∴n＝k＋1时，
Ak＋1－Bk＋1＝[3×2k＋2＋2(k＋1)－6]－[9(k＋1)2＋11(k＋1)]＝6×2k＋1－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋6×(3k2＋3k＋2)－9k2－27k－24＝6×[2k＋1－(3k2＋3k＋2)]＋9k2－9k－12>9k2－9k－12＝9k(k－1)－12≥9×7×(7－1)－12>0，
∴Ak＋1>Bk＋1，即n＝k＋1时，结论也正确．
综上知，当n≥7，且n∈N*时，有An>Bn.
课件56张PPT。第一章推理与证明同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯． §4 数学归纳法自主预习学案 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌
握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．
第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了
节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两
座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身
子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取___________________时命题成立．
②(归纳递推)假设______________________________，证明_____________ ___________．第一个值n0(n0∈N*) n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立 当n＝k＋1时命题也成立 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.C 3．n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除，当第二步假设n＝k(k∈N＋)命题为真时，则需证n＝______时命题也为真．
[解析] n为正奇数，现在n＝k，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k＋2.k＋2 互动探究学案命题方向1 ?数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式典例 1 『规律总结』 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．, 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，在n＝k到n＝k＋1时的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．命题方向2 ?证明不等式典例 2
(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：第①步p(n0)成立是推理的基础，第②步由p(k)?p(k＋1)是推理的依据(即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上述归纳假设．,[思路分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． 用数学归纳法证明下列问题：
(1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数；
(2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．
[思路分析] (2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.命题方向3 ?证明整除问题典例 3 [证明] (1)①当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．
②假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，
则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3
＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8
＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1
＝8×17m＋3×17×52k＋1
＝17(8m＋3×52k＋1)，
∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，
即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．
综合①②知对任意正整数3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1
①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除．
②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，
∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除，
∴f(k＋1)能被9整除．
由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除．『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p.〔跟踪练习3〕
求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
[证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．
(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，
又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1.
由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．玉 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．
[思路分析] 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．命题方向4 ?几何问题典例 4 [证明] ①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．
②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．『规律总结』 利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．,由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．
设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2；
(2)求{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．归纳——猜想——证明 典例 5 玉 『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；
(2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明．, 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2， n∈N＋)．未用归纳假设而致误典例 6 [辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．,[解析] 当n＝k时，(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)；当n＝k＋1时，(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝2k＋1·1·3·…·[2(k＋1)－1]．通过对比可知，增加了两项(2k＋1)、(2k＋2)，减少了一项(k＋1)．故答案为D.D 2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
[解析] 若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．C 3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为_________________________.
[解析] 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2 4．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1、a2、a3，并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．课时作业学案
