课件46张PPT。第一章三角函数章末整合提升知 识 结 构三
角
函
数 三
角
函
数 三
角
函
数 知 识 梳 理本章主要学习了周期现象，角的概念的推广，弧度制，正弦函数、余弦函数的定义、性质、图像与诱导公式，正切函数，y＝Asin (ωx＋φ)的图像以及三角函数的简单应用．
1．在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变化的现象，这些周期现象的规律是：若一变量每经过相同的间隔，另一变量就重复出现相同的数值，则说变量y是周期性变化的．
2．角的概念的扩展中，学习了有关的正角、负角和零角，终边相同的角及表示方法，象限角及表示方法，用集合、图形表示角．
3．在弧度制中，定义了一弧度的角及弧度与角度的换算关系以及扇形的弧长公式和面积公式．4．通过单位圆定义了正弦线、余弦线和正切线，使我们明确了三角函数可以用一个实数的比值表示．给出了正弦、余弦及正切函数的诱导公式，为研究三角函数的求值、化简、证明等提供了方便．
5．通过研究正弦、余弦函数和正切函数，使我们对三角函数有了更深刻的认识，通过研究三角函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值)，大大提高了解题能力．
6．研究函数y＝Asin (ωx＋φ)和y＝Acos (ωx＋φ)，学习了作函数图像的五点法和平移伸缩变换法，加强了对函数图像和性质的内在联系的理解和掌握，提高了解决复杂问题的能力．
7．通过学习三角函数的简单应用，增强了用三角函数解决实际问题的能力．专 题 探 究 在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)－480°；(2)660°；(3)－950°8′.
[解析] (1)∵－480°＝240°－2×360°，
∴与－480°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角；
(2)∵660°＝300°＋360°，
∴与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限角；
(3)－950°8′＝129°52′－3×360°，
∴与－950°8′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限角．专题一 ?三角函数的概念典例 1 『规律总结』 正的角度除以360°，按通常除法进行；负的角度除以360°，商是负数，负数的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．专题二 ?利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式化简求值典例 2 C 已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)·cos x<0的解集是( )专题三 ?三角函数与不等式典例 3 C 『规律总结』 本题主要考查了函数的图像及三角函数的性质，解决此类问题要掌握相应的数学思想方法，以不变应万变．D 专题四 ?函数的值域与最值典例 4 『规律总结』 通过换元，把原函数转化为二次函数类型，再结合二次函数的图像即可求得最值，这是一类常见题型．换元后确定t的取值范围是解决此类问题的关键所在．
三角函数的值域常常利用函数有界性：|sin x|≤1，|cos x|≤1和二次函数配方法求解． 已知函数y＝Asin (ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π)的图像如图所示，试确定该函数的解析式．专题五 ?求三角函数解析式典例 5 『规律总结』 所给函数图像中的特征点为最高点和最低点，我们可以取特征点来确定参数ω和φ.C 专题六 ?三角函数性质的应用典例 6 『规律总结』 (1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且还要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行．本题是三角函数与对数函数复合的函数，应在其定义域上对三角函数的单调区间进行等价转化求出该函数的单调区间，若对数函数的底数是字母时，还应注意对字母进行分类讨论，才能确定该函数的单调区间；(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．[分析] 考查对正弦型函数y＝sin ωx的单调性的理解与应用．求解本题的关键是明确y＝sin ωx(ω>0)的图像过原点．结合正弦曲线在原点右侧的单调区间及已知条件所给的单调区间求ω.C C [解析] 作出正弦函数y＝sin x，x∈R的图像，从图中可以看出①②正确，③错误．B 3．下列函数中，奇函数的个数为( )
①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0,2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵y＝sin x，x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称，∴②不是奇函数，①、③、④符合奇函数的概念．C C 6 7．函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是_____.第一、二章 学业质量标准检测
本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由三角函数的定义知＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－.
2．要得到函数y＝sin 的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像( B )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] 因为y＝sin (4x－)＝sin [4(x－)]所以要得到y＝sin [4(x－)]的图像，只需将函数y＝sin 4x的图像向右平移个单位．故选B．
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析] 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3.
4．函数f(x)＝sin (x－)的图像的一条对称轴是( C )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题．
函数f(x)＝sin (x－)的图像的对称轴是
x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.
当k＝－1时，x＝－π＋＝－.
