课件51张PPT。第三章三角恒等变形章末整合提升知 识 结 构三
角
恒
等
变
形 三
角
恒
等
变
形 知 识 梳 理通过本章学习，重点掌握以下几个方面：
1．三角函数式求值
三角函数式的求值包括三种类型：给角求值，给值求值，给值求角．
(1)给角求值
给角求值的解法规律是恰当地应用诱导公式，合理地进行角的变形，恰当地应用和角与差角的三角函数公式、二倍角公式、半角公式，使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题．给角求值中要注意当角较大时，应先利用诱导公式，这样能使角之间的关系更明确，这也是给角求值的技巧之一．技巧之二是进行角变换，将其中一个角用另两个角(已知角或特殊角)表示出来，减少未知角的个数．(2)给值求值
给值求值这类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行恒等变形，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值．也可以将所求的函数式经过适当的变形后，再利用条件，即给值求值的方法是代入法或恒等变形法．
(3)给值求角
给值求角这类问题的解法规律是根据已知条件求出该角的某种三角函数值，并根据已知条件判断出所求的角的范围，根据三角函数值及角的范围确定出角的大小．给值求角的难点是缩小角的范围，角的范围必须缩小到该三角函数的一个单调区间内，或在所确定的范围内，满足条件的角只有一个．2．三角函数式的化简
三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变形，使之取得较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式，(2)切化弦，(3)异角化同角，(4)特殊值与特殊角的三角函数互化，(5)通分、约分，(6)配方去根号．
3．三角恒等式的证明
三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异可从以下几方面入手：(1)角的差异，(2)三角函数名称的差异，(3)三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法等．
三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地应用条件，或通过变形观察所附条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．4．注意的问题
(1)本章公式较多，学好本章的关键，在于清楚各公式的来龙去脉，搞明白各式之间的内在联系，把握公式的结构，这样才能准确应用公式，同时注意公式的逆用、变形应用．
(2)转化思想是实施三角变形的主导思想，变形包括函数名称的变形、角的变形、和与积的变形、幂的升降变形及“1”的变形等．
(3)恒等变形前需分析已知式中角和函数名称的差异，寻求联系，实现转化．
(4)掌握基本技巧，如切割化弦、异名化同名、异角化同角等．专 题 探 究三角函数求值问题主要有三种类型，给角求值，给值求值和给值求角．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般首先要先化简所求式子，弄清实际所求，或变为已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．给值求角就是在给值求值的基础上，借助角的范围，求出角的值．专题一 ?三角函数式的化简与求值[思路分析] 思路1——见到平方式就降幂；思路2——拆角80°＝60°＋20°；思路3——构造对偶式．典例 1 专题二 ?三角函数式的条件求值典例 2 『规律总结』 (1)此类问题的解题思路是找出已知角与未知角的联系．
(2)此类问题的解题步骤：①讨论角的范围；②求出指定范围内的角的三角函数值；③根据已知角与未知角的联系，利用和角公式与差角公式求值．C 专题三 ?求角的大小典例 3 已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，sin x)，c＝(－1，0)．专题四 ?三角与向量的综合问题典例 4 『规律总结』 三角函数与向量结合是近几年高考的热点，主要从两方面考查：(1)利用向量的定义、公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角函数的条件，然后通过三角函数变换解决问题；(2)在三角函数与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题．B C C B 5．设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程 3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形D C π 三、解答题
10．设一元二次方程mx2＋(2m－1)x＋(m＋1)＝0的两根为tan α，tan β，求tan (α＋β)的取值范围．第三章 学业质量标准检测(A)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．
∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝，故选D．
3．下列等式中正确的是( D )
A．sin 2＋cos 2＝
B．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝
C．sin ＝±
D．sin α＝tan α·cos α(α≠kπ＋，k∈Z)
[解析] 选项A中，sin 2＋cos 2＝1，所以选项A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B中cos α≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而选项B不正确；因为0<<，
所以sin >0，所以选项C不正确．
4．若sin 2α＋sin α＝1，则cos 4α＋cos 2α的值为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵sin 2α＋sin α＝1，∴sin α＝1－sin 2α＝cos 2α，
∴cos 4α＋cos 2α＝sin 2α＋sin α＝1.
5．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的( D )
A．最大值是1，最小值是－1
B．最大值是1，最小值是－
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1
[解析] 对于f(x)＝2sin (x＋)，
∵－≤x≤，
∴－≤x＋≤.
当x＝时，f(x)max＝2；
当x＝－时，f(x)min＝－1.
6．( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析]
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
7．若α，β∈(0，)，且tan α＝，tan β＝，则α－β的值为( B )
A． B．
C． D．
[解析] tan (α－β)＝＝＝1.
又0<α<，－<－β<0，∴－<α－β<.
∴α－β＝.
