第二章 §3 3.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．[(2a－8b)－(4a＋2b)]等于( B )
A．2a－b B．－a－2b
C．－a＋2b D．a－b
[解析] 原式＝(a－4b－4a－2b)＝－a－2b.
2．在四边形ABCD中，若＝－，则四边形ABCD是( B )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
[解析] ∵＝－，
∴AB∥CD且||＝||，
∴四边形ABCD是梯形．
3．在△ABC中，已知＝3，则 等于( A )
A．(＋2) B．(＋2)
C．(＋3) D．(＋2)
[解析] 如图所示，由已知得D点在上，且D为BC的三等分点，由加法的三角形法则可得＝＋＝＋(－)＝(＋2)．应选A．
4．若x为未知向量，满足方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于( B )
A．a B．6a
C．－6a D．－a
[解析] 由已知得－x＝－6a，
∴x＝6a.
5．给出以下命题：
①若两非零向量a，b，使得a＝λb(λ∈R)，那么a∥b；
②若两非零向量a∥b，则a＝λb(λ∈R)；
③若λ∈R，则λa∥a；
④若λ，μ∈R，λ≠μ，则(λ＋μ)a与a共线．
其中正确命题的个数是( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] a∥b(b≠0)?存在实数λ使得a＝λb，
∴①②③④正确．
6．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于( C )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
[解析] ∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，
∴(a＋λb)∥(b＋λa)．
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，
使得a＋λb＝m(b＋λa)，
即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
∵a与b不共线，
∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.
∴1－λ2＝0，λ＝±1.
当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．
∴λ＝－1.
二、填空题
7．若a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，则2a－3b＝__－e1＋10e2__.
[解析] 2a－3b＝2(e1＋2e2)－3(e1－2e2)＝－e1＋10e2.
8．点C在线段AB上，且＝，则＝__－__.
[解析] 因为＝，所以＝－.又＝，故＝＝×(－)＝－.
三、解答题
9．计算下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
[解析] (1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；
(2)原式＝a＋b－a＋b－b
＝(－)a＋(1＋－)b＝－a；
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11c.
10．在□ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
[解析] 由＝3得4＝3＝3(a＋b)，
＝a＋b，所以＝(a＋b)－(a＋b)
＝－a＋b.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量e1≠0，e2≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a与b共线，则下列关系一定成立的是( D )
A．e1∥e2 B．e1＝e2
C．λ＝0 D．e1∥e2或λ＝0
[解析] ∵a与b共线，
∴存在实数μ，使a＝μb，
∴e1＋λe2＝μ·2e1，
∴∴λ＝0或e1∥e2.
2．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( C )
A．a＋b B．a＋b
C．(a＋b) D．a＋b
[解析] ＋＝＋＝＝2，
所以＝(a＋b)，故选C．
3．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( A )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．
二、填空题
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是__梯形__.
[解析] ∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2.
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是梯形．
6．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠－1)，O是平面上的任一点，则＝____.
[解析] 由＝λ(λ≠－1)，
得－＝λ(－)，
∴(1＋λ)＝＋λ.
∴＝.
三、解答题
7．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋me2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，求实数m的值．
[解析] ∵A，B，C三点共线，∴与共线．
∴存在实数λ，使＝λ成立，
即2e1＋me2＝λ(e1＋3e2)，
即(2－λ)e1＋(m－3λ)e2＝0.
∵e1，e2是两个不共线的向量，∴2－λ＝m－3λ＝0.
∴λ＝2，m＝6，故所求的m的值为6.
8．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[解析] (1)如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
则＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又，有公共点，∴B，E，F三点共线．
C级 能力拔高
设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
[解析] ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，
即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2
＝2ke2－9ke2.由，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
课件37张PPT。第二章平面向量§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量自主预习学案某小学在一条长150米的笔直的跑道上做一项体力与智力相结合的游戏．从在最北端的A点向正南跑50米到达B点处做一组数学练习题，做对后再向正南跑50米到达C处做一组语文练习题，做对后又向正南跑50米到达终点D处做一组“自然”题，做对后原路跑回到起点A.用时少者为优胜者．其实这个游戏里就包括了本节所要学习的向量的数乘．向量 λa |λ||a| 相同 相反 0 (4)几何意义：
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段_______或_______.
当|λ|>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上_______为原来的________倍；
当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上_______为原来的________倍．
(5)运算律
设λ，μ为实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝_________；③λ(a＋b)＝_________.伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| λa＋μa λa＋λb 2．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得________，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得________.
[知识点拨]向量共线定理的理解注意点及主要应用
1．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
2．这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0.b＝λa b＝λa 1．已知非零向量a、b满足a＝4b，则( )
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
[解析] ∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同，
∴a与b的方向相同．C B C B 互动探究学案 已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．
(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；命题方向1 ?数乘向量的定义及其几何意义典例 1 [思路分析] 解答本题可先从实数的正负判断两向量的方向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断．『规律总结』 首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度．〔跟踪练习1〕下列表述不正确的是( )
A．λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
B．(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)
C．λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)
D．λa与a的方向和λ无关(λ∈R)
[解析] 当λ>0时，λa与b同向，当λ＝0时，λa＝0方向任意，当λ<0时，λa与a的方向相反．D (1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；命题方向2 ?数乘向量的运算及其应用典例 2 『规律总结』 (1)实数与向量积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算．
(2)实数与向量的积的运算，类似于实数与多项式的运算．用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．利用向量共线的判定定理与性质定理证明三点共线 设两个非零向量e1和e2不共线．典例 3 『规律总结』 证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可． 已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，问表示a，b，c的有向线段能否构成三角形？典例 4 [辨析] 上述解法只考虑了一般情况，忽视了向量共线的特殊情况．B 1．已知λ，μ∈R，下面式子正确的是( )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
[解析] 当λ<0时，λa与a反向，A错；0·a＝0，B错；若b＝λa，则|b|＝|λ||a|，D错．C D 3．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[解析] 由数乘向量定义及运算律可知①②④正确；对于③，若m＝0时，则可能有a≠b.B 4．若|a|＝3，b与a反向，|b|＝2，则a＝_______b.课时作业学案
