第一章 §8
A级 基础巩固
一、选择题
1．若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( B )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
[解析]__函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin 2(x＋)，令2(x＋)＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．
2．要得到函数y＝cos (2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( C )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] ∵y＝cos (2x＋1)＝cos [2(x＋)]，
∴只须将y＝cos 2x的图像向左平移个单位即可得到y＝cos (2x＋1)的图像．
3．函数y＝sin (x－)的图像的一条对称轴是( C )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[解析] 由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
4．函数y＝sin (－2x＋)的单调递减区间是( C )
A．[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
B．[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
C．[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
D．[＋kπ，＋kπ]，k∈Z
[解析] y＝－sin (2x－)．
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
5．将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( C )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] 将函数y＝sin x的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图像的解析式为y＝sin (x－)，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是y＝sin (x－)．
6．已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( A )
A．f(x)＝2cos (－)
B．f(x)＝cos (4x＋)
C．f(x)＝2sin (－)
D．f(x)＝2sin (4x＋)
[解析]__由图像知，A＝2，排除选项B．又＝－＝π，知T＝4π，∴＝4π.∴ω＝，排除选项D．把x＝0，y＝1代入选项A、选项C中检验，知选项C错误．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝____.
[解析] 由图像可得函数f(x)的最小正周期为，
∴T＝＝，ω＝.
8．完成下列填空：
(1)函数y＝2sin 的最小正周期为__4__；
(2)函数y＝sin (ω>0)的最小正周期为，则ω＝__3__；
(3)函数y＝4sin ＋3sin 的最小正周期为__π__.
[解析] (1)T＝＝4，∴应填4.
(2)∵＝，∴ω＝3，∴应填3.
(3)∵4sin 与3sin 的最小正周期都为，∴应填.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝3sin (x－)，x∈R.
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？
[解析] (1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，
解得x＝，，，，.
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin (x－)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．
图像如下：
(2)方法一：先把y＝sin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像．
方法二：先把y＝sin x的图像所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图像向右平移个单位，得到f(x)的图像．
10．已知函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像的一个最高点为(2,2)，从这个最高点到相邻最低点之间的图像与x轴交于点(6,0)，求这个函数的解析式．
[解析] 已知图像的最高点为(2,2)，所以A＝2，
又从最高点到相邻最低点之间的图像交x轴于点(6,0)，所以＝6－2＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，
所以y＝2sin ，
代入最高点坐标(2,2)，得2＝2sin ，
所以sin (＋φ)＝1.又|φ|<，所以φ＝，
所以函数的解析式为y＝2sin .
B级 素养提升
一、选择题
1．要得到函数y＝3sin (2x＋)的图像，只需将函数y＝3sin 2x的图像( C )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] 由y＝3sin 2(x＋φ)＝3sin (2x＋)，得
∴2φ＝，φ＝.故向左平移个单位．
2．使函数y＝2sin ，x∈[0，π]为增函数的区间是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由y＝2sin (－2x)＝－2sin (2x－)可知，其增区间可由y＝2sin (2x－)的减区间得到，即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
令k＝0，故选C．
3．已知函数f(x)＝sin (x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的一个值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 本小题主要考查三角函数的图像和性质．
∵T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin (2x＋)．
将f(x)左移|φ|个单位后得sin [2(x＋φ)＋]＝sin (2x＋2φ＋)为偶函数．
∴sin (2φ＋)＝±1，∴2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，k＝0时φ＝.故选D．
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(x∈R，ω>0，|φ|<)的最小正周期为π且f(0)＝，则cos (ωφ)＝__－__.
[解析] T＝＝π，∴ω＝2.
又f(0)＝2sin φ＝，sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝.
∴cos (ωφ)＝cos ＝－.
6．关于函数f(x)＝4sin (2x＋)(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos (2x－)；
③y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．
其中正确的命题序号是__②③__.(注：把正确的命题的序号都填上)
[解析] 对于①，由于函数f(x)的周期T＝＝π，而|x1－x2|的最小值是，故①不正确；
对于②，由于y＝4cos (2x－)＝4cos [(2x＋)－]＝4cos [－(2x＋)]＝4sin (2x＋)，故②正确；
令2x＋＝kπ，得x＝－，故当k＝0时，对称中心为(－，0)，所以③正确；
令2x＋＝＋kπ，得x＝＋(k∈Z)，不论k取何整数，对称轴方程都不为x＝－，所以④不正确．
三、解答题
7．如图，表示函数y＝Asin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的图像的一段，求此函数的解析式．
[解析] 由图像知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2(－)＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ.令k＝0，则φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin (2x＋)－1.