8．若＝，则tan 2α＝( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tan α＋2＝tan α－1，
∴tan α＝－3，∴tan 2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．
9．y＝sin (2x－)－sin 2x的一个单调递增区间是( B )
A．[－，] B．[，π]
C．[π，π] D．[，]
[解析] y＝sin (2x－)－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x＝－(sin 2xcos ＋cos 2xsin )＝－sin (2x＋)，其增区间是函数y＝sin (2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．
10．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则tan ＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] tan ＝tan
＝＝＝.
11．已知f(x)＝cos x·cos 2x·cos 4x，若f(α)＝，则角α不可能等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] f(x)＝cos x·cos 2x·cos 4x＝＝，由f(α)＝，可得sin 8α＝sin α，经验证，α＝时，上式不成立．
12．已知△ABC中，tan A＝成立，则△ABC为( B )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
[解析] ∵tan A＝，
∴＝，
即sin A(sin C－sin B)＝cos A(cos B－cos C)，
sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C.
∴cos Acos B＋sin Asin B＝cos Acos C＋sin Asin C.
∴cos (A－B)＝cos (A－C)(*)．
∵在△ABC中，0
∴－π则(*)式为A－B＝A－C或A－B＝－(A－C)，
则B＝C ①或2A＝B＋C ②.
∵A＋B＋C＝π，
∴由②得A＝.
若B＝C，则已知等式右边分母为0，不合题意，故选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．tan 21°＋tan 39°＋tan 21°·tan 39°＝____.
[解析] tan (21°＋39°)＝tan 60°＝，
∴＝.
∴tan 21°＋tan 39°＋tan 21°tan 39°＝.
14．函数f(x)＝sin 2(2x－)的最小正周期是____.
[解析] 本题考查了倍角公式及三角函数的性质．
f(x)＝sin 2(2x－)＝
＝－sin 4x＋，
∴T＝＝.
15．化简·＝____.
[解析] 原式＝tan (90°－2α)·＝·tan 2α＝.
16．观察下列恒等式：
∵＝－，
∴tan α－＝－. ①
∴tan 2α－＝－. ②
∴tan 4α－＝－. ③
由此可知：tan ＋2tan ＋4tan －＝__－8__.
[解析] tan ＋2tan ＋4tan －
＝4tan ＋2tan ＋(tan －)
＝4tan ＋2tan －＝4tan －＝－＝－8.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
[解析] (1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin ＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝，或2θ＋＝.
因此θ＝，或θ＝.
18．(本小题满分12分)已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
[解析] (1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2，
∴tan x＝＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＋1＝(－)＋1＝.
19．(本小题满分12分)已知cos α－sin α＝，且π<α<π，求的值．
[解析] 因为cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝.
又α∈(π，)，故sin α＋cos α＝－
＝－，
所以＝
＝＝＝－.
20．(本小题满分12分)已知sin (A＋)＝，A∈(，)．
(1)求cos A的值；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋sin Asin x的值域．
[解析] (1)因为所以因为cos A＝cos [(A＋)－]
＝cos (A＋)cos ＋sin (A＋)sin
＝－×＋×＝，
所以cos A＝.
(2)由(1)可得sin A＝.
所以f(x)＝cos 2x＋sin Asin x
＝1－2sin 2x＋2sin x＝－2(sin x－)2＋.
因为sin x∈[－1,1]，
所以当sin x＝时，f(x)取最大值；
当sin x＝－1时，f(x)取最小值－3.
所以函数f(x)的值域为[－3，]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
[解析] (1)f()＝Asin (＋)＝Asin ＝，
∴A＝·＝3.
(2)由(1)得：f(x)＝3sin (x＋)，
∴f(θ)－f(－θ)＝3sin (θ＋)－3sin (－θ＋)
＝3(sin θcos ＋cos θsin )－3[sin (－θ)cos ＋cos (－θ)sin ]
＝6sin θcos ＝3sin θ，而f(θ)－f(－θ)＝，
所以sin θ＝，又因为θ∈(0，)
所以cos θ＝＝＝，
所以f(－θ)＝3sin (－θ＋)
＝3sin (－θ)＝3cos θ＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos 2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．
[解析] (1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos 2x－1，
得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos 2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)．
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增加的，在区间[，]上为减少的．又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
又因为f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]．
从而cos (2x0＋)＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos [(2x0＋)－]
＝cos (2x0＋)cos ＋sin (2x0＋)sin
＝.
第三章 学业质量标准检测(B)
本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(tan x＋)cos 2x＝( D )
A．tan x B．sin x
C．cos x D．
[解析] 原式＝·cos 2x
＝·cos 2x＝.
2．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝( A )
A．－1 B．－
C． D．1
[解析] 本题考查了平方关系，倍角关系．
将sin α－cos α＝，两端平方得(sin α－cos α)2＝2.
即1－2sin αcos α＝2，
∴sin 2α＝－1.
3．若A＝15°，B＝30°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( B )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
[解析] ∵tan (A＋B)＝tan 45°＝1，
∴＝1.∴tan A＋tan B＝1－tan Atan B.
∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2.
