第三章 §1
A级 基础巩固
一、选择题
1．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值为( B )
A．－2 B．2
C．±2 D．
[解析] tan θ＋＝＋＝＝＝2.
2．若1＋sin θ·＋cos θ·＝0(θ为象限角)，则θ所在的象限是( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0，知当sin θ<0，cos θ<0时，上式成立．此时θ为第三象限角．
3．已知tan x>0且sin x＋cos x>0，那么x位于( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵tan x>0，∴>0，∴sin x，cos x同号，
又∵sin x＋cos x>0，∴sin x>0，cos x>0，
∴x位于第一象限．
4．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( C )
A． B．
C．1 D．
[解析] 原式＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.
5．已知<α<π，sin α＝，则tan α的值为( B )
A． B．－
C．± D．－
[解析] ∵<α<π，∴cos α<0，
∴cos α＝－＝－＝－.
∴tan α＝＝－.
6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( D )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[解析] ∵α的终边在直线y＝－x上，∴tan α＝－1，
∴原式＝＋，
(1)当α在第二象限时，原式＝－tan α＋tan α＝0；
(2)当α在第四象限时，原式＝tan α－tan α＝0.
二、填空题
7．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是__－1__.
[解析] 由已知可得tan α＝－2，
2sin αcos α－cos 2 α＝＝＝＝－1.
8．已知sin θ－cos θ＝，则sin 3θ－cos 3θ＝____.
[解析] ∵sin θ－cos θ＝，∴sin θcos θ＝，
∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝＝.
三、解答题
9．化简下列各式．
(1)；
(2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋.
[解析] (1)原式
＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin 2α·＋2sin αcos α＋cos 2α·
＝＝
＝.
10．已知θ∈(0,2π)且sin θ、cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，求k和θ.
[解析] 由题意知
由①得1＋2sin θcos θ＝k2，
把②代入上式得k2－2k－3＝0，
解得k＝3或k＝－1，
当k＝3时，sin θ·cos θ＝4不合题意，舍去．
当k＝－1时，
∴或
又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.
综上知k＝－1，θ＝π或.
B级 素养提升
一、选择题
1．下列各说法中正确的是( B )
A．存在角α，使cos α＝，tan α＝
B．不存在角α，使sin α＝cos α＝
C．cos ＝
D．若sin α－cos α＝，则α是锐角
[解析] B选项中，sin 2α＋cos 2α＝＋＝>1，故不存在这样的角α.
2．已知sin (α＋)＝，α∈(－，0)，则tan α的值为( A )
A．－2 B．2
C．－ D．
[解析] ∵sin (α＋)＝，∴cos α＝.
又∵α∈(－，0)，
∴sin α＝－＝－.
∴tan α＝＝－2.
3．若π<α<，＋的化简结果为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 原式＝＋
＝＋＝
∵π<α<，∴原式＝－.
4．若＝2，则sin θ·cos θ＝( D )
A．－ B．
C．± D．
[解析] 由＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝＝＝.
二、填空题
5．化简＝____.
[解析] 原式＝
＝＝.
6．若α是锐角，且2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α＝____.
[解析] 由2tan α＋3sin β＝7，得4tan α＋6sin β＝14①，又tan α－6sin β＝1②，①＋②，得5tan α＝15，∴tan α＝3，又由1＋tan 2α＝，有cos 2α＝＝＝，∴sin 2α＝1－cos 2α＝，∵0<α<，∴sin α＝.
三、解答题
7．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋)＝＋.
[证明] 左边＝sin α(1＋)＋cos α(1＋)
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
8．已知tan α＝7，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.
[解析] (1)＝＝＝＝.
(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝
＝＝
＝＝.
C级 能力拔高
是否存在实数k，使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是直角三角形中的两个锐角的正弦值？
[解析] 设两个锐角为α，β.
∵α＋β＝90°，∴sin β＝cos α，
∴
由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，
得＝1＋2×，解得k＝2或k＝－.
当k＝2时，Δ<0，不符合题意，∴k＝2舍去．
由sin α＋cos α>0，得k>0，∴k＝－舍去．
因此符合题意的k值不存在．
课件50张PPT。第三章三角恒等变形三角变换寻射点
在足球比赛中，双方队员都以攻破对方球门为目标，运动员最关心的是哪些位置射门命中率高．射门进球的可能性最大，意味着射门球员在射门点对球门的视角最大．
我们假设足球是个质点，足球运行轨迹与地面平行，射门时无对手进行防守．国际比赛标准的足球场地的长是110米，宽是90米，足球门宽是7.32米，如图．由平面几何知识可知，沿边线总可找到一点P，使得∠APB为最大(如图)．大家知道，队员技术水平一定的情况下，∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此，我们称使得∠APB最大的点P为足球射门最佳点．那么在足球场内，哪些点属于足球射门最佳点呢？
要解决这个问题就要用到数学中的三角恒等变形等知识．§1 同角三角函数的基本关系自主预习学案
sin 2α＋cos 2α＝1 tan αcos α D D cos 80° 4．化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝_____.
[解析] 原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝cos 2β(sin 2α＋cos 2α)＋sin 2β＝1.1 互动探究学案命题方向1 ?利用同角三角函数的关系求值典例 1
命题方向2 ?关于sin α，cos α齐次式的求值典例 2 B D 『规律总结』 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题
关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，其求解策略为：可用cos nα(n∈N＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m的值，从而完成求值任务．A 命题方向3 ?三角函数式的化简典例 3 『规律总结』 化简三角函数式常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[思路分析] 本题有多种证明方法，其共同点是“盯住目标，逐渐转化．”三角恒等式的证明 典例 4 『规律总结』 证法一是由左到右，以右式为果，左式通分，分子因式分解以产生因子cos α－sin α.此时，分子还缺少“2”这个因子，多余1＋sin α＋cos α这个因子，故分子分母同乘2，并尽量设法使分母产生1＋sin α＋cos α，以便约分．证法二是因右式分母有因子1＋sin α＋cos α，故将左式分子分母同乘1＋sin α＋cos α.证法三中证明的关键是使左、右两边变为同分母，而1＋sin α＋cos α是最简形式，故想到利用等比性质化简为同分母．〔跟踪练习4〕求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
[证明] 证法一：左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
证法二：右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)
＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边．
证法三：右边－左边
＝(1－sin α)2＋cos 2α＋2cos α(1－sin α)－2(1－sin α)(1＋cos α)
＝(1－sin α)2＋cos 2α－2(1－sin α)
＝－(1－sin α)(1＋sin α)＋cos 2α＝0.忽略隐含条件导致出错 典例 5 『规律总结』 在应用三角公式时，应注意各公式中角的范围．其次把三角函数式隐含的条件尽可能挖掘出来，这样才不会出现漏解或增解．B C A C －(sin 4＋cos 4) 课时作业学案
