第二章 §7
A级 基础巩固
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力、，则|＋|为( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( D )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
[解析] ·＝||||cos A，
·＝||||cos (π－A)，
∴·＝－·.
3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( C )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
所以·＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0.
故⊥，且||≠||.
4．在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是( C )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] ∵·＋||2＝0，
∴·＋2＝0，即·(＋)＝0.
∴·＝0.
∴⊥，即AB⊥AC.
∴∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( A )
A．F1，F3成90°角
B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角
D．F2，F3成60°角
[解析] 由F1＋F2＋F3＝0?F3＝－(F1＋F2)?F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos 120°＝1＋4＋4×(－)＝3?|F3|2＝3，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A．
6．两个大小相等的共点力F1 ，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )
A．40N B．10N
C．20N D．10N
[解析] |F1＋F2|＝20.
又F1⊥F2，所以|F1|＝|F2|＝10，
当F1与F2夹角为120°时，
|F1＋F2|＝
＝＝10(N)．
二、填空题
7．设点A(1,1)，B(3，y)，且为直线2x－y＋1＝0的方向向量，则y＝__5__.
[解析] ＝(2，y－1)，
依题意得＝2，所以y＝5.
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝__－__.
[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．
如图，
令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，
∴·＝·＝a·b－＋－a·b
＝－－a·b
＝－－×＝－.
三、解答题
9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[证明] 建立如图所示的直角坐标系，
设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D(0，)．
又∵AE＝2EB，即＝2，
即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
要证AD⊥CE，只需证与垂直，即·＝0.
∵＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，
＝＝(，a)，
∴·＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
10．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在直线的方程．
[解析] 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)．
又∠A的平分线的一个方向向量为
＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，
则∠A的平分线所在的方程可设为x＋y＋m＝0，
将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，
整理得7x＋y－29＝0，
即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为( B )
A．0或－ B．或－6
C．－或 D．0或
[解析] 直线的法向量为n＝(m,1)，其单位向量为n0＝＝(m,1)，在直线上任取一点P(0，－3)，依题意有|·n0|＝|·n0|，从而|－3m－5|＝|m－7|，解得m＝或m＝－6.故选B．
2．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
3．△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定其形状
[解析] 由已知，·(＋－)＝·2<0，
∴角A为钝角，故选C．
二、填空题
4．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__λ>－且λ≠0__.
[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
∴，得λ＝0，
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.
即λ>－且λ≠0.
5．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
6．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是__[，π]__.
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，
所以sin θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．
三、解答题
7．一辆汽车在平直的公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为南偏东60°，风速为4m/s，这时气象台报告实际风速2m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
[解析] 依据物理知识，有三个相对速度，汽车对地的速度为v1，风对车的速度为v2，风对地的速度v3风对地的速度可以看做车对地与风对车的速度的合速度，即v3＝v1＋v2，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v3的有向线段是平行四边形ABCD的对角线．
因为||＝4，∠CAD＝60°，||＝2，
所以∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||·sin 60°＝2(m/s)．
答：风的实际方向是正南，汽车的速度大小为2m/s.
8．如图所示，已知□ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
[解析] 设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，
则|a|＝3，|b|＝1，θ＝.
∴a·b＝|a||b|cos θ＝.
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝
＝＝，
||＝＝
＝＝.
∴AC＝，DB＝.
C级 能力拔高
已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)．设点X是线段OP上的一动点(O为坐标原点)．
(1)当·取得最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求∠AXB的余弦值．
[解析] (1)由于点X在直线OP上，则X(2x0，x0)，从而＝(1－2x0,7－x0)，
＝(5－2x0,1－x0)，故·＝(1－2x0,7－x0)·(5－2x0,1－x0)＝5x－20x0＋12＝5(x0－2)2－8≥－8，
∴·的最小值为－8，
此时x0＝2，从而＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，有
＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴·＝－8，
且||＝，||＝.
从而cos ∠AXB＝
＝＝－.
课件40张PPT。第二章平面向量§7 向量应用举例自主预习学案向量的加法、减法可以用三角形法则、平行四边形法则进行计算．因此可以借助向量解决平面几何中的三角形问题、四边形问题．又向量的坐标在直角坐标平面上对应着相应的点，因此可用向量坐标解决平面解析几何中的直线问题、圆的问题．
向量在物理力学中有着广泛地应用，当飞机采用了推力矢量之后，发动机喷管上下偏转，产生的推力不再通过飞机的重心，产生了绕飞机重心的俯仰力矩，这时推力就发挥了和飞机操纵面一样的作用．装备了推力矢量技术的战斗机由于具有了过失速机动能力，拥有强大的空中优势，如美国的F－22和俄罗斯的Su－37就装备了这一先进技术．1．点到直线的距离公式
若M(x0，y0)是平面上一点，它到平面内直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________，与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的_________.
2．向量在几何中的应用
用向量的方法解决几何问题的步骤是：建立几何与向量的联系，将_________________________通过___________研究几何元素之间的关系；还原到几何问题中作答．法向量 几何问题转化为向量问题 向量运算 3．向量在物理中的应用
力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的_____________相类似，可以用向量的方法来解决．减法与加法 D D 3．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形C 4．过点B(0，－3)且垂直于直线2x－3y＋2＝0的直线方程为_____________.3x＋2y＋6＝0 5．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝_______________. (－5,1) 互动探究学案 已知点A(－1,2)，直线l：4x－3y＋9＝0.
求：(1)过点A且平行于直线l的直线方程；
(2)过点A且垂直于l的直线方程．
[思路分析] 利用直线的方向向量与法向量求解．命题方向1 ?直线的方向向量和法向量的应用典例 1 『规律总结』 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决．〔跟踪练习1〕已知△ABC的三顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程． 已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，命题方向2 ?向量在平面几何中的应用典例 2 『规律总结』 本题利用向量的坐标法解决了平面几何问题，只要写出相应点的坐标，通过代数法运算即可求解．[点评] 本题是证明图形中线段平行与相等的问题，可以选择适当的一组基底，把未知向量逐步向基底方向进行分解，然后利用向量相等来证明四边形DEBF是平行四边形． 如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围. 向量在物理中的应用 典例 3 『规律总结』 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．D 已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．对向量相等的定义理解不清楚 典例 4 [思路分析] 先证平行四边形，再证其邻边相等即获证．〔跟踪练习4〕
如右图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接DP、EF，求证：DP⊥EF.1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．B D 3．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0A D 课时作业学案
