课件24张PPT。第4练
走进数学文化 教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助.方法技巧 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.题组一 数列中的数学文化1.(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于
A.23 B.32 C.35 D.38√解析 由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为d，其中公差d＝－3，S9＝207，2.(2019·恩施质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”则该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为
A.9 B.16 C.18 D.20√解析 根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，
依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程，故选B.3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题的大意为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为√解析 自上而下依次设各节容积为a1，a2，…，a9，4.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢
A.3 B.4 C.5 D.6√解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，取n＝4.
即两鼠在第4天相逢.方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.题组二 三角函数、几何中的数学文化5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，√6.(2019·衡中同卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为
A.28.5平方丈 B.57平方丈 C.29平方丈 D.58平方丈√解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10 000×2.7×10－3＝27，故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈).7.《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜；ha，hb，hc分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高；
8.古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三
长求三角形的面积.若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝
这里p＝ .已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，
sin A＝________.解析 设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得方法技巧 概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法.题组三 概率中的数学文化√9.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.10.(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是√11.(2019·全国100所名校示范卷)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级.若给有巨大贡献的2人进行封侯，则两人不被封同一等级的概率为√12.(2019·潍坊模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物.清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形中随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为√ 本课结束 第4练 走进数学文化
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容”．近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助．
题组一 数列中的数学文化
方法技巧 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型．
1．(2019·合肥一中、马鞍山二中等六校联考)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于( )
A．23 B．32 C．35 D．38
答案 C
解析 由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为d，其中公差d＝－3，S9＝207，
即S9＝9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C.
2．(2019·恩施质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”则该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为( )
A．9 B．16 C．18 D．20
答案 B
解析 根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程，故选B.
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题的大意为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.升 B.升 C.升 D.升
答案 A
解析 自上而下依次设各节容积为a1，a2，…，a9，
则即
得
所以a2＋a3＋a8＝＋＝(升)．
4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞的距离之和为＝2n－1；
同理，小老鼠前n天打洞的距离之和为
＝2－，
∴2n－1＋2－＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.
即两鼠在第4天相逢．
题组二 三角函数、几何中的数学文化
方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．
5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于( )
A. B. C．5 D.
答案 A
解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α，∴cos α－sin α＝，
又α为锐角，易求得tan α＝.
6．(2019·衡中同卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛．”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为( )
A．28.5平方丈 B．57平方丈
C．29平方丈 D．58平方丈
答案 B
解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10 000×2.7×10－3＝27，
所以AA1＝＝＝2.
故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈)．
7．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜；ha，hb，hc分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高；则S＝＝aha＝bhb＝chc.若在△ABC中，ha＝，hb＝2，hc＝3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为________．
答案
解析 根据题意可知，a∶b∶c＝2∶3∶2，
故设a＝2x，b＝3x，c＝2x，
由S＝
＝aha＝bhb＝chc，
代入a，b，c，可得x＝，
由余弦定理可得cos A＝，所以sin A＝，
所以由正弦定理得三角形外接圆半径为
＝＝.
8．古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sin A＝________.
答案
解析 设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
＝
＝
≤·＝12，
当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号．
所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得
cos A＝＝，
故sin A＝＝.
题组三 概率中的数学文化
方法技巧 概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法．
9．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
10．(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.
11．(2019·全国100所名校示范卷)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封侯，则两人不被封同一等级的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，基本事件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有5种情形，故所求事件的概率为1－＝.
12．(2019·潍坊模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物．清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形中随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设图(1)正方形的边长为2，则图6部分的面积为S6＝1×＝，故阴影部分的概率为P＝＝.
