第一章 §4 4.1 4.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．有下列命题，其中正确的个数是( B )
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②同名三角函数值相等的角也相等；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．
2．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由sin α＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.
∴点P在第四象限．
4．点A(x，y)是－300°角终边与单位圆的交点，则的值为( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] x＝cos (－300°)＝cos (－360°＋60°)＝cos 60°＝，
y＝sin (－300°)＝sin (－360°＋60°)＝sin 60°＝.
∴＝.
5．下列函数是周期函数的有( C )
①y＝sin x ②y＝cos x ③y＝x2
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
[解析] 很明显y＝sin x和y＝cos x是周期函数，函数y＝x2的图像不是重复出现，故函数y＝x2不是周期函数．
6．已知角α的终边上一点P(1，－2)，则sin α＋cos α等于( C )
A．－1 B．
C．－ D．－
[解析] ∵x＝1，y＝－2，∴r＝.
∴sin α＝＝－，cos α＝＝.
∴sin α＋cos α＝－＋＝－.
二、填空题
7．sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°)＝__1__.
[解析] 原式＝sin (360°＋60°)cos (720°＋30°)＋sin (－720°＋30°)cos (－720°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝×＋×＝1.
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝__－8__.
[解析] 根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，
又∵y<0，∴y＝－8(符合题意)，y＝8(舍去)．
综上知y＝－8.
三、解答题
9．已知角θ终边上一点P的坐标为(x,3)，x≠0，且cos θ＝x.求sin θ和cos θ的值．
[解析] 因为cos θ＝x＝，所以xr＝10x.
因为x≠0，所以r＝.
由x2＋32＝r2，得x＝±1，又因为y＝3>0，
所以θ是第一或第二象限角．
当θ是第一象限角时，取x＝1，则
sin θ＝＝＝，cos θ＝.
当θ是第二象限角时，取x＝－1，则
sin θ＝＝＝，cos θ＝－.
10．计算下列各式的值：
(1)m2sin (－630°)－2mncos (－720°)；
(2)sin (－π)－cos π.
[解析] (1)原式＝m2·sin (－720°＋90°)－2mn·cos 0°
＝m2·sin 90°－2mncos 0°
＝m2－2mn.
(2)原式＝sin (－4π＋)－cos (4π＋)＝sin －cos ＝－＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是( A )
A．－2 B．
C．－2或 D．2
[解析] 由余弦函数的定义知，＝－，
化简整理得11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又2a＋1<0，所以a＝－2.
2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为( B )
A．－2
C．－2≤a<3 D．－3≤a<2
[解析] ∵sin α>0，cos α≤0，
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3a－9≤0且a＋2>0.
∴－23．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图像是( B )
[解析] 由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B．
4．α是第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且cos α＝－，则sin α的值为( A )
A． B．
C． D．－
[解析] ∵|OP|＝，
∴cos α＝＝－
又因为α是第二象限角，
∴y>0，得y＝，
∴sin α＝＝，故选A．
二、填空题
5．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为__±__.
[解析] 在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
6．已知()sin θ<1且2cos θ<1，则θ为第__二__象限角．
[解析] ∵()sin θ<1＝()0，∴sin θ>0.
又2cos θ<1＝20，∴cos θ<0.∴θ为第二象限角．
三、解答题
7．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin α，cos α的值；
(2)求α的终边与单位圆交点Q的坐标．
[解析] (1)r＝＝5|a|.
当a>0时，r＝5a，角α在第二象限，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.
当a<0时，r＝－5a，角α在第四象限，
∴sin α＝－，cos α＝.
(2)由正弦、余弦函数的定义知，α的终边与单位圆交点的坐标为Q(cos α，sin α)，
∴当a>0时，Q(－，)，当a<0时，Q(，－)．
8．已知＝－，且lgcos α有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值．
[解析] (1)由＝－可知sin α<0，
∴α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角．
由lgcos α有意义可知cos α>0，
∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角．
综上可知，角α是第四象限角．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
根据正弦函数的定义，可知sin α＝－.
C级 能力拔高
若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．
[解析] ∵sin 2α>0，
∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴α为第一或第三象限角．
又由cos α<0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x轴的非正半轴上．综上可知，α是第三象限角．
课件45张PPT。第一章三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性自主预习学案
1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，以_______为圆心，以_________为半径的圆，称为单位圆．原点 单位长 (2)任意角的正弦、余弦函数的定义
定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的_________v叫作角α的正弦函数，记作____________；点P的_________u叫作角α的余弦函数，记作____________.
纵坐标 v＝sin α 横坐标 u＝cos α 全体实数 [－1,1] ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ 2．单位圆与周期性
(1)终边相同的角的正、余弦函数值_______
sin (2kπ＋x)＝_________，k∈Z.
cos (2kπ＋x)＝_________，k∈Z.
(2)周期函数与周期
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有____________________，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的_______.相等 sin x cos x f(x＋T)＝f(x) 周期 D B C 4．5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝_______.
[解析] ∵sin 90°＝1，sin 0°＝0，
sin 270°＝－1，cos 180°＝－1，
∴原式＝5×1＋2×0－3×(－1)＋10×(－1)＝－2.
5．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝_____.
[解析] f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.－2 1 互动探究学案 已知角α的终边在射线y＝2x(x>0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．
[思路分析] 可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助三角函数定义加以解决．命题方向1 ?三角函数的定义典例 1
B 判断下列三角函数值的符号．
(1)sin 4·cos 4；
(2)sin 8·cos 8.
[思路分析] 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定．命题方向2 ?正弦、余弦函数值符号的确定典例 2 『规律总结』 对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要．C [思路分析] 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值．命题方向3 ?利用终边相同的角的公式化简、求值典例 3 『规律总结』 解答此类题目的方式是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值；在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想． 已知f(x＋a)＝－f(x)(a>0)．
求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
[思路分析] 只需找出一个常数T(T≠0)，满足f(x＋T)＝f(x)即可．
[证明] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期．命题方向4 ?周期函数的理解与应用典例 4 『规律总结』 (1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)的周期，不能说T是f(x)的周期．〔跟踪练习4〕以下几个命题中正确的有( )
①若函数f(x)定义域中存在某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①由周期函数的定义可知，f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故不正确；
②由周期函数的定义可知T≠0，故不正确；
③若T为周期，则f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)，故2T也是周期，故不正确．A 分类讨论思想在化简三角函数式中的应用 典例 5 『规律总结』 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．〔跟踪练习5〕若sin θcos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限B 已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sin α＝_____.三角函数定义理解中的误区 典例 6
〔跟踪练习6〕已知角θ的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求sin θ，cos θ.B 2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )
A．sin αtan α>0 B．cos αtan α>0
C．sin αcos α>0 D．sin αcos α<0
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，
∴sin αcos α>0，故选C．C A 4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[解析] ∵A、B、C是△ABC的内角，∴sin A>0.
∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.
∴cos B和tan C中必有一个小于0.
即B、C中必有一个钝角，选C．C 5．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝_____.
[解析] f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.2 课时作业学案