第二章 §6
A级 基础巩固
一、选择题
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由题意可得a2＝2，a·b＝－3，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.故选C．
2．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量(a＋xb)与b垂直，则x的值为( D )
A． B．
C．2 D．－
[解析] a＝(3,4)，b＝(2，－1)，a＋xb＝(3＋2x,4－x)，
∵(a＋xb)⊥b，∴2(3＋2x)－(4－x)＝0，x＝－.
故选D．
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，
∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，
|b|＝＝.
∴a在b方向上的射影＝＝.
4．平面向量a与b的夹角为120°，a＝(－2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝( B )
A．3 B．
C．7 D．
[解析] |a|＝2，
|a＋b|＝＝
＝
＝＝.
5．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( B )
A．2 B．
C．0 D．－
[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积．
a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos
＝2··.
解之，m＝.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为( B )
A．(－3,0) B．(3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
[解析] 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，
＝(x－4，－1)，
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时·有最小值，
∴P(3,0)．
二、填空题
7．已知a＝(1,0)，|b|＝1，c＝(0，－1)满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值为__±__.
[解析] kb＝－3a－7c＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3，7)．
∴|kb|＝|k|·|b|＝＝.
∵|b|＝1，
∴k＝±.
8．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为__(，)__；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为__－__.
[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．
(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，
单位向量为(，)，
(2)cos 〈a，b－3a〉＝
＝＝－.
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.
10．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.
∴y＝－3.∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
B级 素养提升
一、选择题
1．定义一种新运算a?b＝|a||b|sin θ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a?b＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵cos θ＝＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°，
所以a?b＝|a|·|b|sin θ＝2××＝.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( D )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
[解析] 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，
∵(c＋a)∥b，∴－3(1＋x)＝2(2＋y)． ①
又a＋b＝(3，－1)，且c⊥(a＋b)，∴3x－y＝0. ②
联立①②，解得x＝－，y＝－.∴c＝(－，－)．
3．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A． B．
C．5 D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
4．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( B )
A． B．
C． D．(1,0)
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝.
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．
二、填空题
5．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝__3__.
[解析] ·＝[(＋)]·
＝[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)
＝(－1,2)·(1,2)＝3.
6．已知a＝(2t,7)，b＝(1，t)，若a，b的夹角为钝角，实数t的取值范围为__∪__.
[解析] 因为a，b的夹角为钝角，
所以a·b<0，且a，b不共线，
即有，解得t<0且t≠－.
故t的取值范围为t<0且t≠－.
三、解答题
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
[解析] (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的射影为|a|cos θ.
∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.
8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||.
[解析] (1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝.
∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，
∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC.
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，
则－m＝(－2－2m，－1－3m)．
又(－m)∥，
则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，
由两点间的距离公式，得|OC|＝.
∴||＝.
∴||＝|m|·||＝.
C级 能力拔高
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
[解析] (1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，所以＝(1,1)，＝(－3,3)．
又因为·＝1×(－3)＋1×3＝0.
所以⊥，即AB⊥AD.
(2)解：如图，由四边形ABCD为矩形，知＝，
设C(x，y)，则(x＋1，y－4)＝(1,1)，
即解得所以C(0,5)．
所以＝(2，－4)，＝(4，－2)，
所以·＝2×4＋(－4)×(－2)＝16，
||＝＝2，||＝||＝2，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
所以矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为.
课件40张PPT。第二章平面向量§6 平面向量数量积的坐标表示自主预习学案数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度、长度(距离)等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢？1．平面向量数量积的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝_________________；
(2)|a|＝_________；
(3)若a⊥b，则_____________________；
(4)cos θ＝__________________.
2．直线的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 [知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos
与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos 求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0，即3x＋1×(－3)＝0.解得x＝1.故选B．B A B 4．已知a＝(2,3)，b＝(－1,4)，c＝(5,6)，那么(a·b)·c＝__________，a·(b·c)＝__________.
[解析] ∵a·b＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10，
∴(a·b)·c＝10(5,6)＝(50,60)．
∵b·c＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19，
∴a·(b·c)＝(2,3)·19＝(38,57)． (50,60) (38,57) 互动探究学案 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．
[解析] 解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，
所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，
∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，
a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．
∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.命题方向1 ?数量积的坐标表示典例 1 『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.C 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(16,12)，B(－5,15)．求：命题方向2 ?利用数量积的坐标表示求模与夹角典例 2 『规律总结』 求向量a与b的夹角θ的步骤：
①计算a·b，|a|，|b|；
②利用夹角公式计算cos θ；
③根据范围[0，π]确定夹角θ的大小．〔跟踪练习2〕设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．命题方向3 ?直线的方向向量及应用典例 3
〔跟踪练习3〕已知直线l1：7x＋y－1＝0和直线l2：3x＋4y－6＝0，求直线l1和l2的夹角．利用垂直条件求参数 典例 4 『规律总结』 充分利用公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．〔跟踪练习4〕已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求数m的值． 已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，若a与b的夹角是锐角，求λ的取值范围．典例 5 [辨析] 当a·b>0，即cos θ>0时，0°≤θ<90°.事实上当λ＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(1，－2)，它们间的夹角是0°，不是锐角，故λ≠－2.『规律总结』 对于非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角?cos θ>0，且cos θ≠1?a·b>0，且a≠mb(m<0)；θ为钝角?cos θ<0，且cos θ≠－1?a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ为直角?cos θ＝0?a·b＝0.〔跟踪练习5〕设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．B C C 1 课时作业学案