第三章 §2 2.1 2.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．cos 24°cos 36°－cos 66°cos 54°的值是( B )
A．0 B．
C． D．－
[解析] 原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°
＝cos 60°＝.
2．化简cos x＋sin x等于( B )
A．2cos (－x) B．2cos (－x)
C．2cos (＋x) D．2cos (＋x)
[解析] cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)
＝2(cos cos x＋sin sin x)
＝2cos (－x)．
3．cos (－)的值是( B )
A．－ B．
C． D．
[解析] cos (－)＝cos ＝cos (2π＋)
＝cos ＝cos (－)
＝cos cos ＋sin sin
＝×＋×
＝.
4．已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，则cos (α－)的值是( A )
A．0 B．
C．1 D．
[解析] 由2tan α·sin α＝3，得2··sin α＝3，
于是sin 2α＝cos α.
∵sin 2α＋cos 2α＝1，
∴cos α＋cos 2α＝1.
∴2cos 2α＋3cos α－2＝0.
∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
∵－<α<0，
∴sin α＝－.
∴cos (α－)＝cos α·cos ＋sin α·sin
＝×－×＝0.
5．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝－，则cos αcos β的值为( A )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝，
cos αcos β＋sin αsin β＝－，
左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0.
6．已知向量＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则的模的取值范围是( D )
A．[1,3] B．[1,3]
C．[，3] D．[，3]
[解析] ＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，
所以||＝
＝，
所以≤||≤3，所以||∈[，3]．故选D．
二、填空题
7．化简：＝__1__.
[解析] 原式＝
＝
＝
＝1.
8．若cos α＝－，sin β＝－，α∈(，π)，β∈(，2π)，sin (α＋β)的值为____.
[解析] ∵α∈(，π)，cos α＝－，∴sin α＝.
又β∈(，2π)，sin β＝－，∴cos β＝.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋(－)×(－)＝.
三、解答题
9．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，求β.
[解析] 由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos (α－β)＝，cos α＝
∴sin (α－β)＝＝＝.
sin α＝＝＝，
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝，∴β＝.
10．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sin α.
[解析] (1)证明：∵a2＝cos 2α＋sin 2α＝1，
b2＝cos 2β＋sin 2β＝1
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cos αcos ＋sin αsin
＝cos ，且a·b＝，
∴cos ＝.
由－<α<，得－<α－<0.
∴sin ＝－＝－.
∴sin α＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝－.
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝cos x－sin x具有性质( C )
A．最大值为，图像关于直线x＝对称
B．最大值为1，图像关于直线x＝对称
C．最大值为，图像关于(，0)对称
D．最大值为1，图像关于(，0)对称
[解析] y＝(cos x－sin x)＝(cos x·cos －sin x·sin )＝cos (x＋)，其最大值为，排除B，D；由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝kπ－(k∈Z)为此函数的对称轴方程，不包含直线x＝，排除A．故选C．
2．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是( C )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力．
∵cos ＋sin α＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α
＝cos α＋sin α，
∴cos α＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，
即sin ＝.
又sin ＝sin ＝－sin
＝－.
3．已知sin ＝，<α<，则cos α的值是( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos ＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－×＋×＝.
4．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3[解析] ∵sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos (x－)＝4－m，
∴cos (x－)＝4－m，
∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
二、填空题
5．已知cos (α－)＋sin α＝，则cos (α－)的值是____.
[解析] cos (α－)＋sin α＝cos α＋sin α＝，
cos α＋sin α＝，∴cos (α－)＝cos α＋sin α＝.
6．已知△ABC中，∠A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为__1__.
[解析] 由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
得sin B＋sin C＝sin B＋sin (60°－B)
＝cos B＋sin B＝sin (60°＋B)．
显然当∠B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.
三、解答题
7．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点．P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若点Q的坐标是(，)，求
cos (α－)的值；
(2)设函数f(α)＝·，求f(α)的值域．
[解析] (1)由已知可得cos α＝，sin α＝.
所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
(2)f(α)＝·＝(cos ，sin )·(cos α，sin α)
＝cos α＋sin α＝sin (α＋)．
因为α∈[0，π)，则α＋∈[，)，
所以－8．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：
(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析] (1)因为α、 β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)，又sin (α－β)＝>0，
∴0<α－β<，所以sin α＝＝，
cos (α－β)＝＝，
cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]
＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)
＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.
C级 能力拔高
设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
[解析] ∵π<α<，0<β<，∴<α－β<.
∵cos α＝－，π<α<，∴sin α＝－.
∵tan α＝，0<β<，
∴cos 2β＝＝＝＝＝，
即cos β＝，sin β＝.
∴sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝－×－(－)×＝－.
∵<α－β<，∴α－β＝.
课件43张PPT。第三章三角恒等变形§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数自主预习学案在我国和西方的民间故事中，有许多关于彩虹的传说，给其披上了神秘的面纱，实际上通过物理学中对光的学习，我们知道彩虹是由于光的折射而形成的．而在空气中各种不同光波的叠加让我们感觉到光是没有色彩的．实际上光波的叠加就像是许多正弦、余弦函数图像的叠加，物理中的干涉实验实际上就是将正弦、余弦波相加减后形成了新的波形，从而形成明暗相间的条纹．而要深入研究这些问题，不仅要用到两角和与差的余弦公式，还要用到两角和与差的正弦公式．本节我们就来研究一下这些公式．1．cos (α＋β)＝_____________________________；
2．cos (α－β)＝_____________________________；
3．sin (α＋β)＝_____________________________；
4．sin (α－β)＝_____________________________.cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β [知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点
(1)公式中的α、β均为任意角．
(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β时，不要将sin (α＋β)和cos (α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．D B 3．sin (30°＋45°)＝_________.4．cos 55°cos 5°－sin 55°sin 5°＝_____.互动探究学案 求值：
(1)cos (x＋20°)cos (x－40°)＋cos (x－70°)sin (x－40°)；
(2)sin 100°sin (－160°)＋cos 200°cos (－280°)；命题方向1 ?化简求值典例 1 『规律总结』 解这类题目的关键是将非特殊角转化为特殊角，充分地拆角、凑角转化为角的正弦、余弦、正切公式，同时灵活运用两角和与差的正弦、余弦及正切公式．命题方向2 ?给值(式)求值典例 2
[思路分析] α，β为锐角，由sin α，cos β可求cos α，sin β的值，要求α＋β的值，可以先求出它的某一三角函数值，然后根据角的范围求出α＋β的值．命题方向3 ?知值求角典例 3 『规律总结』 已知三角函数值求角的步骤：
(1)根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值：为防止产生增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．[思路分析] 由函数的解析式化为y＝Asin (ωθ＋φ)的形式，然后求其最大值和周期．辅助角公式及其应用 典例 4
2π －4 求三角函数值时忽略角的范围 典例 5 [错因分析] 错解的原因是忽略了角的范围，误认为α－β是锐角．『规律总结』 对于求角的题，一定要先考虑角的取值范围，这样才不会出错．A A A 课时作业学案
