课件37张PPT。第20练
直线与圆 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 直线的方程要点重组 (1)直线方程常用形式：
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)；
②截距式： (a≠0，b≠0)；
③一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0).
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝ (A2＋B2≠0).(3)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.
(4)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
(5)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.
(6)直线方程为一般式时，两条直线垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.则直线l的斜率为－2，即tan α＝－2，√ 2.已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m<－1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√ 解析 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2，
得m＝－1或m＝－7，
经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7.
故“l1∥l2”是“m<－1”的充分不必要条件.3.过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________.故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号.124.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_____________.解析 当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.x＋2y－3＝0即x＋2y－3＝0.题组二 圆的方程要点重组 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)求圆的方程的方法：
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.
②代数法：即用待定系数法先设圆的方程，再由条件求得各系数.5.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析 设圆心坐标为(a，－a)，√ 解得a＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.6.已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，点O为坐标原点，则以OC为直径的圆的标准方程为
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝100
B.(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25√ 解析 由题意可知O(0,0)，C(6，－8)，据此可得以OC为直径的圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.7.(2019·广州模拟)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是__________________.(x－2)2＋(y－2)2＝8不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.8.抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为______________.(x－1)2＋y2＝4解析 由题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，
△AMB是以点M为直角顶点的三角形，
则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.题组三 直线(圆)与圆的位置关系要点重组 (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差的绝对值与和的比较.
(2)弦长的求解方法③求出交点坐标，用两点间距离公式求解.9.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0√ 解析 依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∴切线的斜率k＝－2.
故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.10.设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为√ 解析 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，11.(2019·唐山模拟)已知点P在圆x2＋y2＝4上，A(－2,0)，B(2,0)，M为BP中点，则sin∠BAM的最大值为√ 解析 如图，设P(2cos θ，2sin θ)，
则M(cos θ＋1，sin θ)，12.已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有
两个不同的点到直线l的距离等于 ，则参数t的取值范围为
A.(2,4)∪(6,8) B.(2.4]∪[6,8)
C.(2,4) D.(6,8)√ 解析 把x2＋y2－4x－6y＋11＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝2，易错易混练1.已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________________.解析 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
当l斜率不存在时，此时直线方程为x＝2，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，x－2＝0或3x－4y＋10＝0综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.易错提醒 求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.2.已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C截得弦长最短时，实数m＝________.－1解析 由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∵直线l：mx＋y－2m－1＝0过定点P(2,1)且在圆内，
∴当l⊥PC时，直线l被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长最短.易错提醒 注意过圆内一点作直线，该直线与圆一定相交，且所截得的弦中最长的弦为过该点的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦，这是求解直线与圆的位置关系问题时常用的结论，一定要掌握.1.已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件押题冲刺练123456√解析 “直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0?m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件.1234562.已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于
A.－ B.1 C.2 D.√解析 因为点P(2,2)在圆上，所以P为切点，
由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，
得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，1234563.已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是解析 易知最长弦为圆的直径10，√123456√123456123456√123456解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则直线PM的方程为x1x＋y1y＝4，
直线PN的方程为x2x＋y2y＝4.则直线MN的方程为ax＋(a＋4)y＝4，
即a(x＋y)＝4－4y，
则直线MN过定点Q(－1,1)，
因为OR⊥MN，所以点R在以OQ为直径的圆上(除去原点)，1234566.已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________.123456[2,6]解析 因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，
要使在圆C上存在两点A和B，使得MA⊥MB，
只需当AM，BM与圆C相切时，∠AMB≥90°，即∠AMC≥45°， 本课结束 第20练 直线与圆[小题提速练]
题组一 直线的方程
要点重组 (1)直线方程常用形式：
①点斜式：y－y0＝k(x－x0)；
②截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)；
③一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(A2＋B2≠0)．
(3)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．
(4)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．
(5)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(6)直线方程为一般式时，两条直线垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.
1．(2019·衡中调研卷)已知直线l的倾斜角为α，且直线l与l1：x－2y＋1＝0垂直，则等于( )
A. B．－ C．± D.
答案 A
解析 由已知得直线l1的斜率为，则直线l的斜率为－2，即tan α＝－2，所以＝＝＝.
2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m<－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2，
得m＝－1或m＝－7，
经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7.
故“l1∥l2”是“m<－1”的充分不必要条件．
3．过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB的最小值为________．
答案 12
解析 依题意，设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2,3)在直线l上，
∴＋＝1，则ab＝3a＋2b≥2，
故ab≥24，当且仅当3a＝2b(即a＝4，b＝6)时取等号．
因此S△AOB＝ab≥12，即S△AOB的最小值为12.
