课件51张PPT。第23练
圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 [大题规范练]题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 圆锥曲线中的定值问题要点重组 (1)求定值问题常见的方法有两种
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.1.(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；解 因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.解 存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值.
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，
化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，
所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.(1)求椭圆C的方程；(2)y轴上是否存在定点N，使kNA＋kNB为定值？并说明理由.解 假设存在定点N(0，n)满足题设.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)－1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝k(x－1)－1代入C的方程，得
(1＋4k2)x2－8k(k＋1)x＋4k2＋8k＝0，因为y1＝kx1－k－1，y2＝kx2－k－1，所以当n＝1时，kNA＋kNB＝－2.
由(1)得，当直线l的斜率不存在时，综上，存在定点N(0,1)，使得kNA＋kNB为定值－2.题组二 圆锥曲线中的定点问题要点重组 (1)动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0).
(2)动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.3.(2019·北京)已知椭圆C： 的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程；解 由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点.证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0).4.已知曲线C：y＝ ，D为直线y＝－ 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.∴t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.题组三 圆锥曲线中的存在性问题要点重组 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.5.(2019·潍坊模拟)如图，点T为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得 ，点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程；解 设P(x，y)，T(x0，y0)，
则A(x0 ， 0)，B(0，y0)，(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线AB方程；若不存在，说明理由.解 由题意知直线AB的斜率存在且不为零，
设直线AB的方程为y＝kx＋t，
因为|AB|＝|OT|＝1，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形OMQN为平行四边形，整理得16k4＋8k2－16k2t2－4t2＋1＝0， ②
将①代入②，得16k6＋8k4＋5k2＋1＝0，
即(4k2＋1)(4k4＋k2＋1)＝0，该方程无解，
故这样的直线不存在.(1)求椭圆E的方程；(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解 假设存在这样的直线l，设其方程为y＝x＋m，令Δ＝36m2－16(3m2－12)＝－12(m2－16)>0，
解得－4则2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，模板规范练模板体验典例 (12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；审题路线图规范解答·评分标准
(1)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM).……………………………………………………………2分
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
Δ＝4k2b2－4(k2＋9)(b2－m2)>0，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. …………………………………6分假设四边形OAPB为平行四边形.设点P的横坐标为xP，四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形.……………………………………………………………………………………12分构建答题模板
[第一步] 先假定：假设结论成立.
[第二步] 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.
[第三步] 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.
[第四步] 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.规范演练(1)求椭圆C的方程；解 由题意知，D(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，∴(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－6＝0，
Δ＝4t2m2－4(m2－6)(t2＋3)＝4(6t2＋18－3m2).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解 当l的斜率不为0时，设AB的方程为x＝ty＋m，(1)求椭圆C的标准方程；解 由题意得2a＝4，所以a＝2.由椭圆C与圆E的公共弦长为3，(2)设动直线l：y＝k(x－4)交椭圆C于A，B两点，点A与点D关于x轴对称.问：直线BD是否经过x轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，－y1).又y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，即直线BD过x轴上的定点(1,0). 本课结束 第23练 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题[大题规范练]
题组一 圆锥曲线中的定值问题
要点重组 (1)求定值问题常见的方法有两种
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．
1．(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解 (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，
化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，
所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
2．(2019·唐山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，离心率e＝，过点M(1，－1)的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l⊥x轴时，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)y轴上是否存在定点N，使kNA＋kNB为定值？并说明理由．
解 (1)由e＝＝得＝，即a2＝4b2，
从而椭圆C：＋y2＝b2，
当l⊥x轴时，l：x＝1，|AB|＝，
不妨取A，B，
代入椭圆C：＋y2＝b2，得b2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在定点N(0，n)满足题设．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)－1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝k(x－1)－1代入C的方程，得
(1＋4k2)x2－8k(k＋1)x＋4k2＋8k＝0，
当Δ>0时，x1＋x2＝，x1x2＝.
kNA＋kNB＝＋，
因为y1＝kx1－k－1，y2＝kx2－k－1，
所以kNA＋kNB＝2k－
＝2k－
＝2k－
＝－2－，
所以当n＝1时，kNA＋kNB＝－2.
由(1)得，当直线l的斜率不存在时，
不妨取A，B.
所以kNA＋kNB＝－1－－1＝－2.
综上，存在定点N(0,1)，使得kNA＋kNB为定值－2.
题组二 圆锥曲线中的定点问题
要点重组 (1)动直线l过定点问题．设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3．(2019·北京)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
(1)解 由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．
4．已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
(1)证明 如图，设D，A(x1，y1)，则x＝2y1，
由于y′＝x，∴切线DA的斜率为x1，故＝x1，
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0，
∴直线AB过定点.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.