4．若tan α＝，tan (α＋β)＝，则tan β＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝；故选A．
5．已知α为第三象限角，且sin α＝－，则tan 等于( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵α为第三象限角，∴cos α＝－，
tan ＝＝＝－.
6．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.
又∵α∈，∴tan α＝，∴sin α＝.故选B．
7．函数f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为( B )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．[－，]
[解析] 本题考查两角和的余弦公式、辅助角公式，三角函数的值域．
由题意知，f(x)＝sin x－cos xcos ＋sin xsin ＝sin x－cos x＝(sin x－cos x)＝sin (x－)，
∴f(x)∈[－，]，
8．若sin (－α)＝，则cos (＋2α)＝( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] cos (＋2α)＝2cos 2(＋α)－1.
∵(－α)＋(＋α)＝，
∴cos (＋α)＝sin (－α)＝.
∴cos (＋2α)＝2×()2－1＝－.
9．设α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则cos 2α的值是( C )
A． B．
C．－ D．或－
[解析] ∵sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0，
∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴cos α－sin α＝－，
∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.
10．设△ABC的三个内角A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，则C等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] m·n＝sin Acos B＋sin B·cos A
＝sin (A＋B)＝sin C.
又∵m·n＝1＋cos (A＋B)＝1－cos C，
∴sin C＝1－cos C，sin C＋cos C＝1.
∴2sin (C＋)＝1，sin (C＋)＝.
∵△ABC中角C满足0∴C＝.
11．将函数f(x)＝sin 2xsin ＋cos 2xcos －sin (＋)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，则函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为( C )
A．，－ B．，－
C．，－ D．，
[解析] f(x)＝×sin 2x＋cos 2x－sin ＝sin 2x＋cos 2x－＝sin 2x＋×－＝sin (2x＋)，所以g(x)＝sin (4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2(－)＋cos 2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( D )
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
[解析] f(B)＝4sin Bcos 2(－)＋cos 2B
＝4sin B＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin 2B)＝2sin B＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sin B－1恒成立．
∵0∴－1<2sin B－1≤1，故m>1.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若cos α＝－，且α∈(π，)，则tan α＝____.
[解析] 此题考查已知一个角的三角函数值，求另一个三角函数值属基础题．
∵cos α＝－，α∈(π，)，∴sin α＝－，
∴tan α＝.
14．cos cos cos cos cos ＝____.
[解析] 原式＝cos cos cos cos cos
＝
＝＝.
15．(2017·天津理)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为____.
[解析] 由题意，知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos 60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝(＋)·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝.
16．函数y＝cos 2(x－)＋sin 2(x＋)－1的最小正周期为__π__.
[解析] y＝cos 2(x－)＋sin 2(x＋)－1
＝＋－1
＝[cos (2x－)－cos (2x＋)]
＝(cos 2xcos ＋sin 2xsin －cos 2xcos ＋sin 2xsin )＝sin 2x，
∴T＝＝π.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知tan α＝2.
(1)求tan 的值；
(2)求的值．
[解析] (1) tan ＝
＝＝＝－3，
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
18．(本小题满分12分)已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.
[证明] 方法一：tan 2α＝2tan 2β＋1，
∴tan 2β＝.
∵tan 2β＝＝，
∴sin 2β＝.
∴sin 2β＝＝＝
＝＝2sin 2α－1.
方法二：∵tan 2α＝2tan 2β＋1，
∴tan 2α＋1＝2(tan 2β＋1)，
即＝2·，
即＝，
即cos 2β＝2cos 2α，即1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，
即sin 2β＝2sin 2α－1.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
[解析] (1)∵sin A＋cos A＝， ①
∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)由(1)sin Acos A＝－<0，且0可知cos A<0，
∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，
∴sin A－cos A>0.
∴sin A－cos A＝. ②
由①②可得
sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝＝－.
20．(本小题满分12分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin (α＋β)．
[解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝＝2cos 2α＝2×(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝，
∴β＝α－，
∴sin β＝sin (α－)＝－cos α＝，
cos β＝cos (α－)＝sin α＝.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×＝.
21．(本小题满分12分)设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos 2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos 2(－x)
＝asin xcos x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x.
∵f(－)＝f(0)，
∴sin (－)－cos (－)＝－1.∴a＝2.
∴f(x)＝sin 2x－cos 2x
＝2(sin 2x－cos 2x)
＝2sin (2x－)．
∵x∈[，]，
∴≤2x－≤.
∴≤sin (2x－)≤1.
∴≤2sin (2x－)≤2.
∴函数f(x)的最大值为2，最小值为.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin xcos x－cos (x＋π)cos x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f(x)的图像沿b＝(，)平移后得到函数y＝g(x)的图像，求y＝g(x)在[0，]上的最大值．
[解析] (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin 2x＋×()＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin (2x＋)＋，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)依题意g(x)＝f(x－)＋
＝sin (2x－＋)＋＋＝sin (2x－)＋，
当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，
sin (2x－)∈[－，]，
∴g(x)在[0，]上的最大值为＋＝.