4．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．
∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2，
∴两平行直线的斜率k＝－.
∴直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
题组二 圆的方程
要点重组 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，圆心，半径为.
(3)求圆的方程的方法：
①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
②代数法：即用待定系数法先设圆的方程，再由条件求得各系数．
5．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 设圆心坐标为(a，－a)，
则＝，即|a|＝|a－2|，
解得a＝1，
故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
6．已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，点O为坐标原点，则以OC为直径的圆的标准方程为( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
答案 C
解析 由题意可知O(0,0)，C(6，－8)，
则以OC为直径的圆的圆心坐标为(3，－4)，直径为＝10，
据此可得以OC为直径的圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
7．(2019·广州模拟)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
答案 (x－2)2＋(y－2)2＝8
解析 方法一 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由直线l过点M(2,2)，得＋＝1，
又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，
不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则将O，A，B的坐标分别代入得
解得
所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
方法二 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由直线l过点M(2,2)，得＋＝1.
又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，
所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，
所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.
8．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________．
答案 (x－1)2＋y2＝4
解析 由题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.
题组三 直线(圆)与圆的位置关系
要点重组 (1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差的绝对值与和的比较．
(2)弦长的求解方法
①根据半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2.
②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解．
③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．
9．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
答案 B
解析 依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．
∵圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为，∴切线的斜率k＝－2.
故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
10．设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( )
A．± B．± C．±3 D．±9
答案 B
解析 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±，故选B.
11．(2019·唐山模拟)已知点P在圆x2＋y2＝4上，A(－2,0)，B(2,0)，M为BP中点，则sin∠BAM的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，设P(2cos θ，2sin θ)，
则M(cos θ＋1，sin θ)，
∴sin∠BAM＝，
∴sin2∠BAM＝
＝.
令cos θ＝x，则f(x)＝，x∈[－1,1]，
∴f′(x)＝＝，
由f′(x)＝0得x＝－(或x＝－3舍去)，
∴f(x)max＝＝.
∴sin∠BAM的最大值为.
12．已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为( )
A．(2,4)∪(6,8) B．(2.4]∪[6,8)
C．(2,4) D．(6,8)
答案 A
解析 把x2＋y2－4x－6y＋11＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝2，所以圆心坐标为(2,3)，半径为，
则<<＋，解得21．已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为________________．
答案 x－2＝0或3x－4y＋10＝0
解析 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝10.
当l斜率不存在时，此时直线方程为x＝2，符合题意；
当l斜率存在时，设l：y＝k(x－2)＋4，
由题意可得2＋2＝10，
解得k＝，此时l：3x－4y＋10＝0.
综上，直线l的方程是x－2＝0或3x－4y＋10＝0.
易错提醒 求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形．
2．已知直线l：mx＋y－2m－1＝0，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，当直线l被圆C截得弦长最短时，实数m＝________.
答案 －1
解析 由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆心坐标是C(1,2)，半径是.
∵直线l：mx＋y－2m－1＝0过定点P(2,1)且在圆内，
∴当l⊥PC时，直线l被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长最短．
∴(－m)·＝－1，∴m＝－1.
易错提醒 注意过圆内一点作直线，该直线与圆一定相交，且所截得的弦中最长的弦为过该点的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦，这是求解直线与圆的位置关系问题时常用的结论，一定要掌握．
1．已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 “直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0?m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件．
2．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B．1 C．2 D.
答案 C
解析 因为点P(2,2)在圆上，所以P为切点，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 B．9 C．10 D．9
答案 C
解析 易知最长弦为圆的直径10，
又最短弦所在直线与最长弦垂直，
且|PC|＝，
∴最短弦的长为2＝2＝2，
故所求四边形的面积S＝×10×2＝10.
4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C．x2＋2＝ D．x2＋2＝
答案 C
解析 由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则rsin ＝1，rcos ＝|a|，解得r＝，|a|＝，即r2＝，a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
5．已知点A(－4,0)，P(a，a＋4)，圆O：x2＋y2＝4，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N.若＝，则|AR|的最大值为( )
A．4 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则直线PM的方程为x1x＋y1y＝4，
直线PN的方程为x2x＋y2y＝4.
将点P(a，a＋4)代入，得
则直线MN的方程为ax＋(a＋4)y＝4，
即a(x＋y)＝4－4y，
则直线MN过定点Q(－1,1)，
因为OR⊥MN，所以点R在以OQ为直径的圆上(除去原点)，
又以OQ为直径的圆的方程为2＋2＝，所以|AR|的最大值为＋＝3.
6．已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时，∠AMB≥90°，即∠AMC≥45°，则sin∠AMC＝≥，解得2≤t≤6.
