第三章 §2 2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan (α－β)等于( D )
A．－3 B．－
C．3 D．
[解析] tan (α－β)＝＝＝.
2．若tan ＝3，则tan α等于( B )
A．－2 B．－
C． D．2
[解析] tan α＝tan
＝＝－.
3．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈(0，)，则α＋β的值为( C )
A．30° B．45°
C．135° D．225°
[解析] ∵tan (α＋β)＝＝＝－1，0<α＋β<π，
∴α＋β＝135°.
4．若sin α＝，tan (α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( C )
A． B．－
C．－7 D．－
[解析] 因为sin α＝，α是第二象限角，
所以cos α＝－.
所以tan α＝－.
因为tan (α＋β)＝，
所以1＝，解得tan β＝－7.
5．若∠A＝22°，∠B＝23°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是( B )
A． B．2
C．1＋ D．2(tan A＋tan B)
[解析] 因为原式＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B
＝1＋tan Atan B＋tan (A＋B)(1－tan Atan B)
＝1＋tan Atan B＋tan 45°(1－tan Atan B)
＝2＋tan Atan B－tan Atan B＝2.
6．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°的值为( B )
A．m B．(1－m)
C．(m－1) D．(m＋1)
[解析] ∵tan (28°＋32°)＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)＝(1－m)．
二、填空题
7.＝！！！____.
[解析] 原式＝tan (23°＋37°)＝tan 60°＝.
8．设sin α＝(<α<π)，tan (π－β)＝，
则tan (α－2β)＝！！！____.
[解析] sin α＝(<α<π)，则tan α＝－.
tan (π－β)＝，则tan β＝－，
tan (α－β)＝＝＝－，
tan (α－2β)＝＝＝.
三、解答题
9．计算下列各式的值．
(1)tan 15°＋tan 75°；
(2).
[分析] 观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算．
[解析] (1)tan 15°＋tan 75°＝tan (45°－30°)＋tan (45°＋30°)
＝＋
＝＋＝＋＝4.
(2)原式＝tan (41°＋19°)＝tan 60°＝.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝，cos β＝.
因为α为锐角，故sin α>0，
从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1.
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，
从而由tan (α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是( B )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，即tan (A＋B)＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cos C＝.
2．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan (α＋)＝( A )
A． B．7
C．－ D．－7
[解析] ∵α∈(，π)，∴sin α＝，∴cos α＝－，tan α＝＝－，∴tan (α＋)＝＝＝，故选A．
3．tan (α＋β)＝，tan (α－β)＝，则tan 2α＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝.
4．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( C )
A．2 B．1
C． D．4
[解析] ∵tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，
∴＝4?tan αtan β＝.
二、填空题
5．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝！！！____.
[解析] 由已知得tan A＋tan B＝－(1－tan Atan B)，
∴tan (A＋B)＝－.
∵A，B均为△ABC的内角，
∴0
∴A＋B＝.∴C＝.
6．已知tan ＝，tan ＝－，则tan ＝！！！____.
[解析] tan ＝tan ＝＝.
三、解答题
7．已知tan (＋α)＝，tan (β－)＝2，求：
(1)tan (α＋β－)；
(2)tan (α＋β)．
[解析] (1)tan (α＋β－)＝tan [(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－.
(2)tan (α＋β)＝tan [(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
8．已知A、B、C是△ABC的三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若tan ＝－3，求tan C.
[解析] (1)m·n＝1，
∴(－1，)·(cos A，sin A)＝1，
即sin A－cos A＝1,2sin ＝1.
∴sin ＝.
∵0∴－∴A－＝，即A＝.
(2)由tan ＝＝－3，
解得tan B＝2.
又A＝，∴tan A＝.
∴tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)
＝－＝－＝.
C级 能力拔高
已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin (x－α)＋cos (x＋β)的最大值．
[解析] 考查两角和与差的三角函数公式的运用和三角函数的性质．
(1)由cos β＝，β∈(0，π)，得sin β＝，
所以tan β＝＝2，
所以tan (α＋β)＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－.
∴f(x)＝sin xcos α－cos xsin α＋cos xcos β－sin xsin β
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x＝－sin x.
所以f(x)的最大值为.
课件35张PPT。第三章三角恒等变形§2 两角和与差的三角函数2.3 两角和与差的正切函数自主预习学案
某电视塔建在一座高山上(如图)，小明自A点观测山顶C的仰角为45°，塔顶P点的仰角为75°，AB＝500米．需求电视塔顶距地面的高度即PB，显然75°＝45°＋30°；如果能找到tan 75°与tan 45°，tan 30°的关系，PB便容易求出！这就是本节所要研究的问题．B B B 1 互动探究学案命题方向1 ?公式的直接应用典例 1 『规律总结』 该题属于给值求值题，解答此题的关键在于先用Tα±β公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的向已知进行转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角． 求下列各式的值：命题方向2 ?公式的逆用与变形应用典例 2 公式的综合应用 典例 3 『规律总结』 本题主要考查两角和的正切公式在三角形中的应用．证明与三角形有关的问题时，一要注意三内角和等于180°；二要注意创设条件，使之能运用两角和与差的三角函数公式；三要注意应用两角和与差正切公式的变形．〔跟踪练习3〕在△ABC中，已知tan A与tan B是方程2x2＋9x－13＝0的两个根，求tan C的值．典例 4 〔跟踪练习4〕已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan (α＋β)的最小值．D B 3 4．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为___.－3 课时作业学案