第二章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( C )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
[解析] ＝＋＝b－＝b－a，故选C．
2．化简(－)＋(－)的结果是( D )
A．0 B．
C． D．
[解析] 原式＝－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝＋＝.
3．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( C )
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
[解析] ＋＝≠，故A项错.＋≠，故B项错.＋＝＋＝＝，故C项正确.＋≠，故D项错．
4．四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( A )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
[解析] ＝＋＝－＋＝a－b＋c.
5．如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋等于( D )
A．0 B．
C． D．
[解析] 如图所示，在正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.故选D．
6．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为( A )
A．0 B．
C． D．
[解析] ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0.
二、填空题
7．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝__2__.
8．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝____.
[解析] ＋＋＝＋＋＝.
三、解答题
9．如图，在□ABCD中，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|；
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
[解析] (1)＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝，a－b＝，
a＋b与a－b所在直线垂直，即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即||＝||.
∵矩形的对角线相等，
∴当a与b垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．因为□ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．
10．如图，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求其合力的大小及方向．
[解析] 如题图，设、分别表示两力，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则就是合力．由已知可得△OAC为等腰三角形且∠COA＝30°.过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，||＝||cos 30°＝60×＝30，故||＝2||＝60，即合力的大小为60N，方向与水平方向成30°角向上．
B级 素养提升
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B )
A．＝＋ B．＋＝
C．＝＋ D．＝＋
[解析] 可以画出图形，然后利用三角形法则找出正确答案．如图，由图知选项A，D不正确；＋＝，故选项C不正确；＋＝＋＝，故选项B正确，故选B．
2．下列说法错误的是( D )
A．若＋＝，则－＝
B．若＋＝，则＋＝
C．若＋＝，则－＝
D．若＋＝，则＋＝
[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A，B，C都正确．由相反向量定量知，共＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误．
3．在平面上有A、B、C，三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( C )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
[解析] 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C．
4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( A )
A．＋＋＝0 B．－＋＝0
C．＋－＝0 D．－－＝0
[解析] ∵＝，＝，＝，
∴＋＋
＝(＋＋)＝(＋)＝0.故选A．
二、填空题
5．如图，在□ABCD中，
(1)＋__或__＝；
(2)＋＋__或__＝；
(3)＋＋＝____；
(4)____＋＋＝0.
[解析] (1)∵－＝＝，
∴＋＝＋＝；
(2)－(＋)＝－＝＝，
∴＋＋＝＋＋＝；
(3)＋＋＝＋＝；
(4)∵＋＝＋＝，
∴＋＋＝0.
6．长度相等的三个非零向量，，满足＋＋＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是__等边__三角形．
[解析] 如图所示，作，的和向量，
∵＋＋＝0，
∴＋＝－.
∴||＝||，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAD＝30°.
同理，∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
即△ABC为等边三角形．
三、解答题
7．如图所示，O为△ABC内一点，AO交BC于D，BO交CA于E，CO交AB于F，＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f.
(1)求；
(2)求；
(3)求－；
(4)求＋；
(5)求－；
(6)求＋＋.
[解析] (1)＝－＝c－a；
(2)＝－＝－－＝－d－a；
(3)－＝＝－＝－－＝－d－b；
(4)＋＝－＋－＝b－a－f－c；
(5)－＝＝－＝－＋＝d－f；
(6)＋＋＝－＋－＋－＝0.
8．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：＋＋＝0.
[证明] 由题意知：＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何可知：＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
C级 能力拔高
设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( C )
A．8 B．4
C．2 D．1
[解析] 由|＋|＝|－|可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2.
课件54张PPT。第二章平面向量§2 从位移的合成到向量的加法自主预习学案我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？
向量a与b的和 b＋a b＋c a 2．向量的减法
(1)相反向量
与a长度_______、方向_______的向量，叫作a的相反向量，记作______，零向量的相反向量仍是_________.关于相反向量有：
－(－a)＝____；
a＋(－a)＝(－a)＋a＝_____；
若a，b互为相反向量，则a＝______，b＝______，a＋b＝_____.相等 相反 －a 零向量 a 0 －b －a 0 相反向量 差 向量b的终点 向量a的终点 [知识点拨]1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．C 0 3．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c.互动探究学案 如图，已知a、b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.命题方向1 ?向量的加法及几何意义典例 1 [思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．
(2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和． 化简下列各式：命题方向2 ?向量加法运算律的应用典例 2 『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．0 [思路分析] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．命题方向3 ?向量的加减法运算典例 3 『规律总结』 满足下列两种形式时可以化简：
(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用．[分析] 本题以平行四边形对角线中的向量为载体，考查相反向量的概念、向量的减法运算．以及用已知向量表示未知向量的能力．－a－b 如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
[思路分析] 力的合成就是向量的加法运算．命题方向4 ?向量加法的实际应用典例 4 『规律总结』 向量应用题要首先画出图形，解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．利用已知向量表示其他向量 典例 5 『规律总结』 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题．要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系．注意0与0的区别 典例 6 0 1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由向量加法的交换律与结合律可知这5个式子都等于a＋b＋c，故选D．D D B C 课时作业学案
