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三角函数的图象与性质 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 三角函数定义、诱导公式及基本关系要点重组 (1)(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的变形、转化.
(2)诱导公式：角 π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限.
(3)知切求弦，如：已知tan α，求sin2α－sin αcos α＋2cos2α的值.又P(m,2)为角α终边上一点，√√√√解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，题组二 三角函数的图象及应用√A.向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不
变得到
B.向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不
变得到
C.向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来 的，横坐标不
变得到
D.向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来 的，横坐标不
变得到√√√题组三 三角函数的性质√√解析 对于f(x)，任意x∈R，都有f(2θ－x)＝f(x)，
所以f(x)的图象关于x＝θ对称，√∴ω＝2＋3k，k∈Z，√解析 f(x)＝sin x(sin x－cos x)
＝sin2x－sin xcos x易错易混练√易错提醒 解此类题时要特别注意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为：“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧；③任何平移变换都是针对x而言的.解析 由图象知A＝2，∴y＝2sin(2x＋φ).易错提醒 求φ的值时，一般选函数图象的最高点或最低点的坐标代入，再结合φ的取值范围求解即可；若函数图象中只有函数值为0的点的坐标是已知的，则代入点的坐标时，需要数形结合，并注意φ的取值范围，否则就易步入命题人所设置的陷阱中，产生错解.1.(2019·烟台质检)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3,1)，则cos 2θ等于押题冲刺练123456√解析 由三角函数定义可知：2.(2019·衡水信息卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的函数解析式可能为123456√123456√123456√123456123456√123456123456∴D项错误.123456 本课结束 第8练 三角函数的图象与性质[小题提速练]
题组一 三角函数定义、诱导公式及基本关系
要点重组 (1)(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的变形、转化．
(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限．
(3)知切求弦，如：已知tan α，求sin2α－sin αcos α＋2cos2α的值．
1．(2019·宣城调研)已知P(m,2)为角α终边上一点，且tan＝3，则cos α等于( )
A. B. C．± D．±
答案 B
解析 ∵tan＝3，∴＝3，
解得tan α＝.
又P(m,2)为角α终边上一点，
∴tan α＝＝，∴m＝4，
∴cos α＝＝.
2．(2019·洛阳模拟)若cos＝，则cos
等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．(2018·全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|等于( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，
又cos α≠0，∴＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.
4．已知α为第二象限角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α等于( )
A. B．－ C．± D.
答案 A
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
又sin α＋cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴sin α－cos α＝－＝.
题组二 三角函数的图象及应用
要点重组 (1)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
(2)用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
5．将函数y＝sin(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得图象对应的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案 B
解析 将函数y＝sin(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，
得y＝sin.
6．(2019·潍坊模拟)函数y＝sin的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
B．向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
C．向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到
D．向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到
答案 D
解析 y＝sin 2x－cos 2x＝2sin
y＝2sin
y＝sin.
7.(2019·衡水金卷)已知函数f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，将f(x)的图象向右平移φ个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵f(x)＝sin ωx－2cos2＋1
＝sin ωx－cos ωx＝2sin，
则g(x)＝2sin＝2sin.
由题图知T＝2＝π，
∴ω＝2，g(x)＝2sin，
则g＝2sin＝2sin＝2，
即－2φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－kπ，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝.
8.(2019·合肥模拟)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为( )
A. B. C．8 D．16
答案 B
解析 设Q(a,0)，则R(0，－a)(a>0)，则M，
由两点间距离公式得PM＝＝2，
解得a＝8，∴＝8－2＝6，∴T＝12，ω＝.
由P(2,0)，|φ|≤，得φ＝－，
∴f(x)＝Asin，
又f(0)＝Asin＝－8，得A＝.
题组三 三角函数的性质
要点重组 (1)三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
9．(2019·衡水调研卷)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为( )
A．2 B. C．3 D.
答案 B
解析 由题意得ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝3k－，k∈Z.
因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值.
10．(2019·聊城模拟)设函数f(x)＝sin x－cos x，对于任意的x∈R，都有f(2θ－x)＝f(x)，则sin等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 对于f(x)，任意x∈R，都有f(2θ－x)＝f(x)，
所以f(x)的图象关于x＝θ对称，
因为x－＝＋kπ，k∈Z，
所以x＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z，
sin＝sin＝－sin ＝－.
11．(2019·齐鲁名校协作体)已知函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则( )
A．ω＝2
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上为增函数
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案 D
解析 f(x)＝sin
g(x)＝sin＝sin，
∵g(x)为偶函数，∴－＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝2＋3k，k∈Z，
∴f(x)＝sin(k∈Z)，经验证得D正确．
12．若存在实数m使得函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)在区间[2，m]上单调递减，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 f(x)＝sin x(sin x－cos x)
＝sin2x－sin xcos x
＝－sin 2x
＝－sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，
取k＝1，得f(x)在上单调递减，
所以[2，m]?，
所以实数m的取值范围是.
1．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案 C
解析 方法一 ∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos，
∴可以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
方法二 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin
＝sin，
又y＝cos 3x＝sin＝sin，
所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到．
易错提醒 解此类题时要特别注意的地方有：①三角函数图象变换的口诀为：“左加右减，上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技巧；③任何平移变换都是针对x而言的．
2.某正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________________．
答案 y＝2sin
解析 由图象知A＝2，
由＝－得T＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝2sin(2x＋φ)．
又2sin＝0，|φ|<，得φ＝－，
∴函数的解析式为y＝2sin.
易错提醒 求φ的值时，一般选函数图象的最高点或最低点的坐标代入，再结合φ的取值范围求解即可；若函数图象中只有函数值为0的点的坐标是已知的，则代入点的坐标时，需要数形结合，并注意φ的取值范围，否则就易步入命题人所设置的陷阱中，产生错解．
1．(2019·烟台质检)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3,1)，则cos 2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由三角函数定义可知：
cos θ＝＝＝－＝－，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝.
2.(2019·衡水信息卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的函数解析式可能为( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
答案 B
解析 由题图知f(0)＝－，f?＝0，将其代入各选项，易得B正确．
3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象上存在A(x1，0)，B(x2，0)两点，|AB|的最小值为，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则g(x)等于( )
A．－2sin 2x B．2sin 3x
C．2cos D．2sin
答案 A
解析 f(x)＝2sin，
因为|AB|的最小值为＝×＝，解得ω＝2，
所以g(x)＝2sin＝2sin(2x＋π)
＝－2sin 2x.
4．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 A
解析 y＝sin 2x
y＝sin ＝sin.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝sin的单调增区间是
(k∈Z)．
5.已知函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其图象的一个最高点A，且B，则( )
A．φ＝－
B．直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴
C．f?＝f(2π)
D．函数f(x)在区间上单调递减
答案 C
解析 由题意知M＝2，T＝－＝，
则T＝π，∴ω＝.
故f(x)＝2sin，
把A代入得×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝－，∴A项错误；
∴f(x)＝2sin，
f?＝2sin＝1≠±2，∴B项错误；
∵f?＝2sin＝1，
f(2π)＝2sin＝2sin ＝1，∴C项正确；
∵函数f(x)在上先增后减，
∴D项错误．
6．(2019·石家庄模拟)若函数f(x)＝2sin(2x－φ)＋在上有两个零点，则φ的取值范围是________．
答案
解析 当x∈时，2x－φ∈，
∵0<φ<，又f(x)在上有两个零点，
∴解得≤φ≤.
