课件55张PPT。第19练
概率与统计的综合问题 [大题突破练]题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 随机变量的分布列、期望与方差要点重组 (1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.
(2)如果随机变量X能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解.1.(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；所以，随机变量X的分布列为解 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，
且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})
＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)
＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)2.甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数)的分布列如下：(1)求p，q的值；(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；解 记事件C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，
事件D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，
则四次射击中恰有三次命中9环为事件C＋D，(3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解 ξ的取值分别为0,1,2，∴ξ的分布列如下表：题组二 利用期望与方差破解决策性问题要点重组 利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量x的期望的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器性能好坏等很多指标都与两个特征量有关.3.(2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；解 由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490(元).②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解 若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.
由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验.4.(2019·北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；解 由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生共有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人).(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；解 X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，所以X的分布列为故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.解 记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”.
假设样本仅使用A的学生，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.题组三 随机变量的分布列、期望与回归分析、独立性检验交汇问题要点重组 (1)会依据表格及公式，求线性回归方程、独立性检验中的参数值，注意不要代错公式.
(2)该部分往往与实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.5.(2019·潍坊模拟)某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y(单位：kg)和与它“相近”的株数x具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1 m)，并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下：(1)求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；(2)有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为m(m∈N*)，计划收获后能全部售出，价格为10元/kg，如果收入(收入＝产量×价格)不低于25 000元，则m的最大值是多少？解 设每株的产量为y kg，
根据题意，10×500y≥25 000，解得y≥5，所以每株“相近”的株数m的最大值为5.(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为1 m，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据(1)中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.解 由回归方程得：6.(2019·衡中信息卷)胎心率是指胎儿的心率，其正常值一般为110～160次/分.某医科大学的学生实习小组统计了35位孕妇在怀孕第30周时的胎心率和胎儿的性别，数据汇总为如下茎叶图：(1)民间有一种说法：胎心率不小于140次/分的是男孩；胎心率小于140次/分的是女孩.根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为胎儿的性别与胎心率有关.解 列联表如下：因为0.238<2.706，所以没有90%以上的把握认为胎儿性别与胎心率有关.(2)从怀有男性婴儿且胎心率小于140次/分的孕妇中随机选取4位孕妇，记其中胎心率小于130次/分的孕妇人数为X，胎心率不小于130次/分的孕妇人数为Y.
①求P(X＝Y)；解 由数据可知怀有男性婴儿且胎心率小于140次/分的孕妇一共11人，其中胎心率小于130次/分的孕妇有3人.
因为X＋Y＝4，且X＝Y，所以X＝2，Y＝2，②求X的分布列与数学期望.解 X的所有可能取值为0,1,2,3.所以X的分布列为模板规范练典例 (12分)某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：模板体验(1)若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“足球达人”，否则定义为“非足球达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关；(2)在全校“足球达人”中按性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“足球达人”中选取2名作足球知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
附表及公式：审题路线图规范解答·评分标准
解 (1)由题意得下表：所以有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关. ……………6分(2)由题意知抽取的6名“足球达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0,1,2.所以ξ的分布列为构建答题模板
[第一步] 定变量：根据已知条件确定分类变量及取值.
[第二步] 填表格：填写列联表.
[第三步] 下结论：计算K2的观测值并下结论.
[第四步] 算概率：计算随机变量取每一个值的概率并列出分布列.
[第五步] 求期望：根据公式求期望.规范演练1.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有340人.
(1)求频率分布直方图中a的值及不满意的人数；解 由频率分布直方图可知：设不满意的人数为x，
则(0.002＋0.004)∶(0.016＋0.018)＝x∶340，
解得x＝60.(2)在等级为不满意的师生中，老师占 ，现从该等级的师生中按分层抽样的方法抽取12人了解不满意的原因，并从这12人中抽取3人担任整改督导员，记X为整改督导员中老师的人数，求X的分布列及数学期望.解 按分层抽样的方法抽取，12人中老师有4人，学生有8人，则X的可能取值为0,1,2,3，则X的分布列为2.(2019·兰州诊断)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研究投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：(1)试判断谁的计算结果正确？确定回归方程.解 已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.其中当x＝4,6,8时的检测数据为“理想数据”.
“理想数据 ”的个数X取值为0,1,2,3，解 于是“理想数据”的个数X的分布列为 本课结束 第19练 概率与统计的综合问题[大题突破练]
题组一 随机变量的分布列、期望与方差
要点重组 (1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．
(2)如果随机变量X能够断定服从超几何分布或二项分布，则其概率可直接利用公式求解．
1．(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
2．甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于8环(成绩环数以整数计)，且甲、乙射击成绩(环数)的分布列如下：
甲
环数
8
9
10
概率
p
乙
环数
8
9
10
概率
q
(1)求p，q的值；
(2)若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；
(3)若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)由题意得p＝，q＝.
(2)记事件C：甲命中一次9环，乙命中两次9环，事件D：甲命中两次9环，乙命中一次9环，则四次射击中恰有三次命中9环为事件C＋D，
∴P(C＋D)＝C×××C2＋C2×C××＝.
(3)ξ的取值分别为0,1,2，
P(ξ＝0)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＋×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
∴ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
题组二 利用期望与方差破解决策性问题
要点重组 利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量x的期望的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器性能好坏等很多指标都与两个特征量有关．
3．(2018·全国Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2·(1－p)18(0因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝2Cp(1－p)17(1－10p)，0令f′(p)＝0，得p＝0.1.
当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490(元)．
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
4．(2019·北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额(元)
支付方式
(0,1 000]
(1 000,2 000]
大于2 000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解 (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生共有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.
(2)X的所有可能值为0,1,2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，
P(D)＝＝0.6.
