课件44张PPT。第21练
圆锥曲线的定义、方程与性质 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 圆锥曲线的定义与标准方程要点重组 (1)定义：
①椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
②双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)；
③抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.1.(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为√ 连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.故|F2A|＝a＝|F1A|，
则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.
令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，2.(2018·天津)已知双曲线 (a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为√ 解析 如图，不妨设A在B的上方，其中的一条渐近线为bx－ay＝0，3.(2019·衡中押题卷)已知椭圆C的长半轴长为a，其中一个焦点为F1，A，B为C上关于长轴对称的两点，则△ABF1的周长的最大值为
A.4a B.4 a C.6a D.6 a解析 设椭圆C的另一个焦点为F2，线段AB与长轴的交点为H，连接AF2，
由题意可知|AH|≤|AF2|，
则|AF1|＋|AH|≤|AF1|＋|AF2|＝2a，
所以当直线AB过焦点F2时，△ABF1的周长取最大值4a.√ 4.(2019·潍坊模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G，M，N三点(其中M在G，N之间且G在第一象限)，若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝________.解析 如图，分别过点G，M作GH⊥l于H，MD⊥l于D，
由|MN|＝2|MF|，|MF|＝|MD|，2又|GH|＝|GF|＝4，∴|NG|＝8，∴|NF|＝4，
∴|EF|＝2，即p＝2.题组二 圆锥曲线的几何性质要点重组 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系√ √ 解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可知|F1F2|＝|PF2|＝2c，
由∠F1F2P＝120°，故|AB|＝a＋2c，√ 在Rt△AF2B中，|AB|2＝|BF2|2＋|AF2|2，解析 如图，设|AF2|＝m，解得m＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A，2又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，
所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，
所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.
因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以c2－a2＝3a2，题组三 直线与圆锥曲线要点重组 将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法.√ √ √ 当∠PFO＝45°时，kPF＝tan 135°＝－1，当∠PFO由60°变化到45°时，双曲线的张口由小变大，离心率由小变大，易错易混练√ (1,2)解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.易错提醒 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.押题冲刺练123456√所以2a2＝8，解得a＝2.123456√1234563.已知椭圆 ＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，F2为其右焦点，M为椭圆在第一象限内一点，若M，F2，B三点共线，则tan∠AMB等于
A.1 B.2 C.3 D.4√解析 由题意得直线BM：y＝x－1，
代入椭圆方程得3x2－4x＝0，故tan∠BAM＝2，123456123456解析 由题意知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234565.已知直线y＝kx＋m与抛物线y2＝4x相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(x0 ， 2)，则k＝________.1123456123456不妨设点M在第一象限，
由题意知|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|－|MF2|＝2m，
所以|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m，
又2|MO|＝|F1F2|，所以MF1⊥MF2，
所以(a＋m)2＋(a－m)2＝4c2，
即a2＋m2＝2c2，123456 本课结束 第21练 圆锥曲线的定义、方程与性质[小题提速练]
题组一 圆锥曲线的定义与标准方程
要点重组 (1)定义：
①椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
②双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)；
③抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
1．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
2．(2018·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 C
解析 如图，不妨设A在B的上方，
则A，B.
其中的一条渐近线为bx－ay＝0，
则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，
∴a＝.
∴双曲线的方程为－＝1.
3．(2019·衡中押题卷)已知椭圆C的长半轴长为a，其中一个焦点为F1，A，B为C上关于长轴对称的两点，则△ABF1的周长的最大值为( )
A．4a B．4a C．6a D．6a
答案 A
解析 设椭圆C的另一个焦点为F2，线段AB与长轴的交点为H，连接AF2，由题意可知|AH|≤|AF2|，则|AF1|＋|AH|≤|AF1|＋|AF2|＝2a，所以当直线AB过焦点F2时，△ABF1的周长取最大值4a.
4．(2019·潍坊模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G，M，N三点(其中M在G，N之间且G在第一象限)，若|GF|＝4，|MN|＝2|MF|，则p＝________.
答案 2
解析 如图，分别过点G，M作GH⊥l于H，MD⊥l于D，
由|MN|＝2|MF|，
|MF|＝|MD|，
知＝.
设准线l与x轴的交点为E，则
＝＝＝，
又|GH|＝|GF|＝4，∴|NG|＝8，∴|NF|＝4，
∴|EF|＝2，即p＝2.
题组二 圆锥曲线的几何性质
要点重组 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ；
在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ .
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
5．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案 D
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝
＝
＝＝.
6．(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可知|F1F2|＝|PF2|＝2c，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝c，|BF2|＝c，
故|AB|＝a＋2c，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4c，所以e＝＝.
7．(2019·石家庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2⊥BF2，且|BF1|＝|AF2|，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
答案 B
解析 如图，设|AF2|＝m，
则|BF1|＝m，|AB|＝2a＋m，
|BF2|＝2a＋m.