设M为线段AB的中点，则M，
由于⊥，而＝(t，t2－2)，
与向量(1，t)平行，
∴t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，||＝2，
所求圆的方程为x2＋2＝4；
当t＝±1时，||＝，
所求圆的方程为x2＋2＝2.
题组三 圆锥曲线中的存在性问题
要点重组 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
5.(2019·潍坊模拟)如图，点T为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点T分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得＝，点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上，直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形，若存在，求出直线AB方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设P(x，y)，T(x0，y0)，
则A(x0，0)，B(0，y0)，
由题意知＝，所以A为PB中点，
由中点坐标公式得即
代入x＋y＝1得曲线C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在且不为零，
设直线AB的方程为y＝kx＋t，
因为|AB|＝|OT|＝1，
故2＋t2＝1，即＋t2＝1，①
联立消去y得
(4k2＋1)x2＋8ktx＋4(t2－1)＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝k＋2t＝，
因为四边形OMQN为平行四边形，
故Q，
点Q在椭圆上，故＋2＝1，
整理得16k4＋8k2－16k2t2－4t2＋1＝0，②
将①代入②，得16k6＋8k4＋5k2＋1＝0，
即(4k2＋1)(4k4＋k2＋1)＝0，该方程无解，
故这样的直线不存在．
6．(2019·宣城调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(2，0)，其长轴长是短轴长的倍．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意得解得
即所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)假设存在这样的直线l，设其方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
令Δ＝36m2－16(3m2－12)＝－12(m2－16)>0，
解得－4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
又F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以G，H，
由题意知，以线段GH为直径的圆过原点，
所以·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，
则2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
则－＋m2＝0，解得m＝±.
又－4<±<4，
所以存在这样的直线l，其方程为y＝x±.
典例 (12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
审题路线图
(1)―→―→―→
(2)―→
―→―→
规范解答·评分标准
(1)证明 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM).……………………………………………………………………………2分
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
Δ＝4k2b2－4(k2＋9)(b2－m2)>0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.……………………………………………………4分
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. ………………………………………………6分
(2)解 当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB能为平行四边形. …………………7分
假设四边形OAPB为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP，
由得x＝，即xP＝ . ………………………………………9分
将点的坐标代入l的方程，得b＝，
因此xM＝.………………………………………………………………………………10分
四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形.
……………………………………………………………………………………………………12分
构建答题模板
[第一步] 先假定：假设结论成立．
[第二步] 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解．
[第三步] 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设．
[第四步] 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性．
1.如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，左、右焦点为F1，F2，上顶点为D，离心率为，且·＝－2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设E是x轴正半轴上的一点，过点E任作直线l与C相交于A，B两点，如果＋是定值，试确定点E的位置，并求S△DAE·S△DBE的最大值．
解 (1)由题意知，D(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由e＝，得＝.
由·＝－2，得－c2＋b2＝－2，
又a2＝b2＋c2，∴a＝，b＝，c＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当l的斜率不为0时，设AB的方程为x＝ty＋m，
由消去x，得
∴(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－6＝0，
Δ＝4t2m2－4(m2－6)(t2＋3)＝4(6t2＋18－3m2)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－， y1y2＝，
∴＋
＝
＝·
＝，
∴m＝，它满足Δ>0，
∴E(，0)，
＋为定值2.
当E为(，0)，l：y＝0时，满足＋＝2，
此时S△DAE·S△DBE＝××(－)×××(＋)＝.
当l的斜率不为0时，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
由D到AB的距离d＝，|AE|＝|y1|，
|BE|＝|y2|，得
S△DAE·S△DBE＝d·|AE|·
＝.
令u＝t＋，则t＝，
则S△DAE·S△DBE
＝×＝
＝≤，
当且仅当＝，即u＝3，t＝时，等号成立．
故(S△DAE·S△DBE)max＝.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且椭圆C与圆E：(x－1)2＋y2＝的公共弦长为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设动直线l：y＝k(x－4)交椭圆C于A，B两点，点A与点D关于x轴对称．问：直线BD是否经过x轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
解 (1)由题意得2a＝4，所以a＝2.
圆E的圆心为(1,0)，半径为，
由椭圆C与圆E的公共弦长为3，
可得椭圆C经过点，
所以＋＝1，解得b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，－y1)．
由得
(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
则Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝.
由题意可得直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，
又y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
所以直线BD的方程为
y＋k(x1－4)＝(x－x1)．
令y＝0，得x＝＋x1
＝＝
＝＝1，
即直线BD过x轴上的定点(1,0)．