要清楚函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin (ωx＋φ)＝±1时解出的．
5．设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|等于( C )
A．37 B．13
C． D．
[解析] |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos 60°＋|b|2＝16＋2×4×3×＋9＝37，|a＋b|＝，故选C．
6．为得到函数y＝cos (x＋)的图像，只需将函数y＝sin x的图像( C )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
[解析] y＝cos (x＋)＝sin [＋(x＋)]＝sin (x＋)，则只需将函数y＝sin x的图像向左平移个长度单位即得到函数y＝cos (x＋)的图像．
7．(＋)·(－)等于( A )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
[解析] ∵＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0.
8．若函数f(n)＝sin ，则f(2011)＋f(2012)＋…＋f(2017)的值是( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵f(n)＝sin 的周期是4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin ＋sin π＋sin ＋sin 2π＝0，则
∴f(2011)＋f(2012)＋…＋f(2017)＝f(3)＋f(4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(1)＝f(3)＋f(4)＋f(1)
＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]－f(2)
＝－f(2)＝－sin π＝0，应选B．
9．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图像不可能是( D )
[解析] 本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．
10．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( B )
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
[解析] A项，|a·b|＝(α为a、b夹角)，因为cos α≤1，所以|a·b|＝≤|a||b|，故A项不符合题意；B项，两边平方得a2＋b2－2a·b≤a2＋b2－2|a||b|，即|a||b|≤a·b＝|a||b|cos α(α为a、b夹角)，当α不为0时，此式不成立，应该为|a||b|≥a·b，故B项符合题意；C项，由向量的运算性质可知，(a＋b)2＝|a＋b|2恒成立，故C项不符合题意；D项，由向量的数量积运算可知，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2恒成立，故D项不符合题意．故本题正确答案为B．
11．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是( C )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
[解析] ∵·＝·(＋)
＝2＋·＝2，
∴|AC2＝·成立；同理||2＝·成立；
而·＝||·||＝|CD|2＝||2.故选C．
12．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在上为单调函数，则ω的最大值为( B )
A．11 B．9
C．7 D．5
[解析] 因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在(，)单调，所以T≥，k≤，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－， f(x)在(，)不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝， f(x)在(，)单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝__－__.
[解析] ∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
14．(2018·全国卷Ⅲ)函数f＝cos 在的零点个数为__3__.
[解析] 令f(x)＝cos ＝0，得3x＋＝＋kπ，即x＝＋kπ，
当k＝0时，x＝∈[0，π]，当k＝1时，x＝∈[0，π]，当k＝2时，x＝∈[0，π]，
所以f(x)＝cos 在[0，π]上零点的个数为3.
15．已知函数f(x)＝Atan (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图像如图，则f()＝____.
[解析] ∵T＝＝，∴ω＝2.
当x＝0时，f(0)＝Atan φ＝1，
当x＝时，f＝Atan ＝0，
∴φ＝，A＝1，
∴f＝tan ＝tan ＝.
16．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos 2x＋2asin x－1的最大值为__2a－1__.
[解析] f(x)＝cos 2x＋2asin x－1＝1－sin 2x＋2asin x－1＝－(sin x－a)2＋a2，
∵0≤x≤2π，∴－1≤sin x≤1，
又a>1，∴f(x)max＝f()＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3︰4，求2sin α＋cos α的值．
[解析] (1)∵r＝＝5，∴sin α＝＝－，cos α＝＝，∴2sin α＋cos α＝－＋＝－.
(2)∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sin α＝＝－，cos α＝，∴2sin α＋cos α＝－；
当a<0时，r＝－5a，∴sin α＝＝，cos α＝－，
∴2sin α＋cos α＝.
(3)当点P在第一象限时，sin α＝，cos α＝，
2sin α＋cos α＝2；当点P在第二象限时，sin α＝，
cos α＝－，2sin α＋cos α＝；当点P在第三象限时，sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；
当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝－.
18．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos (α－)的值．
[解析] (1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.由－≤φ<得φ＝－.
(2)由(1)得f()＝sin (2·－)＝，
所以sin (α－)＝.由<α<得0<α－<，
所以cos (α－)＝＝＝.
20．(本小题满分12分)如图所示，M，N，P分别是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，设＝a，＝b，试将，，用a，b表示，并计算＋－.
[解析] 由题设得＝＝a，＝＝－＝－b，＝－＝b－a，＝＝(b－a)，所以＝＋＝＋＝(b－a)－b＝－a＋b.同理可得＝－a－b，＝－a＋b.将它们代入得＋－＝0.
21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式．
(2)在闭区间[，]上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程，如果不存在，请说明理由．
[解析] (1)f(x)＝Asin (ωx＋φ)
由它的最小正周期为2.
