课件59张PPT。第二章平面向量章末整合提升知 识 结 构平
面
向
量 平
面
向
量 平
面
向
量 平
面
向
量 知 识 梳 理(2)零向量
长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的．我们规定：零向量和任意向量平行．
(3)单位向量
模为1个单位的向量．
(4)相等向量
具有方向的线段，叫作有向线段．同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.(5)相反向量
与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量．
(6)向量共线
向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同．2．向量的运算
(1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点．
向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一点上与三角形法则是不同，但本质是相同的．③数乘向量运算满足的运算律
设λ，μ为实数，则
(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a；
λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
④向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算．
(3)共线向量
平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.3．向量的分解与向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关于基底{e1，e2}的分解式．(7)向量数量积的运算律：
设向量a，b，c和实数λ，有a·b＝b·a；
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
a·(b＋c)＝a·b＋a·c.专 题 探 究1．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题．
2．理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等]及其相应运算的几何意义；并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算的基础．专题一 ?向量的线性运算典例 1 『规律总结』 结合图形，用已知向量表示未知向量，借助于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题．向量的数量积运算，是向量作为研究问题和解决问题工具的根本体现．根据向量数量积的定义及变形形式，可非常简便地求解有关距离、角度问题，可以判断垂直及三角形形状问题，还可以证明某些平面几何问题．专题二 ?向量的数量积运算典例 2 『规律总结』 平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 如右图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3，4)，点C在AB上，且OC平分∠BOA，求点C的坐标．专题三 ?向量的坐标运算典例 3 『规律总结』 进行向量的线性运算时，对运算律及公式应熟练掌握，灵活运用．〔跟踪练习3〕已知两个向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，当a＋xb与a－b垂直时，x的值为_____.[思路分析] (1)依条件式代入后判定；(2)代入求得m·n可知结论．专题四 ?向量的综合应用典例 4 [解析] (1)由于a＝(cos θ，sin θ)，
则a2＝1.
f[f(x)]＝f[x－2(x·a)a]
＝x－2(x·a)a－2{[x－2(x·a)a]·a}a
＝x－2(x·a)a＋2(x·a)a＝x.
所以f[f(x)]的结果不会随着θ的取值范围的变化而变化．『规律总结』 对于新情境题，一定要在充分理解题意的基础上将其转化为我们熟知的情境．对于本题而言，是将一个向量集合映射为它自身，这与我们熟悉的函数情境是不一致的，但若能将函数的有关知识迁移到本题中来，问题则转化成向量之间的数量积及线性运算．2 A C B 4．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 考查向量数量积的定义及性质．
(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0，
正确运用数量积的定义是解决本题的关键．B C 二、填空题
6．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是_______.
[解析] a＋λb＝(2,4)＋λ(1,1)＝(2＋λ，4＋λ)．
∵b⊥(a＋λb)，
∴b·(a＋λb)＝0，
即(1,1)·(2＋λ，4＋λ)＝2＋λ＋4＋λ＝6＋2λ＝0，
∴λ＝－3.－3 7．已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cos ∠BAC＝_____.第二章 学业质量标准检测(A)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为( B )
A．c＝4a＋b B．c＝a＋4b
C．c＝4b D．c＝a－4b
[解析] 令c＝xa＋yb，得∴
即c＝a＋4b.
2．下列说法正确的是( D )
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C．＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
[解析] A中两向量的夹角不确定；B中若a⊥b，a⊥c，b与c反方向则不成立；C中应为＝－；D中b⊥c?b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b.
3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cos θ＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知条件知b＝[(4,5)－a]＝(1,2)，
∴cos θ＝＝＝.
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a与a＋2b垂直，则m的值为( D )
A． B．1
C．－ D．－1
[解析] ∵a＋2b＝(1,3)＋2(－2，m)
＝(－3,3＋2m)，
∵a与a＋2b垂直．
∴1×(－3)＋3(3＋2m)＝0，∴m＝－1.
5．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．5
[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.
联立方程解得a·b＝1，故选A．
6．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于( B )
A．5 B．4
C．3 D．1
[解析] ∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13.
将θ＝120°，|a|＝3，代入可得|b|2－3|b|－4＝0.
