课件37张PPT。第10练
三角函数与解三角形 [大题规范练]题组对点练栏目索引模板规范练题组对点练题组一 三角函数问题要点重组 求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，得y＝Asin t，通过研究复合函数的性质求解目标.
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质.2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；题组二 三角形基本量的求解问题要点重组 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.(1)求cos∠BAC；解 在△ABC中，由余弦定理得，(2)若∠D＝45°，∠BAD＝90°，求CD.解 因为∠DAC＝90°－∠BAC，所以CD＝5.(1)求sin C的值；题组三 解三角形的综合问题要点重组 (1)若已知平面图形为不规则图形，可通过作辅助线构造三角形.
(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值范围.
(3)解三角形与平面向量往往结合在一起命题，高考第一道解答题通常将向量的数量积、模、正弦定理、余弦定理、三角形面积等知识融于一体考查.证明 由△ABC的性质可知，A＋B＋C＝π，(2)当b＝2sin B时，求a＋c的取值范围.即a＋c＝2(sin A＋sin C).＝2(sin A＋cos 2A)＝2(sin A＋1－2sin2A)(1)求角C的大小；即acos 2C＋2ccos Acos C＋a＋b＝0.
由正弦定理得sin Acos 2C＋2sin Ccos Acos C＋sin A＋sin B＝0，
即2sin Acos2C＋2sin Ccos Acos C＋sin B＝0，
即2(sin Acos C＋sin Ccos A)cos C＋sin B＝0，
∴2sin Bcos C＋sin B＝0，(2)若△ABC的外接圆的半径为2，求△ABC的面积的最大值.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即a2＋b2＋ab＝12，
因为12＝a2＋b2＋ab≥3ab，解得ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时等号成立.模板规范练典例 (12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC的中点为D，且AD＝ ，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积.模板体验审题路线图规范解答·评分标准
解 (1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0，…………………………………1分
由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac. …………………………………………………………………3分(2)设∠BAD＝θ，构建答题模板
[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.
[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.
[第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.
[第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性.规范演练(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积.解得BD＝2或BD＝－8(舍去)，
则BC＝BD＋DC＝6，(1)求函数y＝f(x)(0
题组一 三角函数问题
要点重组 求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝Asin(ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，得y＝Asin t，通过研究复合函数的性质求解目标．
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质．
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝2两相邻交点之间的距离为π，且图象关于x＝对称．
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)先将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象．求g(x)的单调递增区间以及满足g(x)≥的x的取值范围．
解 (1)由已知可得T＝π， ＝π，∴ω＝2，
又f(x)的图象关于x＝对称，
∴2·＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ－，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin.
(2)由(1)可得f(x)＝2sin，
∴g(x)＝2sin，
∴由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
∵2sin≥，
∴sin≥，
∴2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴x的取值范围是.
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π) 的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝m在上有两个不同的实根，求m的取值范围．
解 (1)由图可知A＝1, ＝·＝－，∴ω＝2.
由图象可得2·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由(1)及图知，方程f(x)＝sin＝m在上有两个不同的实根，
可得直线y＝m和f(x)的图象在上有两个不同的交点．
由于f(x)在，上单调递减，在上单调递增，f?＝，f?＝0，
作出f(x)和直线y＝m在区间上的图象(图略)，
∴m∈∪.
题组二 三角形基本量的求解问题
要点重组 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
3.(2019·潍坊模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，AC＝4.
(1)求cos∠BAC；
(2)若∠D＝45°，∠BAD＝90°，求CD.
解 (1)在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝
＝＝.
(2)因为∠DAC＝90°－∠BAC，
所以sin∠DAC＝cos∠BAC＝，
所以在△ACD中，由正弦定理得，
＝，＝，
所以CD＝5.
4．(2019·衡水信息卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝，＝，c＝11.
(1)求sin C的值；
(2)若B∈，求△ABC的面积．
解 (1)由tan A＝>0知A为锐角，
由得sin A＝，cos A＝.
∵＝，∴＝2cos A，
∴sin B＝2sin Acos A＝2××＝.
∴cos B＝±.
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝或.
(2)若B∈，则sin C＝.
由正弦定理得＝，解得a＝5.
故△ABC的面积S＝acsin B＝×5×11×＝110.