在Rt△AF2B中，
|AB|2＝|BF2|2＋|AF2|2，
即2＝2＋m2，
解得m＝2a，
则|AF2|＝2a，|AF1|＝4a，|AB|＝a，
所以cos A＝＝＝，
在△AF1F2中，
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A，
即(2c)2＝(4a)2＋(2a)2－2×4a×2a×，
整理得＝，所以e＝.
8．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2
解析 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
题组三 直线与圆锥曲线
要点重组 将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法．
9．(2019·衡水中学联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点F和顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 直线l的斜率为－，所以＝，又b2＋c2＝a2，所以e＝＝.
10．已知双曲线C：－y2＝1(a>0)，直线l经过双曲线C的一个焦点且与x轴垂直，与双曲线C的渐近线交于A，B两点．若|AB|＝，则a等于( )
A．3 B．2 C. D.
答案 C
解析 由题意得＝，解得a＝.
11．(2019·衡中调研卷)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F的直线与双曲线在第一象限的渐近线垂直，且交y轴于点P，当∠PFO(O为坐标原点)，由60°变化到45°时，该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，] B．(1，]
C．[，] D.
答案 D
解析 渐近线方程为y＝x，
当∠PFO＝60°时，kPF＝tan 120°＝－，
所以×(－)＝－1，即＝，
此时离心率e＝＝＝＝.
当∠PFO＝45°时，kPF＝tan 135°＝－1，
所以×(－1)＝－1，即＝1，
此时离心率e＝＝＝＝.
当∠PFO由60°变化到45°时，双曲线的张口由小变大，离心率由小变大，所以当∠PFO由60°变化到45°时，≤e≤.
12．(2019·郑州模拟)已知O为坐标原点，F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l分别与另一条渐近线及双曲线的左支交于点A，B，若＝＋，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 由＝＋得3＝2＋，
所以2－2＝－，即2＝.
设F(－c,0)，与l平行的渐近线方程为y＝x，则直线l的方程为y＝(x＋c)，
由得即A.
设B(x0，y0)，由2＝得
2＝(－c－x0，－y0)，
解得x0＝－，y0＝，即B，
将点B的坐标代入双曲线方程得－＝1，
化简得c＝a，所以e＝＝.
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为( )
A. B．2 C. D.
答案 C
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点落在y轴上，所以其渐近线方程为y＝±x，即＝2，所以e＝＝＝.
易错提醒 有些同学忽视了焦点的位置，把双曲线的渐近线认为y＝±x，所以＝2，e＝＝，错选A.
2．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意，可得>1，即>1，
所以e＝<2，又e>1，故1易错提醒 范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件．
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为4，则a等于( )
A．4 B．2 C．4 D．2
答案 D
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
由题意得，－＝－1，所以a2＝b2，
又a2＋b2＝c2，2c＝4，
所以2a2＝8，解得a＝2.
2．(2019·全国100所名校示范卷)设椭圆＋＝1(0A．4 B．3 C．2 D.
答案 C
解析 ∵|AB|＝＝＝，∴b＝2，
∴＝＝b2·tan＝2.
3．已知椭圆＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，F2为其右焦点，M为椭圆在第一象限内一点，若M，F2，B三点共线，则tan∠AMB等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意得直线BM：y＝x－1，
代入椭圆方程得3x2－4x＝0，
所以xM＝，yM＝，故kAM＝－，
故tan∠BAM＝2，
所以tan∠AMB＝－tan(∠BAM＋45°)＝－＝3.
4．已知抛物线T：y2＝4x，直线l经过点C(2,0)与抛物线T交于A，B两点．若＝2，则原点O到直线l的距离为________．
答案
解析 由题意知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得y1＝－2y2.(*)
由得y2－4my－8＝0，
所以将(*)式代入方程组得m2＝，
所以原点O到直线l的距离d＝＝.
5．已知直线y＝kx＋m与抛物线y2＝4x相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(x0，2)，则k＝________.
答案 1
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
所以＝＝＝1，故k＝1.
6．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)与双曲线T有公共焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，且2|MO|＝|F1F2|(其中O为坐标原点)．若椭圆E的离心率为，则双曲线T的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 设双曲线T的方程为－＝1(m>0，n>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
不妨设点M在第一象限，
由题意知|MF1|＋|MF2|＝2a，|MF1|－|MF2|＝2m，
所以|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m，
又2|MO|＝|F1F2|，所以MF1⊥MF2，
所以(a＋m)2＋(a－m)2＝4c2，
即a2＋m2＝2c2，
所以＋＝2.
因为椭圆E的离心率为，所以＝，
所以＋＝2，即＝，
则＝1＋＝，所以＝，
所以双曲线T的渐近线方程为y＝±x.
