第二章 §5
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的射影为( C )
A．2 B．
C．2 D．4
[解析] a在b方向上的投影为|a|cos ?a，b?＝4×cos 30°＝2，故选C．
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
5．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于( C )
A．1 B．－4
C．－ D．
[解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos ＋2|e2|2
＝－6×12＋1×1×＋2×12＝－.
6．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有( A )
A．c⊥a B．c⊥b
C．c∥b D．c∥a
[解析] ∵c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 120°＝12＋1×2×cos 120°＝0，∴c⊥a.
二、填空题
7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝__1__.
[解析] 考查了向量的数量积，垂直等问题．
由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，
又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，
若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，
∴k－1＝0，k＝1.
8．已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____.
[解析] 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝.
三、解答题
9．已知|a|＝2，|b|＝4.
(1)当a⊥b时，求|a＋b|；
(2)当a∥b时，求a·b；
(3)若(a＋2b)与(3a－b)垂直，求向量a与b的夹角．
[解析] (1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋16＝20，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵a∥b，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|＝8；
当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|＝－8.
(3)由(a＋2b)与(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b－2b2＝0，
∴5a·b＝2b2－3a2，
∴a·b＝4.
设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
10．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
求：(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
[解析] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，
又|a|＝1，∴|b|2＝，
∴|b|＝.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴θ＝45°.
∴a与b的夹角为45°.
(2)|a－b|＝＝
＝＝，
|a＋b|＝＝
＝＝，
设a－b与a＋b的夹角为α，
则cos α＝＝＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( D )
A．－2 B．－2
C．－1 D．1－
[解析] 本题考查数量积的运算．设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2
＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c
＝1－|a＋b|·|c|cos θ
＝1－·1·cos θ
∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值．
2．(2018·江西高安中学期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝( A )
A．16 B．－8
C．8 D．－16
[解析] ·＝(＋)·＝2＋·＝||2＝16.
3．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos ?a，b?＝＝＝－，所以?a，b?＝，故选C．
4．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，
即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉____.
[解析] 由题意，得cos 〈a，c〉＝
＝＝＝.
6．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是____.
[解析] 本题考查了向量的运算．
∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，
∴2α·β＝α2＝|α|2，
∴|2α＋β|＝＝
＝＝＝.
三、解答题
7．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，判断△ABC的形状．
[解析] ＋－2＝－＋－
＝＋，－＝＝－.
∵|－|＝|＋－2|，
∴|＋|＝|－|，
∴|＋|2＝|－|2，
∴·＝0，∴AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．
8．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7＝0.解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
C级 能力拔高
若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( A )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
[解析] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b，由a⊥b，得a·b＝0，所以f(x)＝(|b|2－|a|2)x.由于|a|≠|b|，所以|b|2－|a|2≠0，
即f(x)＝(|b|2－|a|2)x是一次函数，显然也是奇函数．
课件43张PPT。第二章平面向量§5 从力做的功到向量的数量积自主预习学案水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．夹角 0°≤θ≤180° θ＝0° θ＝180° θ＝90° 垂直 2．向量的数量积(或内积)
(1)定义：
___________________叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即_______＝___________________.
(2)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影___________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影___________的乘积．|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ |b|cos θ |a|cos θ 3．向量数量积的性质
由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：
(1)若e是单位向量，则e·a＝_______＝______________.
(2)若a⊥b，则___________；反之，若___________，则a⊥b.通常记作a⊥b?___________.
(3)|a|＝_____.
(4)cos θ＝_______(|a|·|b|≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a|·|b|.
当且仅当_______时等号成立．a·e |a|cos θ a·b＝0 a·b＝0 a·b＝0 a∥b 4．向量数量积的运算律
给定向量a，b，c和实数λ，有以下结果：
a·b＝_______；
(λa)·b＝____________＝____________；
a·(b＋c)＝_____________.b·a λ(a·b) a·(λb) a·b＋a·c B 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为( )
A．60° B．120°
C．135° D．150°B D 4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，则a在b方向上的射影为_____.互动探究学案 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的射影．
[思路分析] 已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．命题方向1 ?向量数量积的定义及几何意义典例 1
〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b. 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可．命题方向2 ?平面向量的数量积的运算律典例 2 『规律总结』 求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a|＝3，|b|＝4，θ＝120°(θ为a与b的夹角)，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(a＋b)·(a＋b)；(4)(a－2b)·(3a＋b)．
[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b＝|a|·|b|cos θ求．
[解析] (1)原式＝|a|·|b|·cos θ＝12×cos 120°＝－6；
(2)原式＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7；
(3)原式＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13.
(4)原式＝3a2－5a·b－2b2＝3|a|2－2|b|2－5·|a|·|b|·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求a与a＋b的夹角．
[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a与a＋b的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．命题方向3 ?向量的夹角典例 3
〔跟踪练习3〕若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°C 命题方向4 ?求向量的模典例 4
B 已知a，b是非零向量，θ为a，b的夹角，当|a＋tb|(t∈R)取最小值时，
(1)求t的值；
(2)已知a与b共线且同向，求证：b⊥(a＋tb)．
[思路分析] (1)将a＋tb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b⊥(a＋tb)，只需证b·(a＋tb)＝0.用向量数量积解决垂直问题 典例 5 『规律总结』 本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a＋tb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b·(a＋tb)＝0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[分析] 利用c⊥d?c·d＝0，构造关于k的方程组求解．未认清向量的夹角 典例 6 [辨析] 错误的原因在于认为a与b的夹角为∠C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．『规律总结』 在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a的值．
[思路分析] 先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．1．若a·c＝b·c(c≠0)，则( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等
[解析] 设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，
∵a·c＝b·c，∴|a||c|cos θ1＝|b|·c|cos θ2，
即|a|cos θ1＝|b|cos θ2，故选D．D 2．下列命题正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b| B．a·b≠0?|a|＋|b|≠0
C．a·b＝0?|a||b|＝0 D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
[解析] 选项D是分配律，正确，A、B、C不正确．D B 课时作业学案
