课件42张PPT。第13练
空间几何体、表面积与体积 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 空间几何体的表面积与体积要点重组 (1)求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体.1.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为√ 解析 设长方体的三条棱的长分别为x,y,z,2.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,则四面体P-AEF的高为√ 解析 由题意可知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,设P到平面AEF的距离为h,故选B.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点E在棱BB1上,动点F在线段A1C1上,O为底面ABCD的中心,若BE=x,A1F=y,则四面体O-AEF的体积
A.与x,y都有关
B.与x,y都无关
C.与x有关,与y无关
D.与y有关,与x无关√ 解析 因为VO-AEF=VE-OAF,所以考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的积,
因为BB1∥平面ACC1A1,
所以点E到平面AOE的距离为定值,
又AO∥A1C1,
所以OA为定值,点F到直线AO的距离也为定值,
即△AOF的面积是定值,
所以四面体O-AEF的体积与x,y都无关,故选B.4.在四面体P-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为√ 解析 如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,
因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形,
又∠DAB=180°-∠CAB=120°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB,
因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,
所以CB⊥PB,
因为DB∩PB=B,DB?平面PBD,PB?平面PBD,
所以CB⊥平面PBD,因为A为DC的中点,因为DA=AC=AP=3,故△PDC为直角三角形,解析 设圆锥的母线长为l,解析 由题意可得,四棱锥底面对角线的长为2,题组二 多面体与球(2)当球内切于正方体时,球的直径等于正方体的棱长,当球外接于长方体时,长方体的体对角线长等于球的直径;当球与正方体各棱都相切时,球的直径等于正方体底面的对角线长.√ 解析 设正方体的棱长为a,则6a2=6,故a=1,8.(2019·乌鲁木齐质检)正方体的表面积是6.它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是
A.2π B.3π C.12π D.18π√ 所以S=4πR2=3π,故选B.√ 解析 连接AC,BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD,
可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,解得PA=1,
故选C.√解析 如图所示,Rt△PAC,Rt△PAB为等腰直角三角形,以顶点P为球心,以2为半径作一个球与Rt△PAC的PC,AC分别交于M,N,故选B.√解析 在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,
∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC.
又SA⊥平面ABC,
∴SA⊥AB,SA⊥BC,故球O的表面积为4π×22=16π.√解析 易知△ABC是等边三角形.如图,作OM⊥平面ABC,则点O为三棱锥P-ABC外接球的球心.故该球的表面积S=4πR2=8π.易错易混练1.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD中点,则四面体A-BC1M的体积为√又CC1⊥平面ABCD,故选C.易错提醒 在求几何体的体积时,有时可以利用等积转换法,不一定非找顶点到底面的距离.2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为
A.36π B.64π C.144π D.256π√解析 易知△AOB的面积确定,若三棱锥O-ABC的底面AOB上的高最大,
则其体积最大.
因为高最大为半径R,解得R=6.故S球=4πR2=144π.易错提醒 多面体与球的切、接问题,要明确切点、接点的位置,利用合适的截面图确定两者的关系,要熟悉长方体与球的各种组合.押题冲刺练123456√1.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为解析 圆柱的侧面展开图如图,
圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,
则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,2.(2019·潍坊模拟)一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为
A.6π B.12π C.32π D.48π123456√解析 如图所示,
由题意知,PA=AB=BC=2,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥BC,
所以该四面体可以补为分别以AB,BC,PA为长、宽、高的正方体,1234563.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知正四面体S-ABC内切球的表面积为2π,则它的外接球的表面积为
A.16π B.18π C.22π D.20π√123456解析 如图所示,将四面体S-ABC放在如图所示的正方体中,123456123456√123456解析 设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O,O1,可得OA=2,O1A1=1.设外接球的半径为R,
如果外接球的球心在线段O1O上,123456解析 设球的半径为r,O′是△ABC的外心,6π1234566.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=60°,PA+AB=6,AD=3,则当四棱锥P-ABCD的体积最大时,AB=________.123456解析 作AH⊥BC于点H,设BH=x(0则f′(x)=-3x2-6x+18=-3(x2+2x-6).因为PA+AB=6,
所以四棱锥P-ABCD的高PA=6-2x,123456 本课结束 第13练 空间几何体、表面积与体积[小题提速练]
题组一 空间几何体的表面积与体积
要点重组 (1)求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体.
