第一章 §6
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝cos x(0≤x≤)的值域是( B )
A．[－1,1] B．[，1]
C．[0，] D．[－1,0]
[解析] ∵函数y＝cos x在[0，]上是减少的，
∴函数的值域为[cos ，cos 0]，即[，1]．
2．在区间(0，)上，下列函数是增函数的是( D )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D．
3．函数y＝sin (2x＋π)的一个对称中心是( B )
A．(，0) B．(，0)
C．(－，0) D．(，0)
[解析] 对称中心为曲线与x轴的交点，将四个点带入验证，只有(，0)符合要求，故选B．
4．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为( D )
[解析] y＝cos x＋|cos x|
＝，故选D．
5．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( C )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[解析] 在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cos x的图像，如图所示．
发现有2个交点，所以方程|x|＝cos x有2个根．
6．已知函数f(x)＝sin (πx－)－1，则下列命题正确的是( B )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
[解析] 由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，
再f(x)＝sin (πx－)－1＝－cos πx－1，
∴f(－x)＝－cos (－πx)－1＝－cos πx－1＝f(x)．
二、填空题
7．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增加的，则a的取值范围是__(－π，0]__.
[解析] ∵y＝cos x在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π
8．函数y＝的减区间为__[2kπ－π，2kπ－](k∈Z)__.
[解析] 由已知得1－2cos x≥0，∴cos x≤，因此y＝的减区间即为y＝cos x的增区间且cos x≤，所以所求区间为：[2kπ－π，2kπ－](k∈Z)．
三、解答题
9．利用余弦函数的单调性，比较cos (－)与cos (－)的大小．
[解析] cos (－)＝cos ＝cos ，
cos (－)＝cos ＝cos .
因为0<<<π，且函数y＝cos x，x∈[0，π]是减函数，所以cos >cos ，
即cos (－)10．若函数f(x)＝a－bsin x的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acos bx的最值和周期．
[解析] (1)当b>0时，若sin x＝－1，f(x)max＝；
若sin x＝1，f(x)min＝－，
即解得
此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cos x.
(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．
(3)当b<0时，显然有
解得符合题意．
所以y＝1－cos (－x)＝1－cos x.
综上可知，函数y＝1－cos x的最大值为，最小值为，周期为2π.
B级 素养提升
一、选择题
1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( D )
A．cos 0B．cos 0C．cos 0>cos >cos 1>cos 30°>cos π
D．cos 0>cos >cos 30°>cos 1>cos π
[解析] 在[0，]上，0<<<1，又余弦函数在[0，]上是减少的，所以cos 0>cos >cos >cos 1>0.
又cos π<0，所以cos 0>cos >cos >cos 1>cos π.
2．函数f(x)＝－xcos x的部分图像是( D )
[解析] 由f(x)＝－xcos x是奇函数，可排除A，C．令x＝，则f()＝－cos ＝－<0.故答案选D．
3．函数y＝lncos x(－[解析] 当x∈(－，)时，cos x∈(0,1]，∴lncos x≤0，
由此可排除B，C，D，故选A．
二、填空题
4．函数y＝的值域是____.
[解析] ∵y－ycos x＝1，
∴y－1＝ycos x，cos x＝，∴≤1，
解得y≥，值域为
5．若cos x＝，且x∈R，则m的取值范围是__(－∞，－3]∪__.
[解析] ∵＝|cos x|≤1，
∴|2m－1|≤|3m＋2|.
∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－.
∴m∈(－∞，－3]∪.
6．函数y＝cos x的递增区间是__[2kπ，2kπ＋)(k∈Z)__.
[解析] 由题知cos x>0，x∈(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z.
