第2章 §2 第1课时 导数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值为( C )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
[解析] ∵f ′(x0)＝
＝
＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]＝3x＝3，∴x0＝±1.
2．已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 ＝( B )
A．f ′(x0) B．2f ′(x0)
C．－2f ′(x0) D．0
[解析] 由
＝
＝ ＋
＝2f ′(x0)．
故选B.
3．在一次高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0 m/s的时刻是( A )
A．s B．s
C．s D．s
[解析] h′(t)＝－9.8t＋6.5，由h′(t)＝0得t＝，故选A.
4．(2019·郑州高二检测)若可导函数f(x)的图像过原点，且满足 ＝－1，则f ′ (0)＝( B )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] ∵f(x)图像过原点，∴f(0)＝0，
∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B.
二、填空题
5．设函数f(x)＝，则 等于－ .
[解析] ＝ ＝ (－)＝－.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是0.
[解析] ∵Δy＝－
＝Δx－1＋＝，
∴＝.
∴y′|x＝1＝ ＝0.
三、解答题
7．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系．
[解析] 设f(－x)＝g(x)，则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是
g′(a)＝
＝
而f ′(－a)＝ ，令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
∴f ′(－a)＝
＝－
＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
B级 素养提升
一、选择题
1．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为( C )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4(Δt)2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0，
＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
2．已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( D )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
[解析] f ′(x)＝ ＝－，
于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
二、填空题
3．已知y＝，则y′|x＝1＝ .
[解析] 由题意知Δy＝－
＝－，
∴＝.
∴y′|x＝1＝ ＝
＝.
4．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是相等．
[解析] v0＝ ＝
＝ ＝ ＝v.
三、解答题
5．一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义．
[解析] ＝
＝＝－2(m/s)．
当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2m/s，
导数s′(1)＝－2m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度．
C级 能力拔高
(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值；
(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值．
[解析] (1)f′(x0)＝ ＝
＝
＝ (－8＋2x0＋Δx)＝－8＋2x0＝4，
∴x0＝3.
(2)f′(0)＝ ＝
＝
＝[Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)，
∴f′(0)＝0.
课件39张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念自主预习学案 中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国
是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能
力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最
大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，
怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的
关系呢？有定义 f′(x0) 1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[解析] 由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．C 2．设f(x)＝2ax＋4，若f ′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1C C 4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数 f ′(1)＝____.0 互动探究学案[思路分析] 本题考查函数的导数，解决本题的关键是利用导数的定义求出原函数的导数，再把x＝1代入导函数．命题方向1 ?求函数f(x)在点x0处的导数典例 1 『规律总结』 (1)用定义求导数必须严格按照三个步骤进行．
(2)求函数在某一点的导数方法有两种，一种是直接求出函数在该点的导数，另一种是求出导函数，再求出导函数在该点的函数值，此方法是常用方法．求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动．导数的应用 典例 3 『规律总结』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型，特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来．
由导数的定义知，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，它在现实生活中的作用是比较广泛的．〔跟踪练习2〕
若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为不能准确理解导数的概念致误 典例 3 A [辨析] 错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系．
当函数增量Δy＝f(x0)－f(x0－k)时，自变量的增量Δx＝x0－(x0－k)＝k，而不是－k.2A －A －2A A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关而与h无关
C．仅与h有关而与x0无关
D．与x0、h均无关
[解析] 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关．B 2．(2019·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是
( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
[解析] 令Δt＝0，该质点在t＝1时的瞬时速度为－6，故选D.DB 4．(2019·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度．课时作业学案第2章 §2 第2课时 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( D )
A． B．1
C． D．2
[解析] ∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又∵f ′(1)＝，
∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×＝2.故选D.
2．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则切线方程为( D )
A．y＝4x B．y＝4x－4
C．y＝4x－8 D．y＝4x或y＝4x－4
[解析] y′＝
＝
＝[(Δx)2＋3xΔx＋3x2＋1]
＝3x2＋1.
由条件知，3x2＋1＝4，
∴x＝±1，
当x＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y＝4(x－1)，
即y＝4x－4.
当x＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y＋4＝4(x＋1)，
即y＝4x.
3．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( D )
A．0 B．2
C．4 D．6
[解析] Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3， ＝[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( C )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
[解析] f ′(x)＝
＝ ＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f ′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．(2019·汉中高二检测)曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( B )
A．1 B．
C． D．－
[解析] ∵y′＝
＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
6．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
二、填空题
7．已知f(x)＝x2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝－2.
[解析] 由导函数的定义可得f ′(x)＝2x＋3f ′(2)，
∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2.
8．曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54.