知＝2，ω＝π
又当x＝时，f(x)max＝2，知A＝2，且π＋φ＝2kπ＋.(k∈Z)
即φ＝2kπ＋(k∈Z)
所以f(x)＝2sin (πx＋2kπ＋)＝2sin (πx＋)(k∈Z)
故f(x)＝2sin (πx＋)
(2)令πx＋＝kπ＋(k∈Z)
解得x＝k＋(k∈Z)．
由≤k＋≤
解≤k≤
又k∈Z，知k＝5.
由此可知在闭区间[，]上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.
22．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图像时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin (ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin (ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin (2x－)．
(2)由(1)知f(x)＝5sin (2x－)，因此g(x)＝5sin [2(x＋)－]＝5sin (2x＋)
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)图像的对称中心为(－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－，0)．
第一章 学业质量标准检测(A)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( C )
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限的角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于90°的角都是锐角
[解析] 终边相同的角相差k·360°(k∈Z)，故A不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B不正确；而C正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D不正确．
2．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝x<0，即x<0.
又cos α＝x＝，解得x＝－3，
∴tan α＝＝－.
3．如果cos (π＋A)＝－，那么sin ＝( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 由cos (π＋A)＝－cos A＝－，∴cos A＝，
∴sin ＝cos A＝.
4．已知角α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos |＝－cos ，∴cos <0.
∴是第三象限角．
5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是上的增函数的是( A )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
[解析] y＝tan x为T＝π的奇函数，且在上是增函数．
6．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，
x2＝2.则sin α＝－
原式＝＝－＝.
7．已知函数y＝2sin ωx(ω>0)的图像与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为，则ω的值为( A )
A．3 B．
C． D．
[解析] 函数y＝2sin ωx(ω>0)的最小值是－2，它与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由＝，得ω＝3.故应选A．
8．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f()＝( A )
A． B．
C．0 D．－
[解析] 本题考查递归运算，诱导公式．
f(π)＝f(π)＋sin π
＝f(π)＋sin π＋sin π
＝f(π)＋sin π＋sin π＋sin π
＝0＋－＋＝.
9．设函数f(x)＝cos (x＋)，则下列结论错误的是( B )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在(，π)单调递减
[解析] A项，因为f(x)＝cos (x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．
B项，因为f(x)＝cos (x＋)图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B项正确．
C项，f(x＋π)＝cos (x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．
D项，因为f(x)＝cos (x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以(，)是减区间，[，π)是增区间，D项错误．
10．y＝cos 是( B )
A．[－π，0]上的增函数
B．上的增函数
C．上的增函数
D．上的增函数
[解析] y＝cos ＝cos
∵y＝cos x在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移后得到y＝cos 在上是增函数．
11．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( D )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
[解析] 由五点作图知，解得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos (πx＋)，令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z，故选D．
12．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( C )
A．－2 B．－
C． D．2
[解析] 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin ，且g(x)最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是__18__.
[解析] ∵l＝αR，∴R＝＝6.
根据扇形面积公式有S扇＝lR＝×6×6＝18.
14．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为2π，且当x∈[0，π]时f(x)＝sin x，则f(π)＝____.
[解析] 由题意可知f(π)＝f(π－2π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.
15．设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)＝则f＝____.
[解析] ∵T＝，∴kT＝k·(k∈Z)都是y＝f(x)的周期，
∴f＝f＝f＝sin ＝sin ＝.
16．下列命题中，正确命题的序号是__①④__.
①函数y＝sin |x|不是周期函数．
②函数y＝tan x在定义域内是增函数．
③函数y＝的周期是.
④y＝sin 是偶函数．
[解析] ②中y＝tan x在(k∈Z)内是增函数，③中y＝的周期为π.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m，求cos θ与tan θ的值．
[解析] 由题意可知＝，
∴m＝0或或－.
(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；
(2)当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；
(3)当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝.
18．(本题满分12分)求证：＝.
[解析] 方法一：
∵右边＝＝＝＝
＝＝左边，
∴原等式成立．
方法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
19．(本题满分12分)已知函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一段如图所示，求它的解析式．
[解析] 由图像可知A＝2，＝－＝，
∴T＝，ω＝＝.
将N(，－2)代入y＝2sin (x＋φ)得，
2sin (×＋φ)＝－2，
∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝－.
求φ值也可以用下面这种方法．
取P(，0)代入y＝2sin (x＋φ)，得
2sin (×＋φ)＝0.
∵＋φ＝kπ，k∈Z.又|φ|<π，
∴φ＝－或φ＝，
而y＝2sin (x＋φ)过(，－2)，∴φ＝－.
∴函数的解析式为y＝2sin (x－)．
20．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin (2x＋)＋a＋1(a为常数)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.