题组三 解三角形的综合问题
要点重组 (1)若已知平面图形为不规则图形，可通过作辅助线构造三角形．
(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值范围．
(3)解三角形与平面向量往往结合在一起命题，高考第一道解答题通常将向量的数量积、模、正弦定理、余弦定理、三角形面积等知识融于一体考查．
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2A＋C＝.
(1)证明：tan A＝；
(2)当b＝2sin B时，求a＋c的取值范围．
(1)证明 由△ABC的性质可知，A＋B＋C＝π，
又2A＋C＝，可得B－A＝，即得B＝A＋，
那么sin B＝sin，可得sin B＝cos A，
由正弦定理可得，tan A＝＝＝.
(2)解 由b＝2sin B及正弦定理可得，
＝＝＝2，
即a＋c＝2(sin A＋sin C)．
由2A＋C＝可得C＝－2A，且0那么a＋c＝2
＝2(sin A＋cos 2A)＝2(sin A＋1－2sin2A)
＝－42＋，
由0<－42＋≤，
由此可知，当b＝2sin B时，a＋c的取值范围为.
6．(2019·衡水调研卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝，n＝(cos 2C＋1，2c)，且m·n＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的外接圆的半径为2，求△ABC的面积的最大值．
解 (1)由题意得
m·n＝·(cos 2C＋1,2c)
＝a(cos 2C＋1)＋2c＝0.
即acos 2C＋2ccos Acos C＋a＋b＝0.
由正弦定理得sin Acos 2C＋2sin Ccos Acos C＋sin A＋sin B＝0，
即2sin Acos2C＋2sin Ccos Acos C＋sin B＝0，
即2(sin Acos C＋sin Ccos A)cos C＋sin B＝0，
∴2sin Bcos C＋sin B＝0，
∵0又0(2)由正弦定理得，＝2R，
∴c＝2Rsin C＝2×2sin ＝2.
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即12＝a2＋b2－2abcos ，
即a2＋b2＋ab＝12，
因为12＝a2＋b2＋ab≥3ab，解得ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时等号成立．
所以S△ABC＝absin C＝ab≤×4＝，
故△ABC的面积的最大值为.
典例 (12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sin A－sin C)，向量n＝(c，sin A－sin B)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
审题路线图
―→
―→―→
规范解答·评分标准
解 (1)因为m∥n，
所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0，………………………………………………1分
由正弦定理，可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，
即a2＋c2－b2＝ac. ………………………………………………………………………………3分
由余弦定理可知，cos B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.……………………………………………………………………5分
(2)设∠BAD＝θ，
则在△BAD中，由B＝可知，θ∈.
由正弦定理及AD＝，得＝＝＝2，
所以BD＝2sin θ，AB＝2sin＝cos θ＋sin θ，
所以a＝2BD＝4sin θ，c＝AB＝cos θ＋sin θ，……………………………………………8分
从而a＋2c＝2cos θ＋6sin θ＝4sin.
由θ∈可知，θ＋∈，
所以当θ＋＝，即θ＝时，
a＋2c取得最大值4.…………………………………………………………………………11分
此时a＝2，c＝，所以S△ABC＝acsin B＝.………………………………12分
构建答题模板
[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系．
[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化．
[第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论．
[第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性．
1．(2019·衡水信息卷)在△ABC中，D是BC边上一点，且AD＝6，DC＝4，AC＝2，sin B＝.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)在△ADC中，由余弦定理得
cos∠ADC＝＝＝.
又∠ADC∈(0，π)，所以∠ADC＝，则∠ADB＝，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以AB＝＝＝2.
(2)在△ADB中，由余弦定理得
cos∠ADB＝＝＝－，
解得BD＝2或BD＝－8(舍去)，
则BC＝BD＋DC＝6，
所以△ABC的面积S＝AB×BC×sin B
＝×2×6×＝9.
2．已知f(x)＝2cos x·sin＋sin x·cos x－sin2x.
(1)求函数y＝f(x)(0(2)设△ABC的内角A满足f(A)＝2，而·＝，求BC边上的高AD的最大值．
解 (1)f(x)＝2cos x·sin＋2sin x·cos
＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以当0(2)由f(A)＝2知A＝，
由·＝知bc＝2，
∴S△ABC＝bcsin A＝＝a·AD，
而a＝≥＝－1，
当且仅当b＝c＝时，等号成立，
∴BC边上的高AD≤.
即AD的最大值为.
