第一章 §9
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图所示是一个简谐运动的图像，则下列判断正确的是( D )
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的位移为零
2．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向旋转π弧长到达Q点，则Q点的坐标为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 当逆时针旋转π后，Q点坐标为，即.
3．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( B )
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零
[解析] 由图像可知，＝0.7－0.3＝0.4，
∴T＝0.8(s)，故A错，显然振幅A＝5 cm，故B正确；
该质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，故C错；
在0.3s和0.7s时，加速度改变方向，且不为0，故D错．
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos (t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] 因为周期T＝，所以＝＝2π.则l＝.
5．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( C )
[解析] P从P0出发，逆时针运动，t＝0时，d＝，t与d满足关系式d＝2sin (t－)(t≥0)．所以选择C．
6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )
A．f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin (x－)(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin (x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
[解析] 令x＝3可排除选项D；令x＝7可排除选项B；由A＝＝2可排除选项C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin (x＋φ)＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin (＋φ)＋7＝9，即sin (＋φ)＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝2sin (x＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是__2__.
[解析] 由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.∴|x1－x2|min＝＝2.
8．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s(单位： cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin (ωt＋φ)，0<φ<，函数图像如图所示，则函数的解析式为s＝__6sin (2πt＋)(t≥0)__℃.
[解析] 根据图像，知x轴上标有，的两点的距离刚好是个周期，
所以T＝－＝.
所以T＝1，ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
又当t＝0时，s＝3，所以3＝Asin ，A＝6.
所以函数解析式为s＝6sin (2πt＋)(t≥0)．
三、解答题
9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin (2πt＋)．
(1)作出它的图像．
(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
[解析] (1)列表如下：
2πt＋
…
0
π
2π
…
t
…
－
…
s
…
3
6
0
－6
0
…
描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k(k∈Z)个单位长度，得函数s＝6sin (2πt＋)的图像，如图所示．
(2)当t＝0时，s＝6sin ＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin (2πt＋)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin (2πt＋)的周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.
10．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离．
[解析] 依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sin x.
当x＝4时，y＝2sin ＝3，
∴M(4,3)．又P(8,0)，
∴MP＝＝5.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( B )
A．y＝cos t＋1 B．y＝cos t＋
C．y＝2cos t＋ D．y＝cos 6πt＋
[解析] ∵T＝12－0＝12∴ω＝＝＝.又最大值为2，最小值为1，则解得A＝，b＝，∴y＝cos t＋.故选B．
2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A(，)，
∴y＝sin (t＋)，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)，若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( C )
A．y＝sin (t＋)
B．y＝sin (－t－)
C．y＝sin (－t＋)
D．y＝sin (－t－)
4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( C )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
[解析] 对每个选项进行验证．
当t∈[0,5]时，∈[0,2.5]，
∵2.5>，∴函数F(t)先增后减，不符合题意．
当t∈[5,10]时，∈[2.5,7.5]，
函数F(t)在[2.5，]上递减，在[，7.5]上递增，不符合题意．
当t∈[10,15]时，∈[5,7.5]，F(t)在该区间上是递增的．
当t∈[15,20]时，∈[7.5,10]，F(x)在该区间上先增后减．
二、填空题
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin (ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝(秒)时电流强度为__0__.
[解析] 由题图知，＝－＝，
∴T＝，即ω＝100π，A＝10.
又t＝时，I取最大值，
则有10＝10sin (×100π＋φ)，
解得φ＝，
即I＝10sin (100πt＋)．
令t＝，则I＝10sin (100π×＋)＝10sin 6π＝0.
6．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距离地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过tmin后，点P的高度h＝40sin ＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续__4__分钟．
[解析] 依题，即40sin ＋50≥70，
即cos t≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．
三、解答题
7．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，－π<φ<0.
(1)求这一天0～10时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.
(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期，
则周期T＝2(9－1)＝16，∴＝16，解得ω＝.
