课件37张PPT。第6练
复数与平面向量 [小题提速练] 题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 复数的四则运算及几何意义(4)复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.1.(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1√解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R).
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.√√4.(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√题组二 平面向量的线性运算解析 作出示意图如图所示.√√解析 如图，连接OB，OC，则由B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点可得四边形ABOC是菱形，√∵M，N分别为BC，CD的中点，题组三 平面向量的数量积要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.A.－3 B.－2 C.2 D.3√10.(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为√解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，√解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，易错易混练√易错提醒 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a为实部，b为虚部，而实部、虚部都为实数，易错认为“bi”为虚部.2.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
____________________.又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.1.已知z(1＋2i)＝5i，则复数z的共轭复数 在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限押题冲刺练√1234562.(2019·潍坊模拟)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则
等于
A.i B.－i C.1 D.－1√1234561234563.(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为
A.4 B.－4 C.2 D.－2√解析 b＝(2,1)，所以2×(－2)－1×x＝0，解得x＝－4.√123456123456√12345612345613123456 本课结束 第6练 复数与平面向量[小题提速练]
题组一 复数的四则运算及几何意义
要点重组 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是特别地，a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是＝a－bi.
(3)z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝.
(4)复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
(5)z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.
1．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
2．(2019·临沂模拟)设z＝i3＋，则z的虚部是( )
A．－1 B．－i C．－2i D．－2
答案 D
解析 z＝－i＋＝－i－i＝－2i，则z的虚部是－2.
3．(2019·齐鲁协作体)设z＝，则|z|的值为( )
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 方法一 z＝＝＝－1＋2i，
∴|z|＝.
方法二 |z|＝＝＝.
4．(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.
题组二 平面向量的线性运算
要点重组 (1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(3)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
5．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
6．(2019·衡水押题卷)如图，B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点，AD为圆O的一条直径．若＝a，＝b，则等于( )
A.a－b
B．－a＋b
C．－a＋b
D．a－b
答案 C
解析 如图，连接OB，OC，则由B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点可得四边形ABOC是菱形，
所以＝＝＋，
即a＝＋b，所以＝a－b，
所以＝－a＋b.
7．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝λ＋μ
＝，
∴解得故λ＋μ＝.
方法二 以，作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点，
∴＝＋＝＋，
＝＋＝－，
∴＝λ＋μ＝＋，
又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝.
8.(2019·泰安模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为________．
答案
解析 设＝m，由题意及图，＝＋＝＋m＝＋m(－)＝m＋(1－m)，
又＝，
∴＝，∴＝m＋(1－m)，
又＝t＋，∴解得m＝，t＝.
题组三 平面向量的数量积
要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
9．(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 C
解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
10．(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.
11．(2019·衡水中学调研)已知△ABC的外接圆的圆心为O，且满足·＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ等于( )
A．± B．1 C．±1 D．－
答案 A
解析 由题意得||＝||＝||，＋＝λ，两边平方得||2＋||2＋2·＝
λ2||2，又·＝0，即||2＋||2＝λ2||2，所以λ2＝2，故λ＝±.
12．(2019·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
答案
解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，
由BE＝2EA得E，
则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，
联立可得O，
则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，
·＝·＝，
由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，
化简得4ab＝b2＋c2＋a2，
则＝＝＝.
方法二 由A，O，D三点共线，可设＝λ，
则＝(＋)，
由E，O，C三点共线可设＝μ，
则－＝μ(－)，
则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，
由平面向量基本定理可得
解得μ＝，λ＝，
则＝(＋)，＝－＝－，
则6·
＝6×(＋)·
＝＝·，
化简得32＝2，则＝.
1．若复数z＝，则z的实部与虚部之积为( )
A．－ B. C.i D．－i
答案 B
解析 z＝＝＝＋i，则z的实部为，虚部为，所以实部与虚部的积为.
易错提醒 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a为实部，b为虚部，而实部、虚部都为实数，易错认为“bi”为虚部．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
答案 ∪
解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.
又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.
故λ>－且λ≠0.
易错提醒 注意向量夹角的定义和范围．在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a与b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．本题易漏解λ≠0，错解为.
1．已知z(1＋2i)＝5i，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝＝2＋i，
∴＝2－i，复数所对应的点为(2，－1)，在第四象限．
2．(2019·潍坊模拟)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则等于( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 B
解析 由题意知z2＝－1＋i，则＝＝－i.
3．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案 B
解析 b＝(2,1)，所以2×(－2)－1×x＝0，解得x＝－4.
4．已知在△ABC中，＝＝＝，若·＝8，·＝20，则||等于( )
A．8 B．16 C．8 D．12
答案 A
解析 依题意，·＝(＋2)·(－2)＝2－42＝8，·＝(＋)·(－)＝2－2＝20，则||＝2，所以||＝8.
5.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C．1 D．3
答案 B
解析 ∵＝，∴＝，
∴＝m＋＝m＋.
又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，
∴m＝.
6．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为________．
答案 13
解析 以点A为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，
∴点P(1,4)，则·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2 ＝13，
当且仅当＝4t，即t＝时取“＝”，
∴·的最大值为13.
