第一章 §2
A级 基础巩固
一、选择题
1．与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)( B )
A．k·360°＋220° B．k·360°＋240°
C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°
[解析] 与600°终边相同的角α＝k·360°＋600°＝k·360°＋360°＋240°＝(k＋1)·360°＋240°，k∈Z.∴选B．
2．已知α为第三象限角，则所在的象限是( D )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
[解析] 由k·360°＋180°<α当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．
3．已知S＝{α|α＝k·360°－175°，k∈Z}，则集合S中落在－360°～360°间的角是( C )
A．185° B．－175°
C．185°，－175° D．175°，－175°
[解析] k＝1,0时，α＝185°，－175°.
4．下列说法中正确的是( C )
A．第一象限角一定不是负角
B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的角一定相等
[解析] －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角、360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．
5．终边在坐标轴上的角的集合是( C )
A．{φ|φ＝k·360°，k∈Z}
B．{φ|φ＝k·180°，k∈Z}
C．{φ|φ＝k·90°，k∈Z}
D．{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}
[解析] 终边落在x轴上的角的集合S1＝{x|x＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角的集合S2＝{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}，
于是，终边落在坐标轴上的角的集合S＝S1∪S2
＝{x|x＝k·180°，k∈Z}∪{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{x|x＝2k·90°，k∈Z}∪{x|x＝(2k＋1)·90°，k∈Z}
＝{x|x＝n·90°，n∈Z}．
6．在四个角－20°，－400°，－2000°，600°中，第四象限的角的个数是( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] －20°是第四象限的角；
－400°＝－360°－40°与－40°角的终边相同，是第四象限的角；
－2000°＝－6×360°＋160°与160°角的终边相同，是第二象限的角；
600°＝360°＋240°与240°角的终边相同，是第三象限的角．
二、填空题
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝__{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z})__.
[解析] 点P在y轴的负半轴上，又270°的终边是y轴的负半轴，则S＝{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}．
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝__k·360°＋60°，k∈Z__.
[解析] 先求出β的一个角为α＋180°＝60°.
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.
三、解答题
9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
[解析] 与530°终边相同的角为k×360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°10．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析] ①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3.
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；
60°＋3×180°＝600°.
B级 素养提升
一、选择题
1．若φ是第一象限角，那么和90°－φ都不是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] ∵φ是第一象限角，∴k·360°<φ2．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( B )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
[解析] 特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，
∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，
即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
3．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
[解析] 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.
∴180°k<α<180°k＋90°，k∈Z，故选C．
4．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( D )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
[解析] ∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，
β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，
∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．
二、填空题
5．与－500°角的终边相同的最小正角是__220°__，最大负角是__－140°__。
[解析] 与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时a＝－140°为最大负角．
6．已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界)，那么角α的集合是__{α|k·180°＋45°<α[解析] 当角的终边在一，三象限角平分线上时α1＝k·360°＋45°，α2＝k·360°＋180°＋45°，而α1＝2k·180°＋45°，α2＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z，∴α1，α2表示为α＝n·180°＋45°，n∈Z，同理角的终边在二，四象限角平分线上时，β＝n·180°＋135°，n∈Z.∴角α的范围为{α|k·180°＋45°<α三、解答题
7．(1)写出与－1840°角终边相同的角的集合M；
(2)把－1840°角写成k·360°＋α(0°≤α<360°)的形式，并指出其是第几象限角；
(3)若角α∈M且α∈(－360°，0°)，求角α.
[解析] (1)由终边相同的角的概念得：
M＝{β|β＝k·360°＋(－1840°)，k∈Z}
＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}．
或M＝{θ|θ＝k·360°－40°，k∈Z}．
(2)∵－1840°＝－6×360°＋320°，
而320°是第四象限角，∴－1840°是第四象限角．
(3)M＝{θ|θ＝k·360°＋320°，k∈Z}，
又α∈M且－360°<α<0°，
∴取k＝－1得，α＝－40°.
8．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是该集合中的角．
[解析] 由图可知，满足条件的角α的集合为{α|120°＋k·360°≤α≤250°＋k·360°，k∈Z}，
∵－950°＝－3×360°＋130°，∴－950°是该集合中的角．
C级 能力拔高
集合M＝{x|x＝±45°，k∈Z}，P＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M，P之间的关系为__M?P__.
