第二章 §1
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( B )
A．只有方向相同或相反的向量是平行向量
B．零向量的长度是零
C．长度相等的两个向量是相等的向量
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，这样的向量都是平行向量．长度和方向都相同的向量才是相等的向量，选项B正确．
2．下列说法正确的是( C )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
[解析] A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定，不能说a>b.A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线，故选C．
3．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是( D )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为不相等的向量
D．a与b为相等的向量
[解析] 由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥b.
4．下列命题中正确的个数为( B )
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；
③若非零向量a与b共线，则a＝b；
④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；
⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；
③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；
④对；
⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．
5．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( D )
A．与向量相等的向量只有一个(不含)
B．与向量的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
[解析] 由有关概念逐一验证知，选项A，B，C正确．
6．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( C )
A．恒成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
二、填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是__，，__，与相等的向量是____.
8．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD为__菱形__.
[解析] ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵||＝||，
∴平行四边形ABCD为菱形．
三、解答题
9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为.
(2)，，.
10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
[证明] ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与方向相同，∴＝.
∵＝，
∴||＝||且CN∥MA.
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴||＝||，且CM∥NA.
又与方向相同，
∴＝，∴＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题错误的是( B )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?{a}
[解析] 因为A∩B是由与a共线且与a的模相等的向量构成的集合，即由与a的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A∩B＝{a}是错误的．
2．下列说法正确的是( C )
A．向量与是共线向量，则所在直线平行于所在的直线
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量的长度与向量的长度相等
D．单位向量都相等
[解析] 对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；
对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量，其方向是不确定的；
对于C；向量与方向相反，但长度相等；
对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C．
3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( C )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
[解析] 由＝?BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形.
4．下列说法中错误的是( C )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．
二、填空题
5．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是__西北方向5km__.
[解析] 如图，||＝5km，||＝5km，则C地相对于B地的位移的大小为||＝5km，方向为北偏西45°，即西北方向．
6．下列命题正确的是__(4)(5)__.
(1)零向量没有方向；
(2)单位向量都相等；
(3)向量就是有向线段；
(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(6)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.
[解析] (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；
(2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；
(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；
(4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
(6)该命题不正确．显然有＝，但≠.
三、解答题
7．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
[解析] (1)画出所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
8．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
求：(1)写出相等的向量；
(2)与共线的向量；
(3)模相等的向量；
(4)与是否为相等向量．
[解析] (1)＝，＝，＝，＝.
(2)与共线的向量为：，，.
(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
(4)与不相等．
C级 能力拔高
一位模型赛车手遥控一辆赛车面向正东方向，向前行进1m，逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，再按逆时针方向旋转α°，继续按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去．
(1)作图说明，若α＝45°，则操作几次时，赛车的位移是零；
(2)按(1)中操作得到的向量中，写出相等或共线的向量．
[解析] (1)如图所示，由条件知赛车转了360°后，回到起点，此时位移是零.＝8，所以操作了8次．
(2)如图所示为正八边形路线图形，其中共线向量是：与、与、与、与.
课件43张PPT。第二章平面向量箭射雁头服群雄
《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一支好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒绦，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这支箭要射雁行内第三只雁的头上．射不中时，众头领休笑．”花荣搭上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下，急叫军士取来看时，那支箭正穿在雁头上，晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”．
箭在古代又叫“矢”，物理上的“矢量”在数学中又叫“向量”．本章将要学习平面向量的有关知识，通过本章的学习，我们将知道，平面向量的知识在生活中有着广泛的应用．花荣有如此神功，说明他射箭的方向和距离(力度)掌握的恰到好处．那么花荣是如何掌控箭的方向和距离的呢？学完本章后，你就明白了．§1 从位移、速度、力到向量自主预习学案
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，请问：猫能否追到老鼠(如图)?
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了．
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有长短、有方向的量．
生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识．1．向量的概念
既有_______，又有_______的量叫作向量．大小 方向 方向和长度 有向线段 向量的大小 向量的方向 |a| 零向量 0 同方向 单位1 a0 (3)长度_______且方向_______的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.规定所有的零向量_______.
(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线_____________，则称这两个向量_______或_______，a与b平行或共线，记作a∥b.相等 相同 相等 平行或重合 平行 共线 [知识点拨]1.理解向量概念应关注的三点
(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量．
2．对平行向量、相等向量概念的理解
(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0∥a，这里注意概念中提到的“非零向量”．
(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的．
(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量．1．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速．其中向量有( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
[解析] 主要考查向量与数量的区别．
由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数量，故选C．
实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量．C 2．下列关于向量的说法中，正确的是( )
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
[解析] 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错．C D 4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为_____.
[解析] 零向量可以与任意向量平行．0 ② 互动探究学案 给出下列几种说法：
(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(3)向量的模一定是正数；
(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；命题方向1 ?向量的有关概念典例 1 (4) [思路分析] 本题涉及了向量的几个重要概念．解答时可从向量定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错．『规律总结』 对于一些意义相近的概念，一定要准确把握，仔细分辨．如有向线段与向量，不能混同，有向线段是向量的几何表现形式，不仅有大小和方向，还有起点和终点，而向量只有大小和方向．比如向量a的单位向量有两个，这两个单位向量方向相反．再如向量共线与向量同向，共线不一定同向，但同向一定共线．②③ 以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h.命题方向2 ?相等向量与共线向量典例 2 『规律总结』 (1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大小和方向，相等向量必须二者都相同才成立．同时，也可以看出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同．
(2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与向量的大小无关，故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所在的直线是否共线或者重合即可．6 向量在平面几何中的应用 典例 3
下列四个命题．
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[错解] D混淆向量的有关概念 典例 4 [辨析] 认为①正确是忽略了0和0的区别．由|a|＝0可知a是零向量，但是a≠0，之所以出现这样的错误．原因是对零向量的概念认识不清；认为②正确是把两个向量的模相等和两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；认为③正确是因为对两个向量平行的意义理解不透造成的，两个向量平行，可以得到它们的方向相同或相反，而未必得到它们的模相等，④正确．
[正解] A〔跟踪练习4〕下列说法正确的是( )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．C B D A 4．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成_________.
[解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．一个圆 课时作业学案