又令t＝cos x，y＝t，则t＝cos x的减区间即为y＝cos x的增区间．
∴x∈[2kπ，2kπ＋)(k∈Z)．
三、解答题
7．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos x；(2)y＝cos (＋)．
[解析] (1)由2kπ－π≤x≤2kπ，得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)．
又由2kπ≤x≤2kπ＋π，得4kπ≤x≤4kπ＋2π(k∈Z)．
∴函数y＝cos x的递增区间为[4kπ－2π，4kπ](k∈Z)，递减区间为[4kπ，4kπ＋2π](k∈Z)．
(2)令2kπ－π≤＋≤2kπ，则6kπ－≤x≤6kπ－(k∈Z)，令2kπ≤＋≤2kπ＋π，
则6kπ－≤x≤6kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝cos (＋)的递增区间是[6kπ－，6kπ－](k∈Z)，
递减区间是[6kπ－，6kπ＋](k∈Z)．
8．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(2sin x－1)．
[解析] (1)要使y＝有意义，需有
cos (sin x)≥0，
又∵－1≤sin x≤1，而y＝cos x在[－1,1]上满足cos x>0，∴x∈R.
∴y＝的定义域为R.
(2)要使函数有意义，只要
即
由下图可得
cos x≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．sin x>的解集为{x|＋2kπC级 能力拔高
函数f(x)＝－＋acos x－cos 2x(0≤x≤)的最大值为2，求实数a的值．
[解析] 令t＝cos x，由0≤x≤，知0≤cos x≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－2＋＋－，t∈[0,1]．
(1)若≤0，即a≤0时，当t＝0时，
ymax＝－＝2，解得a＝－6.
(2)若0<<1，即0ymax＝＋－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．
(3)若≥1，即a≥2时，当t＝1时，
ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝.
综上所述，可知a＝－6或.
课件43张PPT。第一章三角函数§6 余弦函数的图像与性质自主预习学案
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔——上弦——望——下弦——朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？1．余弦函数的图像
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x_______________单位长度得到．
(2)余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作___________.图像如下：余弦曲线 (3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是_________、_________、__________、___________、___________. (0,1) (π，－1) (2π，1) 2．余弦函数的性质R [－1,1] 2kπ 1 (2k＋1)π －1 2π [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π] 偶 y x＝kπ(k∈Z) D [解析] 函数y＝1－cos x是偶函数，其图像关于y轴对称．B A (2k＋1)π(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 互动探究学案 用“五点法”画函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路分析] 运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键．命题方向1 ?用“五点法”作图典例 1 『规律总结』 “五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到．〔跟踪练习1〕用五点法作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图像．描点得y＝3＋2cos x在一个周期内的图像(如图所示)： 求下列函数的定义域．命题方向2 ?求余弦函数的定义域典例 2 『规律总结』 前面学习的求函数定义域的方法对余弦函数仍然适用．在此特别强调，要充分利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集． 下列函数的最大值及最小值：
命题方向3 ?求函数的值域(最值)典例 3 [思路分析] 对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．
[解析] (1)∵－1≤cos x≤1，
又∵一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，
∴当cos x＝－1时，ymax＝4，
当cos x＝1时，ymin＝－2.『规律总结』 形如y＝acos 2x＋bcos x＋c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题． 求下列函数的单调区间．
(1)y＝3cos x＋1； (2)y＝cos 2x.
[思路分析] 根据y＝cos x的单调区间求．
[解析] (1)画出函数y＝3cos x＋1的简图(略)，可知y＝3cos x＋1的单调区间与y＝cos x的单调区间相同，即单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.函数的单调性 典例 4 『规律总结』 求形如y＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答．列不等式的原则是：把“ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体，代入y＝cos x的单调区间的范围内，求出x的范围即为对应的单调区间．B 下列说法中错误的是( )正余弦函数性质混淆导致出错 典例 5 [错解] A或C或D
[辨析] 正弦函数与余弦函数都是周期函数，最小正周期都是2π，因而左、右平移2π个单位长度图像都不变的也可能是余弦函数，因而B是错误的．
[正解] BC A 2．不等式cos x>0，x∈[0,2π]的解集是________________________.5．函数y＝cos 2x－6cos x＋10的值域为_______________.
[解析] 令t＝cos x，
由于x∈R，故－1≤t≤1.
y＝t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值17；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值5.
所以该函数的值域是[5,17]． [5,17] 课时作业学案