[解析] 对集合M来说，x＝(2k±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)×45°，即45°的倍数．
课件45张PPT。第一章三角函数§2 角的概念的推广自主预习学案
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身的动作中转过的角度吗？1．角的概念
角可以看成平面内___________绕着_______从一个位置_______到另一个位置所形成的图形．一条射线 端点 旋转 2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转 3．象限角、坐标轴上的角
使角的顶点与_______重合，角的始边与________________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
4．终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：____________________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的_______倍的和．原点 x轴的非负半轴 S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数 [知识点拨]1.(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．2．理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．1．下列说法错误的是( )
A．按逆时针方向旋转所成的角是正角
B．按顺时针方向旋转所成的角是负角
C．没有作任何旋转所成的角是零角
D．终边和始边相同的角是零角
[解析] 选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角．D 2．下列命题中正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角的终边一定不相同
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
[解析] 90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角，故A错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B错；390°角和30°角不相等，但终边相同，故C不正确；对于D，由终边相同的角的概念可知正确．D 3．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ①②③正确，④错误．C 4．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角有_____________.
[解析] 因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．－160°，200° 5．若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了_____度，分针转了_______度．5 60 互动探究学案命题方向1 ?角的有关概念与表示典例 1 D [思路分析] 从角的概念入手．“第一象限角”是终边落在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0°而小于90°的角；“小于90°的角”除了锐角外，还有零角和所有负角．
[解析] M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，
N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°}，故选D．『规律总结』 (1)要区分清易混的概念．如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90°的角是{θ|θ<90°}，显然包括锐角、零角、负角．〔跟踪练习1〕判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)第一象限的角都是锐角．( )
(2)终边相同的角一定相等．( )
(3)第四象限角可以是负角．( )
(4)三角形的内角必是第一、二象限的角．( )
(5)－435°是第三象限角．( )× × √ × × 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角，且指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420° (2)－75° (3)855° (4)－510°
[思路分析] 将已知角化成α＋k·360°(k∈Z)，其中0°≤α<360°，再判断α所处的象限．命题方向2 ?终边相同的角典例 2 『规律总结』 象限角的判定有两种方法：一是根据图像，二是将角转化到0°～360°范围内，利用图像实际操作时，依据的还是终边相同的角的思想．〔跟踪练习2〕在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)240° (2)300° (3)390° (4)480°.
[解析] 在直角坐标系中，作出以上各角，如下所示．
由图可知：(1)240°角是第三象限角；(2)300°角是第四象限角；(3)390°角是第一象限角；(4)480°角是第二象限角． 如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
[思路分析] 观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．命题方向3 ?区域角及其求法典例 3 [解析] (1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．
∴图①阴影部分中角的集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．
∴所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．
∴图③阴影部分中角的集合为
S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．『规律总结』 数形结合是表示区域角的一种重要方法：首先应按逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k×360°(k∈Z)；若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．〔跟踪练习3〕如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k×360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分是由介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k×360°≤α≤135°＋k×360°，k∈Z}．分角、倍角所在角限的判断思路 [思路分析] 解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法．
[解析] ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，
故－α是第四象限角．
(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．典例 4
B 已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系正确的是( )
[错解] ∵k＝0时，集合A中角α＝±45°，集合B中角β＝45°，∴B?A，故选B．集合概念理解错误 典例 5 [辨析] 错解对集合概念理解错误．应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决．
[正解] C 当k为偶数时，集合A中角α的终边为一、四象限角的平分线，当k为奇数时，集合A中角α的终边为二、三象限角的平分线，角α的终边如图所示，故可以表示为k·90°＋45°，∴A＝B，故选C．『规律总结』 (1)可直接用列举法A＝{…－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，B＝{…－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，∴A＝B.
(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°得，n＝2k或n＝2k－1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B.〔跟踪练习5〕已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α[解析] 如下图所示，A∩B中的角的始边和终边对应30°和45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<αA．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．C 2．－215°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．B 3．下列各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3000°，－840°
4．若α是第三象限角，则－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 令α＝－120°是第三象限角，则－α＝120°是第二象限角．B B 5．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
[解析] 如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z，故选C．C 课时作业学案
