课件38张PPT。第7练
不等式 [大题突破练] 题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 不等式的性质及解法要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
(3)解含参数不等式要正确分类讨论.1.若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是
A.若a>b，则ac2>bc2
B.若aab>b2解析 B中，∵a∴a2－ab＝a(a－b)>0，
ab－b2＝b(a－b)>0.
故a2>ab>b2，B正确.√2.(2019·衡中信息卷)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是
A.ab>bc B.acC.|ab|>|bc| √解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，当b＝0时，显然A，C错误；
因为a>b，c<0，所以ac当a＝2，c＝－1时，显然D错误.3.(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝ 则满足f(x＋1)A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)
C.(－1,0) D.(－∞，0)√即－(x＋1)<－2x，
解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1].解得x<0.因此不等式的解集为(－1,0).综上，不等式f(x＋1)由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)A.{x|x<－1} B.{x|x>4}
C.{x|x<－1或x>4} D.{x|x<0或x>5}√解析 画出y＝x＋3与y＝－x2＋3x＋6的图象如图所示，故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由f(x)<2，作出直线y＝2，数形结合得x<－1或x>4，
则由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5.√当1当2(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.7.(2019·开封模拟)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是
A.－4 B.－2 C.2 D.4√∴x＋y≤－2.
∴x＋y的最大值为－2.
故选B.A.8 B.9 C.12 D.16√9.(2019·保定模拟)若正数a，b满足ab＋a＋b＝3，则a＋b的最小值为________.2即(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥2或a＋b≤－6(舍去)，所以a＋b的最小值为2.解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，0∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，1.已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝ ，则A∩(?RB)等于
A.R B.(1，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－2,2]易错易混练√解析 因为y＝ln(x－1)的值域为R，所以A＝R.所以B＝{x|x≤－2或x>2}.
所以?RB＝(－2,2]，所以A∩(?RB)＝(－2,2].(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解.√解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，1.(2019·甘肃诊断)若a>b，ab≠0，则下列不等式恒成立的是
A.a2>b2 B.lg(a－b)>0押题冲刺练123456√123456解析 对于选项A, a2>b2不一定成立，如a＝1＞b＝－2，但是a2＜b2，所以该选项是错误的；对于选项D，因为a>b，所以2a>2b，所以该选项是正确的.故选D.2.若logm2A.mC.nA.3 B.4 C.6 D.9√解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，∴ab＝9.123456123456解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1).
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.123456123456123456 本课结束 第7练 不等式[小题提速练]
题组一 不等式的性质及解法
要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解含参数不等式要正确分类讨论．
1．若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若aD．若a
答案 B
解析 B中，∵a∴a2－ab＝a(a－b)>0，
ab－b2＝b(a－b)>0.
故a2>ab>b2，B正确．
2．(2019·衡中信息卷)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab>bc B．acC．|ab|>|bc| D.＋>0
答案 B
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，当b＝0时，显然A，C错误；因为a>b，c<0，所以ac3．(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案 D
解析 方法一 ①当即x≤－1时，f(x＋1)解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)方法二 ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{x＋3，－x2＋3x＋6}，则不等式f(x－1)<2的解集为( )
A．{x|x<－1} B．{x|x>4}
C．{x|x<－1或x>4} D．{x|x<0或x>5}
答案 D
解析 画出y＝x＋3与y＝－x2＋3x＋6的图象如图所示，
由图易得f(x)＝
故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由f(x)<2，作出直线y＝2，数形结合得x<－1或x>4，
则由不等式f(x－1)<2，可得x－1<－1或x－1>4，得x<0或x>5.
5．(2019·全国Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当－1f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当26．(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．
答案
解析 3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.
题组二 基本不等式
要点重组 (1)基本不等式：≥，a>0，b>0；
变形：ab≤2；
适用条件：一正二定三相等．
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
7．(2019·开封模拟)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 B
解析 由题意得2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，
∴1≥2，∴≥2x＋y，∴2－2≥2x＋y，
∴x＋y≤－2.
∴x＋y的最大值为－2.
故选B.
8．设x>0，y>0，若xlg 2，lg ，ylg 2成等差数列，则＋的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
答案 D
解析 ∵xlg 2，lg ，ylg 2成等差数列，
∴2lg ＝(x＋y)lg 2，∴x＋y＝1，
∴＋＝·(x＋y)＝10＋
≥10＋2＝10＋6＝16.
当且仅当x＝，y＝时取等号．
9．(2019·保定模拟)若正数a，b满足ab＋a＋b＝3，则a＋b的最小值为________．
答案 2
解析 因为a，b为正数，所以≤成立．
所以ab≤，
所以3＝ab＋a＋b≤＋(a＋b)，
即(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥2或a＋b≤－6(舍去)，
当即a＝b＝1时，等号成立．
所以a＋b的最小值为2.
10．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2
＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当即时取到等号，
故最小值为.
11．设x>0，则y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＝时取等号，
所以y＝x＋－的最小值为0.
12．(2019·天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．
答案
解析 ＝
＝＝2＋.
∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，
∴2＋≥2＋＝.
1．已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝，则A∩(?RB)等于( )
A．R B．(1，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－2,2]
答案 D
解析 因为y＝ln(x－1)的值域为R，所以A＝R.
又≥1，即≥0，解得x≤－2或x>2.
所以B＝{x|x≤－2或x>2}．
所以?RB＝(－2,2]，所以A∩(?RB)＝(－2,2]．
易错提醒 (1)因为集合A的代表元素是y，所以集合A表示函数y＝ln(x－1)的值域．因为集合B的代表元素是x，所以集合B表示分式不等式≥1的解集，此时易误将≥1变形为2x≥x－2.
(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解．
2．函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则＋的最小值为( )
A．3 B．2 C. D.
答案 C
解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＋＝＝＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，即m＝2－2，n＝2－时取等号．
易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求．本题中求出＋n＝1后，若采用两次基本不等式，易错选B.
1．(2019·甘肃诊断)若a>b，ab≠0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>b2 B．lg(a－b)>0
C.< D．2a>2b
答案 D
解析 对于选项A, a2>b2不一定成立，如a＝1＞b＝－2，但是a2＜b2，所以该选项是错误的；对于选项B, a＝，b＝，a－b＝，lg <0，所以该选项是错误的；对于选项C，－＝，因为b－a<0，ab符号不确定，所以<不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D，因为a>b，所以2a>2b，所以该选项是正确的．故选D.
2．若logm2A．mC．n答案 C
解析 ∵logm2∴lg n3．已知函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥1的解集为( )
A. B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C.∪[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案 D
解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，
由图可知|f(x)|≥1的解集为∪[2，＋∞)．
4．已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab等于( )
A．3 B．4 C．6 D．9
答案 D
解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，
又a>2，b>1，∴＋≤1，
∴2a＋b≥(2a＋b)＝
≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时上述等号同时成立．
∴ab＝9.
5．已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________．
答案
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)．
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.
所以＋＝·(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，取等号，故＋的最小值为.
6．若正实数x，y满足x＋2y＝5，则＋的最大值是________．
答案
解析 ＋＝＋2y－
＝(x＋1)－2＋2y－
＝x＋2y－1－(x＋1＋2y)
＝4－
≤4－
＝4－(4＋2)＝.
当且仅当＝，x＋2y＝5，
即x＝2，y＝时，等号成立．
