第一章 §3
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是( B )
A．＝90 B．＝10°
C．3°＝ D．38°＝
2．2145°转化为弧度数为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 2145°＝2145× rad＝π rad.
3．下列各式不正确的是( C )
A．－210°＝－ B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
4．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵－1035°＝45°－3×360°.
∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．
又45°＝，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是.
5．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2 B．sin 2
C． D．2sin 1
[解析] r＝，∴l＝|α|r＝.
6．半径为2 cm，圆心角为的扇形面积为( C )
A． cm2 B． cm2
C． cm2 D． cm2
[解析] 由于l＝r·α＝2×＝ (cm)，
所以扇形的面积为：
S＝lr＝··2＝( cm2)，故选C．
二、填空题
7．(1)300°化为弧度是____；
(2)－化为度是__－150°__；
(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是__{α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}__.
[解析] (1)(2)考查角度与弧度的互化.
(3)考查终边相同角的写法．
(1)300°＝300×＝.
(2)－π＝－×＝－150°.
(3)用集合表示时，不要漏掉k∈Z.
8．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝__47m__.(精确到1m)．
[解析] 根据弧长公式，l＝αR
＝×45≈47(m)．
三、解答题
9．设集合A＝{x|2kπ＋[解析] 由1<<2,5<<6知，为求A∩B只需画出下图所示的数轴．
由数轴可知：
A∩B＝[－4，－)∪(，4]．
10．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积．
[解析] 弧长l＝αr＝π×6＝4π，
∵OA＝OB＝6，∴AB＝6，圆心到AB的距离为d＝3.
∴弓形面积S＝S扇形－S△ABC＝×π×62－×6×3＝12π－9.
B级 素养提升
一、选择题
1．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( B )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变．
2．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
3．下列表述中不正确的是( D )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．
4．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( B )
A．5 B．2
C．3 D．4
[解析] 设扇形的半径为r，圆心角为α，由题意得2r＋α·r＝α·r2，∴r＝2＋.
∵0<α<2π，∴>.
从而r＝2＋>2＋＝2＋>2，∴r不可能为2.
二、填空题
5．已知α＝1690°.
(1)把α写成2kπ＋β(其中k∈Z)，β∈[0,2π)的形式为__4×2π＋__；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝__－π__.
[解析] (1)由已知，α＝1690°＝1440°＋250°＝8π＋，所以α＝4×2π＋；
(2)依题意，有θ＝2kπ＋(k∈Z)，
由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2kπ＋<－2π.
又k∈Z，所以k＝－2，所以θ＝－π.
6．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是__2__.
[解析] 设圆半径为R，则圆的外切正三角形的边长为2R，∴l＝2R，∴圆心角θ＝＝＝2.
三、解答题
7．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，求α的值．
[解析] 设角的终边为直线OA，OA关于直线y＝x对称的直线为OB，则以OB为终边的角的集合为.
∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，
∴－∴α的值为－，－，，.
8．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解析] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转
π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
C级 能力拔高
如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1min转过θ(0<θ<π)角，2min到达第三象限，14min后回到原来的位置，求θ.
[解析] 点A经过2min转过2 θ，且π<2θ<，14min后回到原位，
∴14θ＝2kπ(k∈Z)，θ＝，且<θ<π，∴θ＝π或π.
课件45张PPT。第一章三角函数§3 弧度制自主预习学案
节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为1节，用代号“kn”表示．国际上承认的标准海里是1852米，我国也承认这个标准，海里的代号为“M”．而汽车的时速单位是千米/时，用代号“km/h”表示．由此看来，同样是速度问题，有两种不同的单位计量方法．那么数学中的角，是否也有多种不同的度量制呢？学完本节内容你就明白了．1弧度的角 rad 弧度 2π 180° 1 3．弧度数公式
一般地，任一正角的弧度数都是一个_______；任一负角的弧度数都是一个_______；零角的弧度数是_____.设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度数通常也用α来表示，由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满足：|α|＝_____，即l＝_________.
这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积．正数 负数 0 |α|r (2)角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.A 2．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限C D 72° 5．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为_________.互动探究学案 下列命题中，正确的命题是_________.命题方向1 ?弧度制的概念典例 1 ①③④ [思路分析] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．『规律总结』 弧度与角度的概念的区别与联系
〔跟踪练习1〕下列叙述中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度等于半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位
[解析] 根据弧度定义知选D．D 命题方向2 ?弧度与角度的互化典例 2 『规律总结』 弧度制与角度制都可以表示角，应用时要注意统一，不要混用． 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
[思路分析] 先把角度化成弧度，然后分析边界角的大小，写出阴影区域的不等式关系，最后写成集合的形式．命题方向3 ?用弧度制表示角的集合典例 3 『规律总结』 解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界． (1)已知在圆中，1rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长；
(2)扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求它的圆心角和弦AB的长．
[思路分析] 先由题意画图，再根据半径、弦心距以及弦的一半构成的直角三角形求解．弧长公式与面积公式的应用 典例 4
〔跟踪练习4〕已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使该扇形的面积最大？最大面积是多少？ 将－1125°化成2kπ＋α(k∈Z)的形式，且使|α|最小．
[错解] ∵－1125°＝－45°－1080°，
∴－1125°＝－6π－45°.角度和弧度混用致错 典例 5 D 1．在不等圆中1rad的圆心角所对的是( )
A．弦长相等 B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径
[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．D B C 4．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为_________平方步．120 课时作业学案
