第2章 §1 变化的快慢与变化率
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] 平均变化率为＝－1.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( D )
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.
3．一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)＝－x2＋2x，则S(x)从2到2＋Δx的平均速度为( B )
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx
[解析] ∵S(2)＝－22＋2×2＝0，
∴S(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴＝－2－Δx，故应选B.
4．(2019·长春期末)对于函数y＝，当Δx＝2.018时，Δy的值是( D )
A．2018 B．－2018
C．0 D．不能确定
[解析] ∵函数y＝，
∴Δy＝－＝
∵Δx＝2.018，
∴Δy＝，不确定．
故选D.
5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( A )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
[解析] k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
由题意知：Δx>0，∴k1>k2，选A.
二、填空题
6．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是相等．
[解析] 物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
7．若物体运动方程为s(t)＝－2t2＋t，则其初速度为1_.
[解析] 物体的初速度即t＝0时的瞬时速度，＝＝－2Δt＋1，当Δt趋于0时，趋于1，即初速度为1.
8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速率为210_m/s__.
[解析] 由导数的定义知在t＝20 s时的瞬时速度为v＝＝＝10＋10t＋5Δt.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10 t，则v＝10×20＋10＝210.
三、解答题
9．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝
＝
＝.
∴＝
10．已知质点M按规律s＝3t2＋2做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[解析] ＝
＝
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s.
(2)当Δt趋于0时，6t＋3Δt趋于6t，
∴质点M在t＝2时的瞬时速度为12cm/s.
B级 素养提升
一、选择题
1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( B )
A．④ B．③
C．② D．①
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.
2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为( C )
A．v2＝v3C．v1[解析] ∵v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，
由图像易知kOA∴v1二、填空题
3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为：s＝t2，则t＝2时，此木块的瞬时速度为.
[解析] ＝＝t＋Δt.
当t＝2，且Δt趋于0时，趋于.
4．过曲线f(x)＝的图像上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，当Δx＝时割线的斜率为－.
[解析] 割线AB的斜率k＝＝
＝＝＝－.
三、解答题
5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
[解析] (1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.
6．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
[解析] ∵函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均率为＝＝＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
C级 能力拔高
质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s?
[解析] 假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝＝4a＋aΔt.
当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a,4a＝8，解得a＝2.
所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s.
课件39张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §1 变化的快慢与变化率自主预习学案 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”
的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬
到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡
峭的山好攀登？
你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？1．平均速度
平均速度的定义：物体从某一时刻开始运动，设s(t)表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体的平均速度是：
平均速度＝______________.平均变化率 (2)函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率就是过(x1，f(x1))、(x2，f(x2))两点的直线的______．斜率 趋于0时 瞬时变化率 A D 3．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为____.8 互动探究学案[思路分析] 依据函数的平均变化率的定义，只要求出函数的平均变化率的表达式，代入相应的数值，即可求出相应的平均变化率．命题方向1 ?求函数的平均变化率典例 1 『规律总结』 1.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：
①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2．要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0., 已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)命题方向2 ?瞬时速度、瞬时变化率典例 2 『规律总结』 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度．〔跟踪练习2〕
求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．平均变化率的几何意义 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．典例 3 『规律总结』 解决本题的步骤是：首先求出函数值的变化量Δy，然后求出自变量的变化量Δx，最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系，利用方程思想求解Δx的值．〔跟踪练习3〕
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )不能正确识图致误典例 5 A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大[错解] 选C.因为在(0，t0)上，W1(t)的图像比W2(t)的图像陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
[辨析] 从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值．
[正解] B 由题可知，A机关单位所对应的图像比较陡峭，B机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.
[点评] 识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．〔跟踪练习4〕
物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C[解析] 在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．C [解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.C 3．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81B4．(2019·蚌埠高二检测)已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝____.3 课时作业学案