1.已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( )
A.4 B. C.2 D.4
答案 B
解析 设长方体的三条棱的长分别为x,y,z,则可得体对角线的长为===.故选B.
2.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,则四面体P-AEF的高为( )
A. B.
C. D.1
答案 B
解析 由题意可知PA,PE,PF两两垂直,
∴PA⊥平面PEF,
∴VA-PEF=S△PEF·PA=××1×1×2=,
设P到平面AEF的距离为h,
又S△AEF=22-×1×2-×1×2-×1×1=,
∴VP-AEF=S△AEF·h=××h=,
∴=,故h=,
故选B.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点E在棱BB1上,动点F在线段A1C1上,O为底面ABCD的中心,若BE=x,A1F=y,则四面体O-AEF的体积( )
A.与x,y都有关
B.与x,y都无关
C.与x有关,与y无关
D.与y有关,与x无关
答案 B
解析 因为VO-AEF=VE-OAF,
所以考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的积,
因为BB1∥平面ACC1A1,
所以点E到平面AOE的距离为定值,
又AO∥A1C1,
所以OA为定值,点F到直线AO的距离也为定值,
即△AOF的面积是定值,
所以四面体O-AEF的体积与x,y都无关,故选B.
4.在四面体P-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为( )
A.3 B.2 C. D.
答案 C
解析 如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,
因为AD=AB=3,故△ADB为等腰三角形,
又∠DAB=180°-∠CAB=120°,
故∠ADB=(180°-120°)=30°,
所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB,
因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,
所以CB⊥PB,
因为DB∩PB=B,DB?平面PBD,PB?平面PBD,
所以CB⊥平面PBD,
所以V三棱锥P-CBD=V三棱锥C-PBD=×CB×S△PBD,
因为A为DC的中点,
所以V三棱锥P-ABC
=V三棱锥P-CBD=×3×S△PBD=S△PBD,
因为DA=AC=AP=3,故△PDC为直角三角形,
所以PD===,
又DB=AD=3,而PB=4,故DB2=PD2+PB2即△PBD为直角三角形,
所以S△PBD=×4×=2,
所以V三棱锥P-ABC=,故选C.
5.某圆锥体的侧面图是圆心角为π的扇形,当侧面积是27π时,则该圆锥体的体积是________.
答案 18π
解析 设圆锥的母线长为l,
则侧面展开图扇形的面积S=×l2=27π,∴l=9.
又设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=l,
∴r=l=3,
∴圆锥的高h===6,
∴该圆锥体的体积是V圆锥=·πr2·h=×π×9×6=18π.
6.(2019·天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为,若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为________.
答案
解析 由题意可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为,易知四棱锥的高为=2,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为π×2×1=.
题组二 多面体与球
要点重组 (1)设球的半径为R,球的截面圆半径为r,球心到球的截面的距离为d,则有r=.
(2)当球内切于正方体时,球的直径等于正方体的棱长,当球外接于长方体时,长方体的体对角线长等于球的直径;当球与正方体各棱都相切时,球的直径等于正方体底面的对角线长.
(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的外接球半径为a,内切球半径为a.
7.已知半径为2的球内有一个内接圆柱,若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设圆柱的底面圆半径为r,则r==,所以圆柱的体积V1=π·()2×2=6π.又球的体积V2=π×23=π,所以球的体积与圆柱的体积的比==,故选D.
8.(2019·乌鲁木齐质检)正方体的表面积是6.它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是( )
A.2π B.3π C.12π D.18π
答案 B
解析 设正方体的棱长为a,则6a2=6,故a=1,又其外接球的直径2R=a=,所以R=,所以S=4πR2=3π,故选B.
9.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD,PA⊥底面ABCD,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上,则PA的长为( )
A.3 B.2 C.1 D.
答案 C
解析 连接AC,BD交于点E,取PC的中点O,连接OE,可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD,
可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等,即O为球心,设球半径为R,
可得R=PC=,
可得π·3=,
解得PA=1,
故选C.
10.已知三棱锥P-ABC的棱AP,AB,AC两两垂直,且长度都为,以顶点P为球心,以2为半径作一个球,则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )
A.3π B. C. D.
答案 B
解析 如图所示,Rt△PAC,Rt△PAB为等腰直角三角形,
且AP=AB=AC=.
