课件42张PPT。第9练
三角恒等变换、解三角形 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 三角恒等变换√√√解析 函数的解析式y＝(cos x＋sin x)sin x√将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，5.(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析 ∵sin α＋cos β＝1， ①
cos α＋sin β＝0， ②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，题组二 解三角形√8.(2019·100所名校联考)若△ABC的面积S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC的外接圆半径R为
A.1 B.2 C.4 D.8√4sin B＝AC，√11.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且sin A∶sin B∶sin C＝
2∶3∶4，则cos C＝________；BC＝1时，△ABC的面积等于________.解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.
令a＝2t，b＝3t，c＝4t，t>0，12.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b＋2c)cos A＝－acos B，设D为BC的中点，b＝4，AD＝ ，则c＝________.6解析 ∵(b＋2c)cos A＝－acos B，
由正弦定理得(sin B＋2sin C)cos A＝－sin Acos B，
即sin Bcos A＋sin Acos B＝－2sin Ccos A，
所以sin(A＋B)＝sin C＝－2sin Ccos A，则有c2＋b2＋2bccos A＝4AD2，
代入数据可解得c＝6(负值舍去).易错易混练1.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边.
下列四个命题：
①若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形；
②若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形；
③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形；
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)①③④解析 命题①：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴①正确；
命题②：由acos A＝bcos B，可得sin 2A＝sin 2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴②错；
命题③：可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴③正确；
命题④：由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴④正确.√易错提醒 解三角形中的最值与范围问题主要是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数式，结合角的范围确定所求式的范围，角的范围的确定是出错的根本原因.押题冲刺练123456√2.已知△ABC的面积为4，且2sin Asin B＝sin C，则AB的长为123456√解析 由正弦定理得，2BCsin B＝AB，∴AB2＝16，∴AB＝4.123456√123456即tan α＝－4.123456√123456解析 ∵角A，B，C成等差数列，∴由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacos B得，
49＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－120，
解得a＋c＝13(负值舍去).
∴设△ABC的内切圆的半径为r，123456123456123456又D为BC中点，所以AD＝BD＝CD，
所以△ADC为等边三角形，123456123456解析 AC＝2AD＝2，所以AC＝2，AD＝1，
设AB＝m，BD＝CD＝n，②①1234561234566.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cos Asin Bsin C＋cos Bsin A
sin C＝2cos Csin Asin B，则C的最大值为______.123456解析 由正弦定理，得bccos A＋accos B＝2abcos C，∴a2＋b2＝2c2，123456当且仅当a＝b时，取等号. 本课结束 第9练 三角恒等变换、解三角形[小题提速练]
题组一 三角恒等变换
要点重组 (1)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α.α＝(α－β)＋β等．
(2)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
(3)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.
1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.
2.的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 原式＝
＝
＝＝.
3．(2019·滨州模拟)函数y＝(cos x＋sin x)cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 函数的解析式y＝(cos x＋sin x)sin x
＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋
＝＋sin.
函数的单调递增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，
表示为区间形式即(k∈Z)．故选B.
4．(2019·江西省重点中学协作体联考)若＝sin 2θ，则sin 2θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由题意得＝
＝2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，
解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)，
所以sin 2θ＝－.
5．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
6．若α∈，则的最大值为________．
答案
解析 ∵α∈，
∴＝＝，且tan α>0.
∴＝≤＝.
当且仅当tan α＝，即tan α＝2时，等号成立．
故的最大值为.
题组二 解三角形
要点重组 (1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
7．(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4 B. C. D．2
答案 A
解析 ∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
8．(2019·100所名校联考)若△ABC的面积S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC的外接圆半径R为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 由S＝2BC·sin Bsin C＝AC·BCsin C得
4sin B＝AC，
∴＝4＝2R，∴R＝2.
9．(2019·临沂模拟)在△ABC中，a＝3，c＝2，bsin A＝acos，则b等于( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 由正弦定理得，
sin B·sin A＝sin A·cos，
∵sin A≠0，∴sin B＝cos＝cos B－sin B.
即sin B＝cos B，∴tan B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B
＝9＋12－2×3×2×＝3，∴b＝.
10．(2019·驻马店模拟)在△ABC中，若b2＋c2＝a2－bc，且·＝－4，则S△ABC＝________.
