第二章 §4 4.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－ B．
C．－或 D．0
[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( B )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
[解析] 由题意，得＝，∴m＝－4.
∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，则2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B．
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列命题成立的是( C )
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
[解析] 由已知得b－c＝(3,3)，
∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0.
∴a与(b－c)共线．
4．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则＝( C )
A． B．2
C．－ D．－2
[解析] λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)，
由共线条件可得，λ－μ＝3λ即＝－，故选C．
5．已知向量a＝(，sin α)，b＝(sin α，)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin 2α＝×＝，
∴sin α＝±.∵α为锐角，∴α＝30°.
6．已知点A(8,3)，B(－3，－4)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( B )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
[解析] ∵＝(－11，－7)，
∴＝－＝(－4，－3)－(－11，－7)＝(7,4)，
选B．
二、填空题
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____.
[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.
8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝__1__.
[解析] a－2b＝(，1)－(0，－2)＝(，3)，
∵a－2b与c共线，
∴存在实数λ使λ(，3)＝(k，)，
即(λ，3λ)＝(k，)，
∴∴
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解析] 解法一：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，
存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
所以k＝－，λ＝－，
因为λ＝－<0，所以它们是反向．
解法二：由解法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
所以k＝－，
当k＝－时，ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
所以－a＋b与a－3b反向．
10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥b，那么( D )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( D )
A．－2 B．0
C．1 D．2
[解析] 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
4．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A )
A．－ B．
C．2 D．－2
[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)
∵(2a＋b)∥(a－mb)
∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－.
二、填空题
5．设点C(2a－1，a＋2)在连接点A(1，－3)，B(8，－1)的直线上，则a＝__－13__.
[解析] ＝(7,2)，＝(2a－2，a＋5)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴7(a＋5)－2(2a－2)＝0，
解得a＝－13.
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__.
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．
又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，
∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u.
三、解答题
7．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的取值．
[解析] ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，解得m＝.
8．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件．
(2)若＝2，求x，y的值．
[解析] (1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
C级 能力拔高
已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为__(，)__.
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
课件33张PPT。第二章平面向量§4 平面向量的坐标4.3 平面向量共线的坐标表示自主预习学案首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京700余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是，科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合．你知道科学家们是如何判断的吗？向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，那么当且仅当__________________时，向量a，b(b≠0)共线．由于规定零向量与任何向量平行，所以b≠0的条件可去掉．当x2y2≠0时，向量a，b共线的条件也可以写作_________.x1y2－x2y1＝0 [知识点拨]两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9D D 3．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝_____时，a与b共线且方向相同．
[解析] ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2.当x＝－2时，a与b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同．2 互动探究学案 已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？命题方向1 ?向量共线条件的坐标表示典例 1 『规律总结』 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.〔跟踪练习1〕已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向？命题方向2 ?三点共线问题典例 2
如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．用向量法解决平面几何问题 典例 3 『规律总结』 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量可减少运算量，且思想简单明了． 已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值．处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况 典例 4 [解析] 由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1.A B C A 4．已知a＝(2,1)，b＝(x，－1)且a－b与b共线，则|x|＝_____.
[解析] a－b＝(2－x,2)，∵(a－b)∥b，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，解得x＝－2，∴|x|＝2.2 课时作业学案