解方程组得A＝10，b＝10，
则有y＝10sin (x＋φ)＋10，∴sin (＋φ)＝－1.
又－π<φ<0，则φ＝－，
综上，所求解析式为y＝10sin (x－)＋10，x∈[0,10]．
8．通常情况下，同一地区同一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b的图像．某年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.
(1)求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24])的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解析] (1)由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin (×2＋φ)＋6＝－2，即sin (×2＋φ)＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，得φ＝－，所以y＝8sin (x－)＋6(x∈[0,24])．
(2)当x＝9时，y＝8sin (×9－)＋6＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．
C级 能力拔高
已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin (ωt＋φ)．
(1)如图是I＝Asin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin (ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析] (1)因为周期T＝2[－(－)]＝，
ω＝＝150π，
又A＝300，所以I＝300sin (150πt＋φ)．
将点(－，0)的坐标代入上式，得sin (φ－)＝0，
由于|φ|<，所以φ－＝0，φ＝，
即所求的解析式为I＝300sin (150πt＋)．
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值，必满足区间长度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π≈942.3，所以ω的最小正整数值是943.
课件45张PPT。第一章三角函数§9 三角函数的简单应用自主预习学案南宋著名诗人王十朋在江心寺题了一副知名对联．上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消．
在这里，诗人王十朋巧妙地运用叠字对联展现了瓯江潮水涨落的壮观画面，当然他对瓯江潮水的描述是感性的，学习三角函数的应用后，我们可以从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题．周期现象是自然界中最常见的现象之一，___________是研究周期现象最重要的数学模型．
面对实际问题建立数学模型y＝_____________________是一项重要的基本技能．三角函数 Asin (ωx＋φ)＋B D A [解析] 正弦函数的解析式中A＝3，所以最高点和最低点相差6，所以水深的最大值为6＋2＝8.故本题正确答案为C．C 互动探究学案 如图所示，表示电流I(单位：安)与时间t(单位：秒)的关系式I＝Asin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像．命题方向1 ?三角函数在物理中的应用典例 1 [思路分析] 这是一道给出图像来求解析式，进而研究在某区间内能否有最值的问题．首先找振幅和周期，从而求出A和ω，再用一个特殊点的坐标(注意“五点”的顺序)代入或根据平移情况求出φ.在大于或等于一个周期的区间内可同时有最大值和最小值．『规律总结』 这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首先求出待定的A，ω，φ，b的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键．命题方向2 ?利用三角函数求最值典例 2 [解析] 设∠BAP＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ，
∴PQ＝MB＝100－90cos θ，PR＝100－90sin θ.
∴S矩形PQCR＝PQ·PR
＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10000－9000(sin θ＋cos θ)＋8100sin θcos θ.『规律总结』 此题设变量是关键，若设CR＝x为参数，很难列出面积表达式，列出了也无法处理．考虑到矩形变化过程中，AP始终等于90不变，于是我们引入θ，用90和θ表示题中边长．另外，本题同时出现了sin θ＋cos θ与sin θ·cos θ，应迅速想到令t＝sin θ＋cos θ换元． 已知某海滨的海浪高度y(单位：米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时间段内的海浪高度的数据：
经过长期观测，y＝f(x)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋B.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋B的最小正周期T，振幅A及函数表达式；三角函数在日常生活中的应用 典例 3 (2)根据规定，当海浪高度高于1米时，海滨才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
[思路分析] 把实际问题与数学知识相结合，弄清条件和结论，建立恰当的数学模型进行求解．『规律总结』 用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定解析式．求时间段是通过建立不等式、解不等式来完成的． 弹簧振子以点O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C两点相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首先到达C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小．不能正确认识简谐运动的过程而导致错误 典例 4 [错因分析] 实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围．D C A 4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为_______万度，最小用电量为_______万度；
(2)这段曲线的函数解析式为_____________________________________.50 30 课时作业学案
