第一章 §7
A级 基础巩固
一、选择题
1．tan 480°的值为( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] tan 480°＝tan (360°＋120°)＝tan 120°
＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－.
2．已知函数f(x)＝sin ，g(x)＝tan (π－x)，则( D )
A．f(x)与g(x)都是奇函数
B．f(x)与g(x)都是偶函数
C．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
D．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
[解析] f(x)＝sin ＝sin (＋)＝cos ，
∴f(x)为偶函数．
g(x)＝tan (π－x)＝－tan x，∴g(x)为奇函数．
3．已知P(2，－3)是α终边上一点，则tan (2π＋α)等于( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析] tan (2π＋α)＝tan α＝＝－.
4．设tan (5π＋α)＝m，则的值为( A )
A． B．
C．－1 D．1
[解析] ∵tan (5π＋α)＝m，∴tan α＝m，
原式＝＝＝＝.
5．已知函数y＝tan (2x＋φ)的图像过点，则φ可以是( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 0＝tan ?＋φ＝kπ?φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－.故选A．
6．函数tan (x－)的定义域是( D )
A．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}
B．{x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z}
C．{x|x∈R，x≠2kπ＋，k∈Z}
D．{x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z}
[解析] ∵x－≠kπ＋(k∈Z)，∴x≠kπ＋(k∈Z)，
∴定义域为{x∈R|x≠kπ＋，k∈Z}．
二、填空题
7．tan (－)＝__－__.
[解析] tan (－)＝－tan
＝－tan (2π＋)＝－tan
＝－tan (π＋)＝－tan ＝－.
8．函数y＝＋的定义域为__{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}__.
[解析] 欲使函数y＝＋有意义，则需满足
将正弦函数与正切函数的图像画在同一坐标系内，如图，
由图可得函数的定义域为
{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}．
三、解答题
9．求下列各式的值．
(1)cos ＋tan (－)；
(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°.
[分析] 求任意角的三角函数值，需将任意角转化成0°～360°(或0～2π)间的角以后再求值．
[解析] (1)cos ＋tan (－)
＝cos (8π＋)＋tan (－4π＋)
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos (0°＋360°)
＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.
10．(1)若x∈[－，]，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值；
(2)求函数y＝tan (＋)，x∈[0，π]且x≠的值域．
[解析] (1)y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan 2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
因为x∈[－，]，所以tan x∈[－，1]．
故当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
(2)因为x∈[0，)∪(，π]，
所以＋∈[，)∪(，]．
令t＝＋，由y＝tan t的图像(如图所示)可得，
函数y＝tan (＋)，x∈[0，)∪(，π]的值域为(－∞，－]∪[，＋∞)．
B级 素养提升
一、选择题
1．当x∈(－，)时，函数y＝tan |x|的图像( B )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．没有对称轴
2．在区间(－π，π)上，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．函数y＝cos 的图像的一个对称中心是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由于对称中心是使函数值为零的点，可排除A、B，当x＝时，y＝cos ＝cos ＝0，故选C．
4．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f，b＝f，c＝f，则( A )
A．b
C．b[解析] b＝f＝f＝f，
c＝f＝f＝f.
因为0且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以b二、填空题
5．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f()＝__0__.
[解析] 由题意知＝，∴ω＝4.∴f(x)＝tan 4x.
∴f()＝tan π＝0.
6．函数y＝3tan (2x＋)的图像的对称中心的坐标为__(－，0)(k∈Z)__.
[解析] 由于y＝tan x是奇函数，它的图像的对称中心有无穷多个，为(，0)(k∈Z)，而y＝Atan (ωx＋φ)的图像可由y＝tan x的图像经过变换而得到，所以它仍有无穷多个对称中心．
∵y＝tan x的图像的对称中心是(，0)，k∈Z，
∴令2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z.
∴函数y＝3tan (2x＋)的图像的对称中心坐标为(－，0)(k∈Z)．
三、解答题
7．求函数y＝tan 2x－2tan x(|x|≤)的值域．
[解析] 令u＝tan x，
∵|x|≤，∴由正切函数的图像知u∈[－，]．
∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]．
∵二次函数y＝u2－2u的图像开口向上，对称轴方程为u＝－＝1，
∴当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1.
当u＝－时，ymax＝3＋2.
∴f(x)的值域为[－1,3＋2]．
8．作出下列函数的图像，并判断它们的周期性．
(1)y＝tan |x|；
(2)y＝|tan x|.
[解析] (1)y＝tan |x|
＝
故当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图像就是y＝tan x的图像；
当x<0时，函数y＝tan |x|在y轴左侧的图像为y＝tan x在y轴左侧的图像关于x轴对称的图像，如下图所示．
观察图像可知，y＝tan |x|不是周期函数．
(2)y＝|tan x|
＝
类似(1)可作出其图像，如下图所示．
观察图像可知，y＝|tan x|是以π为周期的周期函数．
C级 能力拔高
已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
[解析] (1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]，
所以当x＝时，f(x)的最小值为－；
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x＝－tan θ，要使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，必须有－tan θ≤－1或－tan θ≥，即tan θ≥1或tan θ≤－.又θ∈，所以θ的取值范围是∪.
课件51张PPT。第一章三角函数§7 正切函数自主预习学案“东升西落照苍穹，影短影长角不同”．随着太阳高度的变化，地面物体的影子的长度也随之变化，在这些变化之中蕴藏着物体影子长度与光线角度之间的关系，这个关系是什么呢？前面我们已经研究了正弦、余弦函数的图像和性质，那么正切函数又有什么特定的性质呢？y＝tan α 2．正切线
在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于点T，称线段_____为角α的正切线．AT R kπ(k∈Z，k≠0) π 原点O 奇 4．有关正切函数的诱导公式
tan (α＋kπ)＝_________.
tan (2π＋α)＝_________.
tan (－α)＝___________.
tan (2π－α)＝___________.
tan (π＋α)＝_________，
tan (π－α)＝___________.tan α tan α －tan α －tan α tan α －tan α B A < 互动探究学案[思路分析] 由tan α>0可判断出角α所在的象限，然后利用三角函数的定义求sin α与cos α.命题方向1 ?正切函数的定义及应用典例 1 化简：命题方向2 ?正切函数的诱导公式及应用典例 2 『规律总结』 利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的．命题方向3 ?求定义域和单调区间典例 3 不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小．命题方向4 ?诱导公式与单调性综合运用典例 4 [解析] (1)∵tan 215°＝tan (180°＋35°)＝tan 35°，
y＝tan x在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°，
∴tan 32°①保留函数y＝f(x)的图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．D 典例 6 [辨析] 上述解法错误的原因是误认为正切函数是R上的单调递增函数．『规律总结』 正切函数在每一个单调区间内都是增函数，但是在整个定义域内不是增函数，利用单调性解题时，不要忽略正切函数的定义域．A C A A ±2 课时作业学案