(3)当sin (2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ＋a(a为实常数)．且当x∈时，f(x)的最大值与最小值之和为3.
(1)求实数a的值；
(2)说明函数y＝f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y＝sin x的图像？
[解析] (1)依题意有f(x)＝2sin (2x＋)＋a，
x∈?2x∈?2x＋∈，
∴≤sin (2x＋)≤1，
即，∴2a＋3＝3?a＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)．将函数y＝2sin (2x＋)的图像先向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍(横坐标不变)，便得到函数y＝sin x的图像．
22．(本小题满分12分)已知f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)画出f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求f(x)的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间．
[解析] (1)∵cos x≠0，∴x≠kπ＋(k∈Z)．
∴函数定义域为，关于原点对称，
且f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴此函数为奇函数．
(2)f(x)＝＝
图像如图所示，
(3)T＝2π，单调递增区间为，单调递减区间为，.
第一章 学业质量标准检测(B)
本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．给出下列四种说法，其中正确的有( D )
①－75°是第四象限角； ②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ∵－90°<－75°<0°，
180°<225°<270°，
360°＋90°<475°<360°＋180°，
－360°<－315°<－270°，
∴①②③④都是正确的．故选D．
2．集合M＝{x|x＝sin ，n∈Z}，N＝{x|x＝cos ，n∈Z}，则M∩N等于( C )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{0} D．?
[解析] ∵M＝{x|x＝sin ，n∈Z}＝{－，0，}，
N＝{－1,0,1}，
∴M∩N＝{0}，应选C．
3．函数y＝－sin x，x∈[－，]的简图是( D )
[解析] 用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除选项A、C；又x＝－时，y＝－sin (－)＝1，排除选项B．
4．下列说法中错误的是( C )
A．y＝cos x在(k∈Z)上是减函数
B．y＝cos x在[－π，0]上是增函数
C．y＝cos x在第一象限是减函数
D．y＝sin x和y＝cos x在上都是减函数
[解析] ∵y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
∴在上y＝cos x是减函数，但在第一象限不是减函数．
5．已知角α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] ∵sin >0，cos <0，
∴点(sin ，cos )在第四象限．
又∵tan α＝＝－，
∴α的最小正值为2π－π＝π.
6．下列说法正确的是( C )
A．在(0，)内，sin x>cos x
B．函数y＝2sin (x＋)的图像的一条对称轴方程是x＝
C．函数y＝的最大值为π
D．函数y＝sin 2x的图像可以由函数y＝sin (2x－)的图像向右平移个单位长度得到
[解析] 在(0，)内，当x∈(0，)时，sin x当x＝时，sin x＝cos x；当x∈(，)时，sin x>cos x，故A错．
函数y＝2sin (x＋)的对称轴方程为x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z，经验证x＝不为其对称轴方程，故B错．
易知，当tan 2x最小为0时，C中函数有最大值π，故C对．
由于y＝sin (2x－)＝sin 2(x－)，故y＝sin 2x图像可以由函数y＝sin (2x－)的图像向左平移个单位得到，故D错．
7．设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－
D．ω＝，φ＝
[解析] ∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin (x＋φ)．
∴2sin (×＋φ)＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A．
8．已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 考查正弦型函数的振幅、周期、初相的求法．
由图知＝?T＝π，由＝T?ω＝3.
∴设y＝Acos (3x＋φ)，
当x＝π时，y＝0?3×π＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
φ＝2kπ－，当k＝1时，φ＝－.∴y＝Acos ，
当x＝时，y＝－得－＝A·cos ，
－A＝－?A＝.
∴y＝cos ，
当x＝0时，f(0)＝·cos ＝，∴选B．
9．已知函数f(x)＝sin (x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图像，只要将y＝f(x)的图像( A )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析] 本小题主要考查简单的三角函数的性质和图像．
∵T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin
又∵sin (2x＋)sin
＝sin (2x＋)＝cos 2x
∴ y＝f(x)图像左移个单位即得g(x)＝cos 2x的图像．故选A．
10．对于函数y＝f(x)＝(0A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值
[解析] 令t＝sin x，t∈(0,1]，则y＝1＋，t∈(0,1]是一个减函数，则f(x)只有最小值而无最大值．
另外还可通过y＝1＋，
得出sin x＝，由sin x∈(0,1]也可求．故选B．
11．函数f(x)＝()x－|sin 2x|在[0，]上零点的个数为( C )
A．2 B．4
C．5 D．6
[解析] 分别作出函数y＝()x和y＝|sin 2x|的图像，如图所示．
由图可知，这两个函数图像在[0，π]上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝()x－|sin 2x|在[0，π]上的零点个数为5.