答案
解析 由b2＋c2＝a2－bc得，
cos A＝＝－，∴sin A＝，
又·＝bccos A＝－bc＝－4，∴bc＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________；BC＝1时，△ABC的面积等于________．
答案 －
解析 ∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.
令a＝2t，b＝3t，c＝4t，t>0，
则cos C＝＝－，∴sin C＝.
当BC＝1时，AC＝，
∴S△ABC＝×1××＝.
12．(2019·全国100所名校冲刺卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b＋2c)cos A＝－acos B，设D为BC的中点，b＝4，AD＝，则c＝________.
答案 6
解析 ∵(b＋2c)cos A＝－acos B，
由正弦定理得(sin B＋2sin C)cos A＝－sin Acos B，
即sin Bcos A＋sin Acos B＝－2sin Ccos A，
所以sin(A＋B)＝sin C＝－2sin Ccos A，
因为sin C≠0，所以cos A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
又D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2·＋2＝42，
则有c2＋b2＋2bccos A＝4AD2，
代入数据可解得c＝6(负值舍去)．
1．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边．
下列四个命题：
①若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形；
②若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形；
③若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形；
④若＝＝，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
答案 ①③④
解析 命题①：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴①正确；
命题②：由acos A＝bcos B，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴②错；
命题③：可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴③正确；
命题④：由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴④正确．
易错提醒 在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝；若cos 2A＝cos 2B，则A＝B.
2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是( )
A．(1，) B．(，)
C．(1，) D．(，2)
答案 B
解析 ∵B＝2A,0<2A<，且B＋A＝3A，
∴<3A<π，∴
∴由正弦定理得＝＝2cos A，∴<<.
易错提醒 解三角形中的最值与范围问题主要是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数式，结合角的范围确定所求式的范围，角的范围的确定是出错的根本原因．
1．已知sin＝－，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 sin＝sin
＝－sin＝－，
所以sin＝，
cos＝cos＝sin＝.
2．已知△ABC的面积为4，且2sin Asin B＝sin C，则AB的长为( )
A．4 B．2 C．2 D.
答案 A
解析 由正弦定理得，2BCsin B＝AB，
又BC·ABsin B＝4，
∴AB2＝16，∴AB＝4.
3．若sin cos ＋cos cos ＝，则tan等于( )
A．0 B. C．－ D．－
答案 C
解析 sin cos ＋cos cos
＝sin cos －cos sin
＝sin＝sin
＝－＝，
即tan α＝－4.
∴tan＝＝＝－.
4．(2019·宣城调研)在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，c，若·＝20，b＝7，则△ABC的内切圆半径为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 ∵角A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C＝π－B，即B＝，
∴·＝cacos ＝20，即ac＝40.
∴由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacos B得，
49＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－120，
解得a＋c＝13(负值舍去)．
∴设△ABC的内切圆的半径为r，
则(a＋b＋c)r＝acsin B，
可得×(13＋7)r＝×40×，
解得r＝.
5．在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.
(1)若AB＝BD，则∠CAD＝________；
(2)若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos
＝3BD2＋BD2－2BD2×＝BD2，
所以AD＝BD，所以∠DAB＝∠B＝，
所以∠ADC＝，
又D为BC中点，所以AD＝BD＝CD，
所以△ADC为等边三角形，
所以∠CAD＝.
(2)AC＝2AD＝2，所以AC＝2，AD＝1，
设AB＝m，BD＝CD＝n，
在△ABD中，1＝m2＋n2－2mncos ，
即1＝m2＋n2－mn，①
又在△ABC中，4＝m2＋4n2－4mncos ，
即4＝m2＋4n2－2mn，②
联立①②两式解得m＝n，
所以1＝n2＋n2－×n2，
解得n2＝3，mn＝n2＝2，
S△ABC＝m×2nsin ＝mn＝.
6．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cos Asin Bsin C＋cos Bsin Asin C＝2cos Csin Asin B，则C的最大值为______．
答案
解析 由正弦定理，得bccos A＋accos B＝2abcos C，
由余弦定理，得
bc·＋ac·＝2ab·，
∴a2＋b2＝2c2，
∴cos C＝
＝
＝≥＝，
当且仅当a＝b时，取等号．
∵0∴C的最大值为.
