课件30张PPT。第17练
概率、随机变量及其分布列 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 古典概型与几何概型要点重组 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.
(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.1.(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，
随机选取两个不同的数，共有 ＝45(种)情况，
而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，√ 2.(2019·唐山模拟)将甲、乙等6名同学平均分成正方、反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为√ 3.(2019·临沂模拟)赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，如图，设AB∶BC＝1∶3，若向弦图内随机抛掷5 000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为
A.134 B.67 C.200 D.250√ 解析 设AB＝1，BC＝3，则正方形边长为5，4.(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出
的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，
则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，
其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，题组二 互斥事件、相互独立事件的概率要点重组 (1)条件概率：
在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝ .
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B).
(3)求复杂事件的概率：将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
(4)①注意辨别独立重复试验的基本特征：?在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；?在每次试验中，事件发生的概率相同.5.把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于√ 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，√ 7.(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.0.18解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，
则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，
前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为 ，用ξ表示5位乘客在第
20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，题组三 离散型随机变量的期望与方差要点重组 (1)期望公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
期望性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
(2)方差公式：D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn.
方差性质：D(aX＋b)＝a2D(X)；若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).9.(2019·浙江)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时，
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大√ 所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大.10.(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3√ 解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，
即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.12.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放
回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的期望是________.解析 当X＝k时，第k次取出的必然是红球，而前k－1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，易错易混练1.2017年7月初，国家主席习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间，俄罗斯某电视台记者在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名大学生会说汉语，若从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为√易错提醒 本题的易错点为分不清“有序”与“无序”，搞混排列数公式与组合数公式的应用.一般地，从n个元素中抽取m个元素，这是“无序”问题，用组合数公式；从n个元素中抽取m个元素，且对m个元素按照一定顺序排列，这是“有序”问题，用排列数公式.2.已知正六边形ABCDEF的边长为1，若在其内部随机取一点M，则使△MAB的面积
大于 的概率为________.解析 如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，易错提醒 求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算.1.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪袅、上造、公士各选一人，这5个人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为押题冲刺练123456√123456√1234563.有一种鱼苗的雌体，放生后成活的概率为0.8，放生后能成熟繁殖的概率为0.6，若在一批此种鱼苗放生成活后的雌体中任取一条，则其能成熟繁殖的概率为
A.0.75 B.0.25 C.0.48 D.0.6√解析 设鱼苗的雌体放生后成活为事件A，能成熟繁殖为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，1234564.已知随机变量X服从正态分布N(5,16)，则P(－7(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A.0.975 9 B.0.840 1 C.0.977 2 D.0.841 3√1234565.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为√123456解析 由题意可知1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字且直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，即1和2同时出现则停止摸球，恰好第三次就停止摸球，可分为如下两种情况：
若第三次摸到1，则第一次或第二次会摸到2，但前两次不会同时摸到1和2；
若第三次摸到2，则第一次或第二次会摸到1，但前两次不会同时摸到1和2，
由18组随机数可知，满足上述条件的随机数为142,112,241,142，1234566.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是___________.解析 设半圆的半径为2，则长方形的宽为2，长为4，长方形的面积为2×4＝8.在阴影中作如图所示的辅助线， 本课结束 第17练 概率、随机变量及其分布列[小题提速练]
题组一 古典概型与几何概型
要点重组 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
1．(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.
2．(2019·唐山模拟)将甲、乙等6名同学平均分成正方、反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将6名同学平均分成两组的分法有＝10(种)，甲、乙在同一组的分法有CC＝4(种)，∴甲、乙不在同一组的概率为＝.
3.(2019·临沂模拟)赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，如图，设AB∶BC＝1∶3，若向弦图内随机抛掷5 000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A．134 B．67 C．200 D．250
答案 C
解析 设AB＝1，BC＝3，则正方形边长为5，所以落在小正方形内的米粒数为×5 000＝200.
4．(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
答案
解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为.
题组二 互斥事件、相互独立事件的概率
要点重组 (1)条件概率：
在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝.
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)求复杂事件的概率：将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
(4)①注意辨别独立重复试验的基本特征：?在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；?在每次试验中，事件发生的概率相同．
②牢记公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．
5．把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
6．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，
则P()＝P()＝，∴P(A)＝.
7．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案 0.18
解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
8．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.
答案
解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，
即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故P(ξ＝4)＝C4×1＝.
题组三 离散型随机变量的期望与方差
要点重组 (1)期望公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
期望性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
(2)方差公式：D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn.
方差性质：D(aX＋b)＝a2D(X)；若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
9．(2019·浙江)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
则当a在(0,1)内增大时，( )
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
答案 D
解析 由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝
，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．
10．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案 B
解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)所以Cp4(1－p)60.5，
所以p＝0.6.
11．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案 1.96
解析 由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
12．不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的期望是________．
答案
解析 当X＝k时，第k次取出的必然是红球，而前k－1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故P(X＝k)＝＝，于是得到X的分布列为
X
2
3
4
5
6
7
P
故E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝.
1．2017年7月初，国家主席习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热．在此期间，俄罗斯某电视台记者在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名大学生会说汉语，若从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 从7人中任意选取2人共有C＝21(种)情况，其中2人都会说汉语的共有C＝3(种)情况，故所求概率为＝.
易错提醒 本题的易错点为分不清“有序”与“无序”，搞混排列数公式与组合数公式的应用．一般地，从n个元素中抽取m个元素，这是“无序”问题，用组合数公式；从n个元素中抽取m个元素，且对m个元素按照一定顺序排列，这是“有序”问题，用排列数公式．
2．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若在其内部随机取一点M，则使△MAB的面积大于的概率为________．
答案
解析 如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴正六边形的中心O到边AB的距离为，
∴要使△MAB的面积大于，则M应落在区域CDEF内，由测度比为面积比得使△MAB的面积大于的概率为.
易错提醒 求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算．
1．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪袅、上造、公士各选一人，这5个人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将5人分成两组派去两地执行公务的所有可能方法有CCA＝20(种)，而大夫、不更恰好在同一组的可能结果有(C＋C)A＝8(种)，故所求概率为＝.
2．在区间[2,8]上任取一个实数x0，能满足“?a，b∈(0，＋∞)，(a＋b)≥x0”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，所以满足题意的x0位于区间[2,3＋2]上，故所求概率为＝.
3．有一种鱼苗的雌体，放生后成活的概率为0.8，放生后能成熟繁殖的概率为0.6，若在一批此种鱼苗放生成活后的雌体中任取一条，则其能成熟繁殖的概率为( )
A．0.75 B．0.25 C．0.48 D．0.6
答案 A
解析 设鱼苗的雌体放生后成活为事件A，能成熟繁殖为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，故P(B|A)＝＝＝0.75.
4．已知随机变量X服从正态分布N(5,16)，则P(－7(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．0.975 9 B．0.840 1 C．0.977 2 D．0.841 3
答案 A
解析 结合正态分布曲线可知P(－75．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可知1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字且直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，即1和2同时出现则停止摸球，恰好第三次就停止摸球，可分为如下两种情况：
若第三次摸到1，则第一次或第二次会摸到2，但前两次不会同时摸到1和2；若第三次摸到2，则第一次或第二次会摸到1，但前两次不会同时摸到1和2，由18组随机数可知，满足上述条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率P＝＝.
6.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
答案 －
解析 设半圆的半径为2，则长方形的宽为2，长为4，长方形的面积为2×4＝8.在阴影中作如图所示的辅助线，则易知
S阴影＝2＝－2.所以此点取自阴影部分的概率是＝－.
