第二章 §3 3.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( B )
A．e1＋e2与e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
[解析] ∵3e1－2e2＝－(4e2－6e1)，
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故B中的向量不能作为基底．
2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( D )
A． B．2
C．3 D．4
[解析] 本题考查了平面向量平行四边形法则，＋＋＋＝(＋O)＋(＋)＝2＋2＝4.
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，
＋＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)＝.
选A．
4．已知ΔABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由＋＋＝0可知，M为△ABC的重心，故＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3，即m＝3.
5．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是( B )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
[解析] 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B．
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
方法二 因为A，B，D三点共线，＝＋λ，所以＋λ＝1，所以λ＝.
二、填空题
7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a可以写成λ1b＋λ2c的形式是__a＝－b＋c__.
[解析] a＝λ1b＋λ2c，即－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
所以
解得λ1＝－，λ2＝.
∴a＝－b＋c.
8．已知a、b不共线，实数x，y满足向量等式－3xa＋(10－y)b＝(4y＋5)a＋2xb，则x＝__9__，y＝__－8__.
[解析] －3xa＋(10－y)b＝(4y＋5)a＋2xb可化为
(3x＋4y＋5)a＋(2x＋y－10)b＝0，
∵a，b不共线，故a、b均不为零向量．
∴，解之得.
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
[解析] (1)设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)，
由e1，e2不共线，
得?
∴λ不存在，故a，b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴得
∴c＝2a＋b.
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
B级 素养提升
一、选择题
1．设a，b为基底向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( A )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[解析] ＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b，
∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.
∵a，b为基底向量，
∴解得λ＝，k＝2.
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( A )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
[解析] ∵D为BC的中点，∴＋＝2，
∴2＋2＝0，
∴＝.
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( B )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] 如图，＝＋，
由题意知，DE︰BE＝1︰3＝DF︰AB，
所以＝.
所以＝a＋b＋·(a－b)＝a＋b.
故选B．
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( A )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
[解析] 由题知＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，故选A．
二、填空题
5．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝__a＋b__.
[解析] ＝－＝＋－
＝a＋b－＝a＋b－·
＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
6．在□ABCD中，E和F分别边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝____.
[解析] 如图所示，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，＝a＋b.
∵＝λ＋μ，
∴a＋b＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)
＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b.
∴，解得，∴λ＋μ＝.
三、解答题
7．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底、表示.
[解析] ∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－)，
∴＝＋＝＋(－)＝＋.
8．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，D是将OB分成2︰1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若＝λ，求λ的值．
[解析] (1)由题意知A是BC的中点，则有＝(＋)，且由D是将OB分成2︰1的一个内分点，得＝，从而＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)如题图，C、E、D三点共线，则＝μ，又＝－＝2a－b－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，从而(2－λ)a－b＝μ(2a－b)，即，所以λ＝.
C级 能力拔高
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量，，；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
[解析] (1)如题图，
∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．
(2)设线段EL的中点为P1，
则＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
∴＝＝.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．
课件37张PPT。第二章平面向量§3 从速度的倍数到数乘向量3.2 平面向量基本定理自主预习学案
平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，用这个基底的线性运算可以表示平面上的任意向量，这就是本节要学习的平面向量基本定理．如右图所示，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线AO和绳子BO拉住，所以拉力F起到的效果应与拉力F1和F2共同作用的效果一样，这应如何解释呢？
根据物理知识，力F可以分解为力F1和力F2，即F＝F1＋F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．平面向量基本定理
定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2使____________________.不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_______.a＝λ1e1＋λ2e2 基底 [知识点拨](1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.
(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．
(3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．[解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可作为基底，易知选D．D 2．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A．e1、e2一定平行
B．e1、e2的模相等
C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
[解析] 由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C不正确．D 3．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝b，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0B A 互动探究学案命题方向1 ?对基底的理解典例 1 B [思路分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．
[解析] 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．『规律总结』 根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．③ [思路分析] 利用三角形法则或平行四边形法则找所给向量与基底e1，e2的关系进行求解．命题方向2 ?平面向量的表示典例 2 『规律总结』 构造三角形、平行四边形利用向量加法、减法把所求向量与已知向量联系起来． 用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
[思路分析] 解决本题有两个关键点：一是由题意证明三线交于一点，需先明确要用同一法；二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点这两点为终点的两向量相等，从而得这两点重合．平面向量基本定理及其应用 典例 3 『规律总结』 平面向量基本定理是向量法的理论基础，这个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量的线性表示的实质．它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁．〔跟踪练习3〕如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM的值． 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[错解] A
[错因分析] 在应用平面向量基本定理时，要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件．若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．忽略两个向量作为基底的条件 典例 4 [思路分析] 当e1∥e2时，a∥e1，又因为b＝2e1，所以b∥e1.又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，则a∥e1.又因为b＝2e1，所以b∥e1.又因为e1≠0，故a与b共线．
[正解] D『规律总结』 当条件不明确时要分类讨论．〔跟踪练习4〕如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )
A．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
[解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．A 1．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于_____.3 A A 4．设e1，e2是平面的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝_____a＋___________b.课时作业学案