所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，
P(X＝1)＝P((C)∪(D))
＝P(C)P()＋P()P(D)
＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝0.24.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．
假设样本仅使用A的学生，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
题组三 随机变量的分布列、期望与回归分析、独立性检验交汇问题
要点重组 (1)会依据表格及公式，求线性回归方程、独立性检验中的参数值，注意不要代错公式．
(2)该部分往往与实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
5．(2019·潍坊模拟)某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量y(单位：kg)和与它“相近”的株数x具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1 m)，并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
15
12
11
9
8
(1)求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；
(2)有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为m(m∈N*)，计划收获后能全部售出，价格为10元/kg，如果收入(收入＝产量×价格)不低于25 000元，则m的最大值是多少？
(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为1 m，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据(1)中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望．
附：回归方程＝＋x中＝，＝－.
解 (1)由题意得，＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，
＝(15＋12＋11＋9＋8)＝11，
(xi－)(yi－)＝(－2)×4＋(－1)×1＋0×0＋1×(－2)＋2×(－3)＝－17，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，
所以＝＝－，
＝－＝11－×2＝，
所以＝－x.
(2)设每株的产量为y kg，
根据题意，10×500y≥25 000，解得y≥5，
令－x≥5，解得x≤＝5，
所以每株“相近”的株数m的最大值为5.
(3)由回归方程得：
当x＝1时，＝，
当x＝2时，＝11，
当x＝3时，＝，
当x＝4时，＝，
由题意得，P＝，P＝，
P＝，P＝，
所以的分布列为
11
P
所以E()＝×＋11×＋×＋×＝.
所以一株产量的数学期望为.
6．(2019·衡中信息卷)胎心率是指胎儿的心率，其正常值一般为110～160次/分．某医科大学的学生实习小组统计了35位孕妇在怀孕第30周时的胎心率和胎儿的性别，数据汇总为如下茎叶图：
男
女
5
2
1
12
6
9
8
7
5
5
4
3
1
13
1
2
2
3
7
9
9
8
6
5
1
0
14
2
4
6
7
7
8
4
3
15
1
2
2
16
(1)民间有一种说法：胎心率不小于140次/分的是男孩；胎心率小于140次/分的是女孩．根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为胎儿的性别与胎心率有关．
胎心率≥140
胎心率<140
总计
男
女
总计
(2)从怀有男性婴儿且胎心率小于140次/分的孕妇中随机选取4位孕妇，记其中胎心率小于130次/分的孕妇人数为X，胎心率不小于130次/分的孕妇人数为Y.
①求P(X＝Y)；
②求X的分布列与数学期望．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)列联表如下：
胎心率≥140
胎心率<140
总计
男
9
11
20
女
8
7
15
总计
17
18
35
k＝≈0.238，
因为0.238<2.706，所以没有90%以上的把握认为胎儿性别与胎心率有关．
(2)①由数据可知怀有男性婴儿且胎心率小于140次/分的孕妇一共11人，其中胎心率小于130次/分的孕妇有3人．
因为X＋Y＝4，且X＝Y，所以X＝2，Y＝2，
故P(X＝Y)＝＝.
②X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
典例 (12分)某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间(单位：小时)
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6]
收看人数
14
30
16
28
20
12
(1)若将每天收看比赛时间不低于3小时的教职工定义为“足球达人”，否则定义为“非足球达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：
男
女
总计
足球达人
40
非足球达人
30
总计
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关；
(2)在全校“足球达人”中按性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名“足球达人”中选取2名作足球知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
审题路线图
―→―→―→―→
―→―→
规范解答·评分标准
解 (1)由题意得下表：
男
女
总计
足球达人
40
20
60
非足球达人
30
30
60
总计
70
50
120
K2的观测值k＝≈3.429>2.706.……………………………………………5分
所以有90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关. ………………………6分
(2)由题意知抽取的6名“足球达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0,1,2.
且P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，………………………………………………………10分
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.…………………………………………………………12分
构建答题模板
[第一步] 定变量：根据已知条件确定分类变量及取值．
[第二步] 填表格：填写列联表．
[第三步] 下结论：计算K2的观测值并下结论．
[第四步] 算概率：计算随机变量取每一个值的概率并列出分布列．
[第五步] 求期望：根据公式求期望．
1．某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])，并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
[0,60)
[60,80)
[80,90)
[90,100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．
(1)求频率分布直方图中a的值及不满意的人数；
(2)在等级为不满意的师生中，老师占，现从该等级的师生中按分层抽样的方法抽取12人了解不满意的原因，并从这12人中抽取3人担任整改督导员，记X为整改督导员中老师的人数，求X的分布列及数学期望．
解 (1)由频率分布直方图可知：
a＝－(0.002＋0.004＋0.016＋0.018＋0.024)＝0.036.
设不满意的人数为x，则
(0.002＋0.004)∶(0.016＋0.018)＝x∶340，
解得x＝60.
(2)按分层抽样的方法抽取，12人中老师有4人，学生有8人，则X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
2．(2019·兰州诊断)在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研究投入．为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：
试销价格x(元)
4
5
6
7
8
9
产品销量y(件)
89
83
82
79
74
67
已知变量x，y具有线性相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得线性回归方程分别为甲＝4x＋59；乙＝－4x＋105；丙＝－4.6x＋104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．
(1)试判断谁的计算结果正确？确定回归方程．
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”．现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望．
解 (1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，
∵＝6.5，＝79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为＝－4x＋105.
(2)
x
4
5
6
7
8
9
y
89
83
82
79
74
67
89
85
81
77
73
69
其中当x＝4,6,8时的检测数据为“理想数据”．
“理想数据 ”的个数X取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
于是“理想数据”的个数X的分布列为
X
0
1
2
3
p
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