12．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( C )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ](k∈Z)
[解析] 由?x∈R，有f(x)≤|f()|知，当x＝时，f(x)取最值．
∴f()＝sin (＋φ)＝±1，
∴＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ(k∈Z)．
又∵f()>f(π)，∴sin (π＋φ)>sin (2π＋φ)．
∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0，
∴φ取－＋2kπ(k∈Z)．
不妨取φ＝－，则f(x)＝sin (2x－)．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数y＝＋的定义域是__∪[π，4]__.
[解析] 由题意，知2＋logx≥0且tan x≥0，
即
令k＝0,1，可得014．已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意实数R满足：
①f(x)＝f(－x)；②f(－x＋π)＝f(x)，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f(－)＝____.
[解析] ∵f(x)＝f(－x)，且f(－x＋π)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(－x＋π)，
即f(x)的最小正周期为π.
∴f(－)＝f(－－2π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.
15．关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)有以下命题：
①对于任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中假命题的序号是__①④__.
[解析] 当φ＝2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin x是奇函数；
当φ＝(2k＋1)π，k∈Z时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；
当φ＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)＝cos x或φ＝2kπ－，k∈Z时，f(x)＝－cos x都是偶函数．
所以①和④是错误的，③是正确的．
又无论φ为何值都不能使f(x)恒等于零，②正确．
16．关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
(1)y＝f为偶函数；
(2)要得到函数g(x)＝－4sin 2x的图像，只需将f(x)的图像向右平移个单位长度；
(3)y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称；
(4)y＝f(x)在[0,2π]内的增区间为和.其中正确命题的序号为__(2)(3)__.
[解析] (1)f＝4sin ＝4sin ，所以y＝f不是偶函数，所以(1)不正确；(2)把函数f(x)＝4sin 的图像向右平移个单位长度，得到函数f1(x)＝4sin ＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x＝g(x)的图像，所以(2)正确；(3)当x＝－时，f(x)取得最小值，所以(3)正确；(4)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z，代入k＝0,1，可知(4)错误．故选(2)(3)．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求函数y＝的定义域．
[解析] 由题意得
?
?
所以该函数的定义域为[kπ＋，kπ＋)∪(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
18．(本小题满分12分)已知y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求函数y＝－4asin (3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；
(2)判断函数y＝－4asin (3bx)的奇偶性．
[解析] (1)∵y＝a－bcos 3x，b>0，
∴解得
∴函数y＝－4asin (3bx)＝－2sin 3x.
此函数的周期T＝.
当x＝＋(k∈Z)时，函数取得最小值－2；
当x＝－(k∈Z)时，函数取得最大值2.
(2)∵y＝f(x)＝－2sin 3x，x∈R，
∴f(－x)＝－2sin (－3x)＝2sin 3x＝－f(x)．
∴函数y＝－2sin 3x为奇函数．
19．(本小题满分12分)设f(x)＝2cos (2x＋)＋3.
(1)求f(x)的最大值及单调递减区间．
(2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tan α的值．
[解析] (1)f(x)的最大值为2＋3.
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，
∴函数f(x)的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由f(α)＝3－2，得2cos (2α＋)＋3＝3－2，故cos (2α＋)＝－1.
又由0<α<，得<2α＋<π＋，
故2α＋＝π.解得α＝π.
从而tan α＝tan ＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的图像如图所示，求直线y＝与函数f(x)图像的所有交点的坐标．
[解析] 由图可知，函数f(x)的A＝2，T＝＝4π，
∴ω＝，
此时f(x)＝2sin ，又f＝2，
得sin ＝1，∴φ＝2nπ＋，n∈Z，
∴f(x)＝2sin ，
即f(x)＝2sin
当f(x)＝，即2sin ＝，
即sin ＝
∴x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z
∴x＝4kπ＋或x＝4kπ＋，k∈Z
∴所求交点的坐标为或，其中k∈Z.
21．(本小题满分12分)
函数f1(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．
[解析] (1)由题图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝Asin 2x的图像向左平移，
得y＝Asin (2x＋φ)的图像，于是φ＝2×＝.
将(0,1)代入y＝Asin ，得A＝2.
故f1(x)＝2sin .
(2)依题意，f2(x)＝2sin
＝－2cos .
∴y＝f2(x)的最大值为2.
当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2，
x的取值集合为.
∵y＝cos x的减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f2(x)＝－2cos (2x＋)的增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π，
由T＝，得ω＝1，又，
解得，令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，∴f(x)＝2sin (x－)＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin (kx－)＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，
∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，
如图，sin t＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3]，即实数m的取值范围是[＋1,3]．
