第一章 §4 4.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．sin (－390°)的值为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] sin (－390°)＝sin (－360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－.
2．已知cos (＋x)＝，则sin x的值为( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos (＋x)＝－sin x＝，
∴sin x＝－.
3．在△ABC中，cos (A＋B)的值等于( B )
A．cos C B．－cos C
C．sin C D．－sin C
[解析] cos (A＋B)＝cos (180°－C)＝－cos C.
4．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是( B )
A． B．－
C．－ D．
[解析] ∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝.
∴sin (4π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－.
5．(2019·青岛二中高一月考)已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为( A )
A．－ B．－
C．－ D．－4
[解析] ∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，
∴由三角函数的定义知sin α＝，
cos α＝.
∵
＝＝＝－.
∴选A．
6．已知sin 10°＝k，则cos 620°的值等于( B )
A．k B．－k
C．±k D．不能确定
[解析] cos 620°＝cos (360°＋260°)＝cos 260°
＝cos (180°＋80°)＝－cos 80°＝－sin 10°＝－k.
二、填空题
7．sin (－1200°)·cos 1290°＋cos (－1020°)·sin (－1050°)＝__1__.
[解析] 原式＝－sin 1200°cos 1290°－cos 1020°·sin 1050°＝－sin (－60°＋7×180°)·cos (30°＋7×180°)－cos (－60°＋3×360°)·sin (－30°＋3×360°)＝sin (－60°)(－cos 30°)－cos (－60°)sin (－30°)＝－×(－)－×(－)＝1.
8．已知＝，则cos (3π－θ)＝____.
[解析] ∵＝＝，
∴cos θ＝－.
∴cos (3π－θ)＝cos (π－θ)＝－cos θ＝.
三、解答题
9．已知cos (75°＋α)＝，求cos (105°－α)＋sin (15°－α)的值．
[解析] ∵(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
∴cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－，
sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]
＝cos (75°＋α)＝.
∴cos (105°－α)＋sin (15°－α)
＝－＋＝0.
10．化简求值：.
[解析] 原式＝
＝
＝＝1.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝cos ，则下列等式成立的是( D )
A．f(2π－x)＝f(x) B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x) D．f(－x)＝f(x)
[解析] ∵f(x)＝cos ，∴f(－x)＝cos (－)＝cos ，
∴C不对；又f(2π－x)＝cos ＝cos (π－)
＝－cos ＝－f(x)．∴A不对．
∵f(2π＋x)＝cos ＝cos (π＋)＝－cos ≠f(x)，B不对，故选D．
2．若sin (π＋α)＋cos (＋α)＝－m，则cos (－α)＋2sin (6π－α)的值为( B )
A．－m B．－m
C．m D．m
[解析] ∵sin (π＋α)＋cos (＋α)＝－m，
∴－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，∴sin α＝.
∴cos (－α)＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－m.
3．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D )
A．cos (A＋B)＝cos C B．sin (A＋B)＝－sin C
C．cos (＋C)＝sin B D．sin ＝cos
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos (A＋B)＝－cos C，sin (A＋B)＝sin C.
所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
所以sin ＝sin (－)＝cos ，因此D是正确的．
4．已知sin (－α)＝，那么cos (－α)＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos (－α)＝cos [＋(－α)]＝－sin (－α)＝－.
二、填空题
5．化简＝__－1__.
[解析] 原式＝
＝
＝－＝－1.
6．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为__－__.
[解析] ∵P(－4,3)在角α的终边上，
∴|OP|＝5，∴sin α＝，cos α＝－.
∴原式＝＝＝－.
三、解答题
7．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos (－α－)＝，α∈[π，]，求f(α)的值．
[解析] (1)f(α)＝
＝－cos α.
(2)f(－)＝－cos (－)＝－cos (－6×2π＋)
＝－cos ＝－cos ＝－.
(3)∵cos (－α－)＝，∴cos (α＋)＝.
∴sin α＝－.
由α∈[π，]，∴cos α＝－.
∴f(α)＝－cos α＝.
8．求证：对任意的整数k，
＝－1.
[证明] 左边＝
(1)当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，
∴左边＝
＝＝＝－1.
(2)当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
同理可得左边＝－1，综上原等式成立．
C级 能力拔高
设f(x)＝asin (πx＋α)＋bcos (πx＋β)，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2018)＝－1，则f(2019)等于__1__.
[解析] ∵f(2018)＝asin (2018π＋α)＋bcos (2018π＋β)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2019)＝asin (2019π＋α)＋bcos (2019π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝1.
课件38张PPT。第一章三角函数§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4 单位圆的对称性与诱导公式自主预习学案
对称美是形式美的美学法则之一．人的形体是对称的，鹰、猛虎、雄狮、孔雀、金鱼、知了、蝴蝶等等无一不表现出对称的形态．人和动物的对称能给人以健康的美感，若不对称则给人以不愉快的印象．对称美源于自然亦道法自然．角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？1．特殊角的终边对称关系
(1)π＋α的终边与角α的终边关于_______对称；
(2)－α的终边与角α的终边关于______对称；
(3)π－α的终边与角α的终边关于______对称．原点 x轴 y轴 sin α cos α －sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α cos α －sin α cos α sin α [知识点拨]对诱导公式一～六的两点说明
(1)诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)公式的记忆口诀和说明
①口诀：奇变偶不变，符号看象限．
②说明：
(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．A A [解析] 原式＝cos α＋cos α－cos α－cos α＝0.A C A 互动探究学案 求下列式子的值：
[思路分析] 这类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．若是负角则应利用相应诱导公式先化为正角．命题方向1 ?利用诱导公式求值典例 1 『规律总结』 这一类问题属于给出角求其三角函数值的问题，一般情况是先将负角的三角函数利用sin (－α)或cos (－α)将其化为正角的三角函数；若角较大，利用sin (2kπ＋α)或cos (2kπ＋α)(k∈Z)将角化到0～2π之间，再利用三角函数的诱导公式将0～2π之间的角化为锐角，然后求其三角函数值．命题方向2 ?利用诱导公式化简典例 2
命题方向3 ?利用诱导公式证明恒等式典例 3 『规律总结』 对于三角恒等式的证明问题，一般遵循“化繁为简”的原则，最常用的方法是从左到右或从右到左．一般是从较复杂的一边向比较简单的一边进行证明．〔跟踪练习3〕求证：sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)．
[证明] (1)当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈Z)，则
sin (nπ＋α)＝sin [(2k－1)π＋α]
＝sin (－π＋α)＝－sin (π－α)
＝－sin α＝(－1)nsin α；
(2)当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则
sin (nπ＋α)＝sin (2kπ＋α)
＝sin α＝(－1)nsin α，
∴sin (nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)．已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值) 典例 3 『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键． 设θ是钝角，则cos (2π－θ)＝________.
[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos (2π－θ)＝－cos θ，故填－cos θ.
[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解] cos θ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos (2π－θ)＝cos θ，故填cos θ.对诱导公式理解不透致错 典例 5 1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A．α一定是锐角 B．0≤α<2π
C．α一定是正角 D．α是使公式有意义的任意角
2．下列各式不正确的是( )
A．sin (α＋180°)＝－sin α
B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)D B C 4．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝_______.
[解析] ∵cos (π－θ)＝－cos θ，
∴cos θ＋cos (π－θ)＝0，
即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1.－1 课时作业学案