解之，得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
7．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0.
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
8．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( C )
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
[解析] 由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，
∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，
即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．
∴(a·e－1)2≤0恒成立，
而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.
即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，又∵a≠e，∴e⊥(a－e)．
9．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( B )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] 由角平分线的性质得||＝2||，
即有＝＝(－)＝(a－b)．
从而＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.故选B．
10．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( C )
A．1 B．2
C． D．
[解析] 由(a－c)·(b－c)＝0得
a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，
故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，
即|c|≤|a＋b|＝，故选C．
11．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．
c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，
a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.
12．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径 OC上的动点，则(＋)·的最小值是( D )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
[解析] 由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·取得最小值－2，故选D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知平面向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝__11或－2__.
[解析] ＝(4－k，－7)，＝(10－k，k－12)．
∵A，B，C三点共线，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
∴k2－9k－22＝0，∴k＝11或k＝－2.
14．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝____.
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算．
由λa＋b＝0，有b＝－λa，于是|b|＝|λ|·|a|，
由b＝(2,1)，可得|b|＝，
又|a|＝1，故|λ|＝.
15．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝____.
[解析] 由题可知，不妨设e1＝(1,0)，e2＝(，)，设b＝(x，y)，则b·e1＝x＝1，b·e2＝x＋y＝1，所以b＝(1，)，所以|b|＝＝.
16．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__2__.
[解析] 连接AO，∵＝(＋)
＝(m＋n)＝＋，
∴＝－＝－－
＝(1－)－.
＝－，这样与都可以用，表示出来．
又因为与共线，利用共线向量定理得＝λ，
即(1－)－＝λ－λ，
∴∴1－(m＋n)＝0，∴m＋n＝2.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°.
求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|a－b|.
[解析] a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－)＝－3.
(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝8－15－27＝－34.
(2)|a－b|＝
＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
[解析] 设向量a与b的夹角为θ.
(1)若a与b同向，则θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝1××1＝.
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||bcos 180°＝1××(－1)＝－.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2|a||b|cos 60°＋|b|2
＝1＋2×1××＋()2＝3＋.
∴|a＋b|＝.
(3)∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝a2－b·a＝0.
∴a·b＝a2＝1.
∴cos θ＝＝＝.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
19．(本小题满分12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
[解析] (1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)，
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即解得
∴E点的坐标为(－，)．
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．
∴ 解得
∴F点的坐标为(，0)，
即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．
(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)(O为坐标原点)，又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，即与共线．
20．(本小题满分12分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
[解析] 设向量b＝(x，y)，
则＝a－b＝(－－x，－y)，
＝a＋b＝(－＋x，＋y)，
由题意可知，·＝0，||＝||，
从而有
解之得或
所以b＝(，)或b＝(－，－)．
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R)．
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵b＋c＝(sin x－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sin x)＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈[－，]，
∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2.
又x∈R，
∴当sin x＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0.
(3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin 2x＋2sin x－4＝(sin x＋1)2－5.
由sin x∈[－1,1]，
∴－5≤(sin x＋1)2－5≤－1，得k∈[－5,1]．
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
22．(本小题满分12分)如图所示，△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于P，用向量a，b表示.
[分析] 先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值．
[解析] ＝＋＝＋.
设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，＝＋n
＝b＋n(a－b)＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴?
∴＝a＋b.
第二章 学业质量标准检测(B)
本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( B )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] 由向量平行的性质，有2︰4＝x︰6，解得x＝3，选B．
2．如图，a－b等于( C )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2.
3．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝( D )
A．＋ B．－－
C．－＋ D．－AD
[解析] ＝＝(－)．
4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( A )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(－，)
[解析] 因为＝(3，－4)，||＝5，所以与向量同向的单位向量为＝＝(，－)，选A．
5．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设a与b的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cos θ＝，则cos θ＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
6．已知向量a、b，那么(2a－4b)＋2b＝( C )
A．a－2b B．a－4b
C．a D．b
[解析] (2a－4b)＋2b＝a－2b＋2b＝a，故选C．
7．设a，b是两个非零向量( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 本题考查向量共线的条件．
若|a＋b|＝|a|－|b|，则a与b方向相反．
则存在b＝λa.反之则不然．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)且A(1,1)，则D点坐标为( C )
A．(3,5) B．(4,6)
C．(0,0) D．(－1，－3)
[解析] ＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
设D(x，y)，∴＝(x，y)－(1,1)＝(x－1，y－1)，
∴解得.故D(0,0)．
9．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( D )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[解析] 因为2＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝0，即⊥，所以三角形为直角三角形，选D．
10．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，a与b的夹角为( A )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
[解析] ∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.
