北师大版数学必修4 第一章4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质29张PPT

第一章　§4　4.3　
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝asin x，f()＝，则f()＝(　C　)
A．　　 B．－　
C．　　 D．－
2．函数y＝πsin x的最大值与最小值的差为(　C　)
A．π　　 B．－π　
C．2π　　 D．－2π
[解析]　y＝πsin x的最大值为π，最小值为－π，所以差为2π.
3．设a＝cos 64°，b＝sin 25°，c＝cos 25°，则它们的大小关系是(　B　)
A．aC．a[解析]　∵sin 25°4．下列各式正确的是(　B　)
A．sin 1>sin 　　 B．sin 1C．sin 1＝sin 　　 D．sin 1≥sin 
[解析]　1和的终边均在第一象限，且大于1的正弦线，则sin 15．y＝2sin x2的值域是(　A　)
A．[－2,2] B．[0,2]　
C．[－2,0] D．R
[解析]　∵x2≥0，∴sin x2∈[－1,1]，
∴y＝2sin x2∈[－2,2]．
6．函数y＝的值域是(　C　)
A．[－1,1]　　 B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)　　 D．(－∞，＋∞)
[解析]　令sin x＝t，则t∈[－1,0)∪(0,1]，∴y＝的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
二、填空题
7．y＝2sin 2x在x∈[－，]上的最大值与最小值的和为__1__.
[解析]　∵－≤x≤，∴－≤2x≤π，当2x＝－时，ymin＝2sin (－)＝－1，当2x＝时，ymax＝2sin ＝2，∴和为1.
8．函数y＝log|sin x|取最小值时的x有取值集合是__{x|x＝kπ＋，k∈Z}__.
[解析]　当sin x＝±1，x＝kπ＋时，ymin＝1＝0.
三、解答题
9．求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
(1)y＝2sin x－1；
(2)y＝－sin 2x＋sin x＋.
[解析]　(1)由－1≤sin x≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sin x－1取得最小值，ymin＝－3.
(2)y＝－sin 2x＋sin x＋＝－(sin x－)2＋，因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
10．解不等式组
[解析]　由得
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，
由可得

解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}．
B级　素养提升
一、选择题
1．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是(　B　)
A．[0，]　　 B．[，]
C．[，]　　 D．[，π]
[解析]　如图易知选B．
2．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　B　)
A．锐角三角形　　 B．钝角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
[解析]　(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－<0，
又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．
3．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　D　)
A．f(x)是偶函数　　 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数　　 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[解析]　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
4．设0<|α|<，则下列不等式中一定成立的是(　B　)
A．sin 2α>sin α　　 B．cos 2αC．sin 2αcos α
[解析]　可利用举例进行排除，可知A、C、D均不正确．
二、填空题
5．函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1.f(b)＝1，则cos ＝__1__.
[解析]　由条件知，a＝－＋2kπ，b＝＋2kπ，所以cos ＝cos 2kπ＝1.
6．函数y＝cos 2x－4cos x＋5的值域为__[2,10]__.
[解析]　令t＝cos x，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值2.
所以该函数的值域是[2,10]．
三、解答题
7．求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合：
(1)y＝3－2sin x；
(2)y＝sin 2x－4sin x＋5.
[解析]　(1)∵－1≤sin x≤1，
∴－2≤－2sin x≤2.
∴y∈[1,5]．
∴当x＝4kπ＋π(k∈Z)时，函数有最小值1；
当x＝4kπ＋3π(k∈Z)时，函数有最大值5，
即函数取得最小值1时，x的取值集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}，当函数取最大值5时，x的取值集合为{x|x＝4kπ＋3π，k∈Z}．
(2)∵y＝(sin x－2)2＋1，sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝10；
当sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝2，
即y取得最大值10时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
y取得最小值2时，x的取值集合是
{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
8．求函数y＝lg(1－cos x)＋的定义域．
[解析]　如图所示，
∵，
∴－≤cos x<，
∴x∈(2kπ＋，2kπ＋]∪[2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)，即x∈(kπ＋，kπ＋)或x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋π，(k∈Z)，
函数定义域为{x|kπ＋C级　能力拔高
　函数y＝＋的定义域为__[－4，－π]∪[0，π]__.
[解析]　要使函数式有意义，需由①得－4≤x≤4，由②得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
课件29张PPT。第一章三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质自主预习学案
江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？在单位圆中，设任意角x的终边与单位圆交于P(cos x，sin x)，当P点变化时，点P的横纵坐标也在变。根据正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义，我们可以根据单位圆看出它们有如下性质
(1)定义域y＝sin x和y＝cos x的定义域是____.
(2)值域与最值y＝sin x和y＝cos x的值域是_______________.
当x＝___________________时，y＝sin x取得最大值1；
当x＝____________________时，y＝sin x取得最小值－1；
当x＝_______________时，y＝cos x取得最大值1；
当x＝__________________时，y＝cos x取得最小值－1；R　[－1,1]　2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)　(3)周期性y＝sin x和y＝cos x都是周期函数，它们的最小正周期是______.
(4)单调性
y＝sin x在每一个区间_________________________________上是增加的，
在每一个区间__________________________________上是减少的．
y＝cos x在每一个区间______________________________上是增加的，
在每一个区间______________________________上是减少的．2π　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　C 　2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为___________________.互动探究学案命题方向1　?正弦、余弦函数的值域问题典例 1 C 　『规律总结』　形如y＝asin x＋b的函数求值域或最值时，一般利用换元法，但要注意新元的范围．〔跟踪练习1〕函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A．2、－2 B．1、－3
C．1、－1 D．2、－1B 　命题方向2　?正弦型函数的值域典例 2 『规律总结』　形如y＝Asin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|，|A|]；当定义域为某个给定的区间时，需先确定ωx＋φ的范围，结合正弦函数的单调性确定值域． 求下列函数的值域：
(1)y＝3－2cos 2x，x∈R；
(2)y＝cos 2x＋2sin x－2，x∈R.
[思路分析]　(1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．与三角函数有关的函数的值域　典例 3 [解析]　(1)∵－1≤cos 2x≤1，∴－2≤－2cos 2x≤2.
∴1≤3－2cos 2x≤5，即1≤y≤5.
∴函数y＝3－2cos 2x，x∈R的值域为[1,5]．
(2)y＝cos 2x＋2sin x－2＝－sin 2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
∵－1≤sin x≤1，∴函数y＝cos 2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．『规律总结』　求形如y＝asin 2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．〔跟踪练习3〕求下列函数的值域．
(1)y＝3－2sin 2x；(2)y＝|sin x|＋sin x.
[解析]　(1)∵－1≤sin 2x≤1，∴1≤y≤5.
∴y∈[1,5]．
(2)当sin x≥0时，y＝2sin x≤2，这时0≤y≤2；
当sin x<0时，y＝0.
∴函数的值域为y∈[0,2]． 求函数y＝log2sin x的单调递增区间．忽略定义域导致求错单调区间　典例 4 [错因分析]　该解法错误的原因在于忘记考虑定义域．
[思路分析]　先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集．1．函数f(x)＝sin (－x)的最大值是(　　)
A．1　　 B．－1　
C．0　　 D．－2A 　B 　B 　 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　课时作业学案