[解析] 因为f ′(3)＝ ＝27，
所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝x＋上一点A(2，)，用导数定义求函数y＝f(x)：
(1)在点A处的切线的斜率；
(2)在点A处的切线方程．
[解析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝2＋Δx＋－(2＋)＝＋Δx，
＝＝＋1，
∴ ＝[＋1]＝，
故点A处的切线的斜率为.
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
即3x－4y＋4＝0.
10．在曲线y＝x2上过哪一点的切线．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解析] f′(x)＝
＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，故2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直．故2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，故其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
B级 素养提升
1．(2019·开封高二检测)已知y＝f(x)的图像如图，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是
( B )
A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
[解析] 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(xA)2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( A )
A．[－1，－] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[，1]
[解析] 考查导数的几何意义．
由导数的定义可得y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
二、填空题
3．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝－2.
[解析] 由导数的概念和几何意义知，
＝f ′(1)＝kAB＝＝－2.
4．(2018·全国卷Ⅱ理，13)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x.
[解析] ∵ y＝2ln(x＋1)，∴ y′＝.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴ 切线方程为y＝2x.
三、解答题
5．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105·m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s.求子弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 运动方程为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt.
∴ ＝at0.
由题意知a＝5×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
故at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
6．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
[解析] 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
∴k＝f′(x0)＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，
解得a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
C级 能力拔高
已知曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ.
[解析] 由得x3－x2＋x－1＝0，
即(x－1)(x2＋1)＝0，解得x＝1，
所以交点P(1,2)．
因为f′(1)＝ ＝2，
所以其切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
因为g′(1)＝ ＝4，
所以其切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，
即y＝4x－2.
取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，
则cosθ＝＝＝＝.
课件48张PPT。第二章变化率与导数本章内容编排上分为五部分：一是变化的快慢与变化率；二是导数的概念及其几何意义；三是计算导数；四是导数的四则运算法则；五是简单复合函数的求导法则.
教材通过实例分析，让我们经历从用变化率刻画事物变化的快慢、从平均变化率到瞬时变化率的认识过程，进而给出导数概念和导数的几何意义．
为了进一步理解导数就是瞬时变化率，从而解决瞬时变化率的问题，我们可以首先从平均变化率开始，通过对自变量的改变量取极限进而得到平均变化率的极限值——瞬时变化率，教材专门安排了一节“计算导数”，使我们学会利用平均变化率取极限的方法计算一些简单函数的导数，并给出了导数的概念．对于一般函数的导数的计算，教材没有进行推导，而是直接给出基本初等函数的导数公式表，并通过四则运算法则和复合函数求导法则计算相关函数的导数，这些运算法则的主要定位是应用，不要求严格的推导，只是通过一些实例产生感性的认识．对于复合函数，要求能求简单的复合函数(仅限于形如f(dx＋b))的导数．
本章的学习重点是导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算；学习的难点是对导数定义的理解. §2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义自主预习学案 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的
切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方
向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线
方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的_____．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的__________，即k＝f ′(x0)＝ _______________________.
3．函数y＝f(x)在点x0处切线的方程为__________________________.切线 切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) B 2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( )
A．f ′(x0)<0 B．f ′(x0)>0
C．f ′(x0)＝0 D．f ′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x0)＝3.故选B.B B 互动探究学案(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[思路分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．命题方向1 ?求切线方程典例 1 可得(x－2)2(x＋4)＝0，
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．『规律总结』 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)；
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．[思路分析] 解此类题的步骤为：①设切点坐标(x0，y0)；②求导函数 f ′(x)；③求切线的斜率f ′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．命题方向2 ?求切点的坐标 典例 2 (1，－1) 『规律总结』 切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，直线平行或垂直与斜率的关系等．B 导数的几何意义的综合运用，主要是依据函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程，再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题．
已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．导数几何意义的综合应用 典例 3 玉 『规律总结』 1.导数的几何意义是指：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．
2．运用导数几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．
3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．±1 过曲线y＝x3上的点P(1,1)作该曲线的切线，求过点P(1,1)的切线方程．对导数的几何意义理解不够深刻，导致判断错误 典例 4 [点评] 错误原因：求曲线上过某点的切线方程时，把该点作了切点，事实上也可能不是切点，甚至即便是切点也可能导数不存在．
纠错心得：函数在某点处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件，注意“在”和“过”的区别．C [解析] ∵y＝f(x)的图像在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点和切线斜率f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，
则f(5)＋f′(5)＝2.C 3．(2019·临沂高二检测)曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则此切线的方程为( )
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26D 4．(2019·威海高二检测)已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．课时作业学案