以顶点P为球心,以2为半径作一个球与Rt△PAC的PC,AC分别交于M,N,
得cos∠APN=,所以∠APN=,
所以∠NPM=,所以=×2=,
同理=, =×1=,
又AP,AB,AC两两垂直,且长度都为,
所以PB=PC=BC=,所以∠BPC=,
所以=×2=,
所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于+++==.
故选B.
11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为( )
A.4π B.12π C.16π D.64π
答案 C
解析 在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,
∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC.
又SA⊥平面ABC,
∴SA⊥AB,SA⊥BC,
∴三棱锥S-ABC可补成分别以BC=,AB=1,SA=2为长、宽、高的长方体,
∴球O的直径为=4,
故球O的表面积为4π×22=16π.
12.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,∠BAC=60°,PA=2,AB=AC=,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C.8π D.12π
答案 C
解析 易知△ABC是等边三角形.如图,作OM⊥平面ABC,其中M为△ABC的中心,且点O满足OM=PA=1,则点O为三棱锥P-ABC外接球的球心.于是,该外接球的半径R=OA===.故该球的表面积S=4πR2=8π.
1.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD中点,则四面体A-BC1M的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵M为CD中点,∴S△AMB=S?ABCD=,
又CC1⊥平面ABCD,
∴==S△ABM·CC1=.
故选C.
易错提醒 在求几何体的体积时,有时可以利用等积转换法,不一定非找顶点到底面的距离.
2.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
答案 C
解析 易知△AOB的面积确定,若三棱锥O-ABC的底面AOB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以(VO-ABC)max=×R2×R=36,解得R=6.故S球=4πR2=144π.
易错提醒 多面体与球的切、接问题,要明确切点、接点的位置,利用合适的截面图确定两者的关系,要熟悉长方体与球的各种组合.
1.已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.2
答案 A
解析 圆柱的侧面展开图如图,圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,AC==2.故选A.
2.(2019·潍坊模拟)一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2,则该四面体外接球的表面积为( )
A.6π B.12π C.32π D.48π
答案 B
解析 如图所示,由题意知,PA=AB=BC=2,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥BC,所以该四面体可以补为分别以AB,BC,PA为长、宽、高的正方体,则该四面体外接球的直径为=2,故表面积为4π()2=12π.
3.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知正四面体S-ABC内切球的表面积为2π,则它的外接球的表面积为( )
A.16π B.18π C.22π D.20π
答案 B
解析 如图所示,将四面体S-ABC放在如图所示的正方体中,设正方体的棱长为a,则该正四面体的棱长为a,设内切球的半径为r,
则r=×a=a.
由题意知4π×2=2π,解得a=,
故正四面体S-ABC的外接球的半径为××=,
即外接球的表面积S=4π×2=18π.
4.已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面为正三角形,AA1=BB1=CC1=A1B1=,AB=2,则三棱台ABC-A1B1C1的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.16π
答案 C
解析 设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O,O1,
由AA1=BB1=CC1=A1B1=,AB=2,
可得OA=2,O1A1=1.设外接球的半径为R,
如果外接球的球心在线段O1O上,
则+=,
化简得,=-,显然不成立,
所以球心在O1O的延长线上,
则-=,解得R2=,
所以外接球的表面积为.
5.(2019·宣城调研)已知A,B,C三点在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距离等于球半径的,则球O的表面积为________.
答案 6π
解析 设球的半径为r,O′是△ABC的外心,△ABC的外接圆半径为R=,∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的,∴r2-r2=,得r2=,球的表面积S=4πr2=4π×=6π.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=60°,PA+AB=6,AD=3,则当四棱锥P-ABCD的体积最大时,AB=________.
答案 2-2
解析 作AH⊥BC于点H,设BH=x(0则AB=2x,AH=x,
所以梯形ABCD的面积
S=(x+3+3)×x=x(x+6).
因为PA+AB=6,
所以四棱锥P-ABCD的高PA=6-2x,
所以四棱锥P-ABCD的体积
V=×x(x+6)×(6-2x)=(-x3-3x2+18x).
设f(x)=-x3-3x2+18x,x∈(0,3),
则f′(x)=-3x2-6x+18=-3(x2+2x-6).
令f′(x)=0,解得x=-1或x=--1(舍去),
所以f(x)在区间(0,-1)内单调递增,在区间(-1,3)内单调递减,所以当x=-1时,f(x)取得最大值,
即四棱锥P-ABCD的体积V取得最大值,此时AB=2x=2-2.