8．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
[解析] (1)由最低点为M(，－2)，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
∴f(x)＝2sin (2x＋φ)．
由点M(，－2)在图像上，得2sin (＋φ)＝－2，
即sin (＋φ)＝－1.
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈(0，)，∴φ＝.∴f(x)＝2sin (2x＋)．
(2)∵x∈[，]，∴2x＋∈[，]．
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
∴f(x)的值域为[－1,2]．
9．已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图像最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和.
求：(1)f(x)的解析式；
(2)f(x)的值域；
(3)f(x)的对称轴．
[解析] (1)A＝，T＝2＝π，
∴＝π.∴ω＝2.
∴f(x)＝sin (2x＋φ)．
又在f(x)图像上，
∴f＝0.∴sin ＝0.
∴sin ＝0.
又－π<φ<0，∴φ＝－.∴f(x)＝sin .
(2)值域是[－，]．
(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
C级 能力拔高
将函数y＝sin (2x－)图像上的点P(，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图像上，则( A )
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
[解析] 因为点P在函数y＝sin 的图像上，所以t＝sin ＝sin ＝.又P′在函数y＝sin 2x的图像上，所以＝sin 2，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z，又s>0，故s的最小值为，故选A．
课件58张PPT。第一章三角函数§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质自主预习学案你知道冲浪运动吗？那汹涌的波涛时而把人们推向高耸的巅峰，时而又将人们卷入无底的深渊，让人们尽情享受冲浪的乐趣．小孩嬉水时，常将小石子扔进平静的水中，形成阵阵涟漪．这些都给我们无限的遐想，猛然间我们会发现它竟然与我们所学的正弦、余弦函数的图像是那么的相似，它们之间是不是有某种联系？相信学过本节之后，你一定会豁然开朗．1．“五点法”画函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像
利用“五点法”作函数y＝Asin (ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的简图，先分别令ωx＋φ＝_____________________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y＝Asin (ωx＋φ)，x∈R的简图．振幅 周期 频率 相位 初相 A＋b －A＋b 向左 向右 缩短 伸长 伸长 缩短 B D D D 2 互动探究学案命题方向1 ?五点法作y＝Asin (ωx＋φ)的图像典例 1 [思路分析] 可以按变换顺序φ—ω—A进行图像变换，也可以按变换顺序ω—φ—A进行图像变换．命题方向2 ?函数图像的变换典例 2 『规律总结』 本题用了由函数y＝sin x(x∈R)的图像变换到函数y＝Asin (ωx＋φ)(x∈R)的图像的两种方法，第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，我们要注意下一步的变换平移的长度．〔跟踪练习2〕已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1,0)对称
[解析] f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．C 又y＝lnu在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图像不关于点(1,0)对称，
∴选项D错误．
故选C．命题方向3 ?由函数解析式研究性质典例 3 『规律总结』 对于函数单调性、对称性的研究，运用整体处理，只要熟练掌握y＝sin x的性质，就可以“以不变应万变”． 如图所示的是函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图像，试确定A，ω，φ的值，并求出函数的解析式．命题方向4 ?由函数图像确定函数解析式典例 4 [思路分析] 结合图像先求出A，T，再利用待定系数法或图像变换法求解．C 函数y＝Asin (ωx＋φ)性质的综合应用 典例 5 故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像是『规律总结』 解决该类题目的关键是由y＝Asin (ωx＋φ)确定出函数的相应性质，如单调性、奇偶性、对称性、最值等，充分利用函数性质求解．典例 6 [辨析] 图像变换要看变量发生多大变化，而不是角变化多少．『规律总结』 当三角函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像向左或向右平移时，根据左加右减的方法，变换中要以x＋α代替x，但往往ωx＋φ整体加了α，变成ωx＋φ＋α，导致错误．C C D A A 课时作业学案
