第一章 §5
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列两种说法：①y＝sin x在[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是增加的；②y＝sin x在第一象限内是增加的( B )
A．均正确 B．①正确、②不正确
C．②正确、①不正确 D．都不正确
[解析] 单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也相差2π的整数倍．
2．下列函数具有奇偶性的是( C )
A．y＝sin x(x>0) B．y＝2sin x(x<0)
C．y＝sin (x≠0) D．y＝
[解析] 对于选项A，定义域为(0，＋∞)，函数图像不关于原点对称．
对于选项B，定义域为(－∞，0)，函数图像也不关于原点对称．
对于选项C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，并且f(－x)＝sin (－)＝－sin ＝－f(x)，所以为奇函数．
对于选项D，定义域不关于原点对称．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与y＝交点的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如图，y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与y＝的图像有两个交点．
4．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( C )
A．(－，) B．(，)
C．(π，) D．(，2π)
[解析] 画出y＝|sin x|的图像即可解决．借助图像不难看出C符合题意．
5．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 由图像得：
x的取值范围是[，π]．
6．点M(，b)在函数y＝sin x＋1的图像上，则b等于( C )
A． B．
C．2 D．3
[解析] b＝f()＝sin ＋1＝2.
二、填空题
7．函数y＝sin 2x－2sin x的值域是__[－1,3]__.
[解析] y＝(sin x－1)2－1，∵－1≤sin x≤1，
∴－2≤sin x－1<1，
∴0≤(sin x－1)2≤4，可得－1≤y≤3.
8．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
[解析] ∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
三、解答题
9．比较大小：
(1)sin 与sin ；
(2)sin (－320°)与sin 700°.
[解析] (1)∵sin ＝sin (π－)＝sin ，
0<<<，y＝sin x在(0，)上是增加的，
∴sin (2)∵sin (－320°)＝sin (－360°＋40°)＝sin 40°，
sin 700°＝sin (720°－20°)＝sin (－20°)．
又函数y＝sin x在[－，]上是增加的，
∴sin 40°>sin (－20°)，即sin (－320°)>sin 700°.
10．求函数f(x)＝2sin 2x＋2sin x－，x∈的值域．
[解析] 令t＝sin x，因为x∈，
所以≤sin x≤1，即≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－＝2(t＋)2－1，t∈[，1]，且该函数在[，1]上单调递增．
∴f(x)最小值为f()＝1，最大值为f(1)＝.
∴f(x)的值域为.
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝的定义域为( B )
A．R B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1] D．{x|x≠0}
[解析] 由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故选B．
2．函数y＝|sin x|的图像( B )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称
[解析] y＝|sin x|
＝k∈Z，
其图像如图：
二、填空题
3．若sin x＝2m＋1，则m的取值范围是__{m|－1≤m≤0}__.
[解析] 由－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
4．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是____.
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图像，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图像位于函数y＝的图像上方，此时有－5．函数y＝lg(3－4sin 2x)的定义域是__，k∈Z__.
[解析] 3－4sin 2x>0，解得－∴x∈，k∈Z.
6．下列说法正确的有__①③__(只填序号)．
①y＝|sin x|的定义域为R；
②y＝3sin x＋1的最小值为1；
③y＝－sin x为奇函数；
④y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈R)．
[解析] 对于②，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.故②④错，选①③.
三、解答题
7．已知函数y＝sin (－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
[解析] y＝sin (－2x)可化为y＝－sin (2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin (－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin (－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
8．求函数y＝log2(2sin x－)＋的定义域．
[解析] 为使函数有意义，x需满足即如图所示，
原函数的定义域为，k∈Z.
C级 能力拔高
已知函数f(x)＝|sin x－a|，a∈R.
(1)试讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)求当f(x)取得最大值时，自变量x的取值范围．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)当a>0且sin x＝－1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为{x|x＝2kπ－，k∈Z}；
当a<0且sin x＝1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}；
当a＝0且sin x＝±1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
课件44张PPT。第一章三角函数§5 正弦函数的图像与性质自主预习学案
将塑料布扎一个小孔，做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，看到纸板上形成一条曲线，本节我们就学习与此曲线有关的正弦函数曲线．1．正弦线及五点法
(1)正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称_____为角α的正弦线．P叫正弦线的_______.MP 终点 (2)五点法
用“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的五个点是_________、__________、__________、_____________、___________.它们是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最小值的点．(0,0) (π，0) (2π，0) 2．正弦函数的图像和性质R [－1,1] 2π 奇 A B 3．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
[解析] 由sin (－x)－|a|＝－sin x＋|a|，得|a|＝0，故a＝0.A B 互动探究学案 利用“五点法”画函数y＝－sin x－1(0≤x≤2π)的图像．
[思路分析] 按取值、列表、描点、连线的步骤依次完成即可．命题方向1 ?正弦函数的图像典例 1 『规律总结』 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取5个点)，分别找到函数图像的最高点、最低点及“平衡点”．因为这五个点大致确定了函数图像的位置与形状，因此就可以迅速地画出函数的简图．画图时，注意曲线要平滑、具有对称美、凹凸方向要正确，即“平衡位置”上方的上凸，“平衡位置”下方的下凸．〔跟踪练习1〕用五点法作出函数y＝|sin x|在区间[0,2π]上的简图．命题方向2 ?正弦函数单调性的应用典例 2 〔跟踪练习2〕下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°[解析] sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，由于正弦函数y＝sin x在区间[0°，90°]上为增函数，所以sin 11°a(或cos x>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sin x(或y＝cos x)的图像．
(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．
2．利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x＝a(或cos x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 方程sin x＝lgx的实根个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sin x与y＝lgx的图像，有且只有1个公共点，故选A．利用正弦函数、余弦函数图像判断方程根的个数 典例 5 [错因分析] 作y＝lgx图像时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．
[思路分析] 画出y＝sin x的图像后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．
[正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lgx的图像．由图中可以看出两函数图像有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sin x＝lgx的解．[点评] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图像，利用数形结合求解．D C 2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图像关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图像，可知它们关于x轴对称．A B 4．用“五点法”作出下列函数的简图：y＝－sin x(0≤x≤2π)．课时作业学案