设夹角为θ，则cos θ＝＝，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.
11．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝( D )
A．2 B．
C． D．
[解析] 本题考查了向量的运算．
∵＝＋＝＋ ，
∴·＝(＋ )·＝·＋ ·，
又∵AB⊥AD，∴·＝0，
∴·＝ ·＝||·||·cos ∠ADB
＝||·cos ∠ADB＝·||＝.
12．对向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，定义一种新的运算“*”的意义为a*b＝(x1y2，x2y1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a，b，c和任意实数λ，μ，下面命题中：
①a*b＝b*a；
②(a*b)*b＝a*(b*b)；
③(λa)*(μb)＝(λμ)(a*b)；
④(a＋b)*c＝a*c＋b*c
正确命题的个数为( B )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 代入验证知①②不成立，③④成立，故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__a＋c－b__.(用a，b，c表示)
[解析] ＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
14．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝，b＝，c＝.若c∥，则λ＝____.
[解析] 因为2a＋b＝(4,2)，c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，
所以4×λ＝2×1，解得λ＝.
15．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__1__，·的最大值为__1__.
[解析] 本题考查平面向量的数量积．
建立平面直角坐标系如图：
则＝(0，－1)，设E(x0,0)，
则＝(x0，－1)，
∴·＝(x0，－1)·(0，－1)＝1，
又＝(1,0)，∴·＝x0，而0≤x0≤1，
∴·最大值为1.
16．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是__①④⑤__.(写出所有正确结论的编号)
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.
[解析] ∵等边三角形ABC的边长为2，＝2a，
∴||＝2|a|＝2?|a|＝1，故①正确；
∵＝＋＝2a＋，∴＝b?|b|＝2，故②错误，④正确；由于＝2a，＝b?a与b夹角为120°，故③错误；又∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×(－)＋4＝0，∴(4a＋b)⊥，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解析] (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，
－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(AB－t)·＝0，得
(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
18．(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b的夹角θ.
[解析] 由条件知
∴
由①－②得46a·b－23b2＝0，
即2a·b－b2＝0，即2a·b＝b2，
代入①式得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cos θ＝＝＝.
∴a与b的夹角为θ＝60°.
19．(本小题满分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cos x，sin x)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．
[解析] (1)设n＝(x，y)，
则
解得或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，
∴n＝(0，－1)．
∴n＋b＝(cos x，sin x－1)．
∴|n＋b|＝
＝＝·.
∵－1≤sin x≤1，
∴0≤≤.
∴0≤|n＋b|≤2，
即|n＋b|的取值范围是[0,2]．
20．(本题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈[，]，求·的取值范围．
[解析] (1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0.
又＋＋＝0则＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0.
∴2－2＝0，
∴||2＝||2.
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)解：∵B∈[，]，∴cos B∈[－，]．
设||＝||＝a.
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
∴a2＝，则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈[－，]，∴·∈[－2，]．
21．(本小题满分12分)如图所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
[解析] 解法一：∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·
＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.
当θ＝0°时，·最大，其最大值为0.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设||＝c，||＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，
且||＝2a，||＝a，设P点的坐标为(x，y)，
则Q(－x，－y)．∴＝(x－c，y)，
＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝－x(x－c)－y(y＋b)＝－x2－y2＋cx－by，
cos θ＝＝＝，
即cx－by＝a2cos θ.
∴·＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1时，即θ＝0°(与同向)时，·最大，其最大值为0.
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R)．
(1)求a·b关于k的解析式f(k)．
(2)若a∥b，求实数k的值．
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，
即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝a·b＝＝(k＋)＝[(－)2＋2]．
当＝，即k＝1时，
cos θ取最小值.
