第三章 §3
A级 基础巩固
一、选择题
1．sin 15°sin 30°sin 75°等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
2．下列各式中，值为的是( B )
A．2sin 15°cos 15° B．cos 215°－sin 215°
C．2sin 215°－1 D．sin 215°＋cos 215°
[解析] cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ的值为( B )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角，
故cos 2θ＝＝＝＝－.
4．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 设等腰三角形的底角为α，
则cos α＝，∴sin α＝，
设顶角为β，则sin β＝sin (180°－2α)
＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
5．设α∈(π，2π)，则等于( D )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
[解析] ∵α∈(π，2π)，则∈(，π)，
∴＝＝＝－cos .
6．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] ∵tan θ＋＝4，
∴＋＝4.
∴＝4，即＝4.
∴sin 2θ＝.
二、填空题
7．若sin ＝，则cos 2θ＝__－__.
[解析] 本题主要考查诱导公式及二倍角公式的灵活运用．
∵sin ＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2－1＝－.
8．若cos 2θ＝，则sin 4θ＋cos 4θ的值为____.
[解析] 因为sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θ·cos 2θ＝1－sin 22θ，又因为cos 2θ＝，所以sin 22θ＝1－cos 22θ＝1－＝，所以sin 4θ＋cos 4θ＝1－×＝1－＝.
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan 15°＋tan 215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
[解析] (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
(2)原式＝tan 30°(1－tan 215°)＋tan 215°
＝×(1－tan 215°)＋tan 215°＝1.
(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
10．已知函数f(x)＝cos (＋x)cos (－x)，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
[解析] (1)f(x)＝cos cos
＝
＝cos 2x－sin 2x＝－
＝cos 2x－，
f(x)的最小正周期为＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos ，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
{x|x＝kπ－，k∈Z}．
B级 素养提升
一、选择题
1．若tan α＝3，则的值为( D )
A．2 B．3
C．4 D．6
[解析] ∵＝＝2tan α＝6，
∴的值为6.
2．若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 本题考查了三角的恒等变形以及倍半角公式．
由θ∈[，]可得2θ∈[，π]，
cos 2θ＝－＝－，
sin θ＝＝.
3．已知cos (α－)＝，则sin 2α的值为( C )
A． B．－
C．－ D．
[解析] sin 2α＝cos (－2α)
＝cos [2(－α)]＝2cos 2(－α)－1
＝2cos 2(α－)－1＝2×()2－1＝－.
4．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 的值等于( D )
A．－ B．－
C．－ D．－
[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，
∴sin ＝－＝－.
二、填空题
5．已知tan ＝3，则＝__3__.
[解析] 因为tan ＝3，
所以原式＝＝tan ＝3.
6．函数f(x)＝－2sin 2x＋sin 2x＋1，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图像的一条对称轴；
③函数f(x)的图像可由函数y＝sin 2x的图像向左平移而得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题序号是__①②__.
[解析] f(x)＝－2sin 2x＋sin 2x＋1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin .
f(x)在上是减函数，①正确．
当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，y＝sin 2x向左平移个单位可得f(x)的图像，故③错．当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，π]，则f(x)∈[－1，]，故④错．从而填①②.
三、解答题
7．已知cos (x－)＝，x∈(，)．
(1)求sin x的值；
(2)求sin (2x＋)的值．
[解析] (1)因为x∈(，)，
所以x－∈(，)，
于是sin (x－)＝＝，
sin x＝sin [(x－)＋]
＝sin (x－)cos ＋cos (x－)sin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈(，)，
故cos x＝－＝－＝－.
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos 2x－1＝－，
所以sin (2x＋)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin
＝－.
8．已知≤α<π，且cos (α＋)＝，求cos 2α及sin 2α的值．
[解析] ∵≤α<，∴≤α＋<，
又∵cos (α＋)＝>0，
∴<α＋<，
∴sin (α＋)＝－＝－.
∵sin (α＋)＝(sin α＋cos α)，
cos (α＋)＝(cos α－sin α)，
∴sin α＋cos α＝－，cos α－sin α＝.
因此cos 2α＝(cos 2α－sin 2α)
＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－.
sin 2α＝2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)＝－1＝.
C级 能力拔高
已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最大值及相应的x的值．
(2)若f(θ)＝，求cos 2(－2θ)的值．
[解析] (1)∵a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，
∴f(x)＝1＋sin 2x＋sin 2x－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)＋1.
因此，当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋π(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
(2)∵f(θ)＝1＋sin 2θ－cos 2θ＝，∴sin 2θ－cos 2θ＝，
两边平方得1－sin 4θ＝，即sin 4θ＝.
∴cos 2(－2θ)＝cos (－4θ)＝sin 4θ＝.
课件46张PPT。第三章三角恒等变形§3 二倍角的三角函数自主预习学案
如图甲所示，已知弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝2b(其中MA＝MB，MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等(如图乙所示)，设∠AMN＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值，即tan 2α的值吗？
tan 2α与tan α之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍角与半角公式的知识．1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)在和角公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，当α＝β时就可得到二倍角的三角函数公式S2α，C2α，T2α.
sin 2α＝______________，cos 2α＝_______________，tan 2α＝________.
(2)余弦函数的二倍角公式有三种形式，即cos 2α＝__________________＝_______________＝_____________，由此可得变形公式sin 2α＝___________，cos 2α＝____________，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．2sin αcos α cos 2α－sin 2α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α D C A 互动探究学案命题方向1 ?二倍角公式的正用典例 1 『规律总结』 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解． 求下列各三角函数式的值：
(1)cos 72°cos 36°；命题方向2 ?二倍角公式的逆用典例 2 『规律总结』 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)当公式出现2sin αcos α时，要逆用公式，然后再寻找关系解决．命题方向3 ?半角公式的应用典例 3
二倍角公式的变形应用 典例 3
〔跟踪练习4〕化简cos 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋sin (θ＋180°)·cos (θ－180°)．典例 5 『规律总结』 盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述．D D C 课时作业学案
