第二章 §4 4.1 4.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知＝(2,3)，则点N位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
[解析] 因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
2．设A(1,2)，B(4,3)，若向量a＝(x＋y，x－y)与相等，则( C )
A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1
C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2
[解析] ＝(3,1)与a＝(x＋y，x－y)相等，则.∴x＝2，y＝1.
3．向量＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( D )
A．x>0 B．x<1
C．x<0或x>1 D．0[解析] 由A点在第四象限，所以，解得04．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( C )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
[解析] 2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)．
5．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] a＝＝－
＝，λa＝a＝，故选A．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为( D )
A．－2,3 B．－2，－3
C．2，－3 D．2,3
[解析] 利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.
二、填空题
7．若O(0,0)、A(1,2)且＝2，则A′的坐标为__(2,4)__.
[解析] A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝2(1,2)＝(2,4)．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__.
[解析] ∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标．
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解析] (1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
[解析] (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0?t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0?t＝－；
若点P在第二象限，则
解得－(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，需＝，
于是此方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．若向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b满足( C )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限角的平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限角的平分线
[解析] ∵a＋b＝(0，x2＋1)，
∴向量a＋b满足平行于y轴．
2．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( D )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴点A位于第四象限，故选D．
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( D )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
[解析] 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为( C )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
[解析] 由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，－2)．
二、填空题
5．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是__(－1，－)__.
[解析] 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．
即，解得，∴P(－1，－)．
6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.
[解析] 由题意得：2m＋n＝9，m－2n＝－8?m＝2，n＝5，m－n＝－3.
三、解答题
7．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)及＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)若点P在第三象限内，求λ的取值范围．
(3)四边形ABCP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3,1)，＝(5,7)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)，
即∴P(5λ＋5,7λ＋4)．
(1)当点P在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝.
(2)当点P在第三象限时，由得λ<－1.
(3)＝(3,1)，＝(2－5λ，6－7λ)．
若四边形ABCP为平行四边形，需＝，
于是方程组无解，故四边形ABCP不能成为平行四边形．
8．已知点A(－1,2)，B(2,8)，及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
[解析] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
∴∴
∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
C级 能力拔高
对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于__(2,0)__.
[解析] 由(1,2)?m＝(5,0)，
可得解得
∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
课件37张PPT。第二章平面向量§4 平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示自主预习学案
三坐标雷达亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息．这使其成为对飞机引导作战的关键设备．要此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示．平面向量的坐标有何运算规律呢？这就是本节要学习的内容．(x，y) (x，y) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 和与差 (λx，λy) 实数与向量相应坐标 (x2－x1，y2－y1) 终点的相应坐标 始点的相应坐标 2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)．
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)．A 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[解析] 本题考查向量的坐标运算．
b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B．向量的减法是横坐标的差作为横坐标，纵坐标的差作为纵坐标．B B (－18,18) (－3，－3) 互动探究学案 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．命题方向1 ?求向量的坐标或点的坐标典例 1 『规律总结』
(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．如图所示，设向量a＝(a1，a2)，a的方向相对于x轴的旋转角为θ，由三角函数的定义可知a1＝|a|cos θ，a2＝|a|sin θ.
D 命题方向2 ?向量的坐标运算典例 2 『规律总结』 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．
(2)若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．[思路分析] 利用向量加减法的三角形法则，建立等量关系，代入坐标利用向量相等得到参数的值．方程思想的运用 典例 3 『规律总结』 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法．设c＝xa＋yb，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x，y的值．错用向量的坐标 典例 4 『规律总结』 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (0,1) D D (4,6) B 课时作业学案
