课件43张PPT。第14练
空间点、线、面的位置关系 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 空间线面位置关系的判断要点重组 判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了.如果要否定一结论，只需找到一个反例即可.1.(2019·潍坊模拟)设α，β为两个不同平面，直线m?α，则“α∥β”是“m∥β”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√ 解析 若α∥β，m?α，则m∥β；
反之，若m∥β，且m?α，则α，β可以平行也可以相交，
故“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.2.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C.若m∥α，n∥α，则m∥n
D.若m∥α，α∥β，则m∥β√ 解析 若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；
若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；
若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
若m∥α，α∥β，则m?β或m∥β，故D错误.3.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交成60°角 D.异面且成60°角√ 解析 如图，直线AB，CD异面.
因为CE∥AB，
所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.4.(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________________________________.若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)解析 若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③?②正确；
若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α可以相交但不垂直，故①②?③不正确；
若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③?①正确.题组二 空间角的求解要点重组 (1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置.
(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影.√ 解析 方法一 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，
由长方体性质可知，B1B′∥AD1，
所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′，方法二 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.6.已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4，若平面ABC与平面BCD垂直，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ等于√ 解析 以DB，DC为邻边作平行四边形BDCE，连接DE，AE，如图所示，
易知∠ABE为异面直线AB与CD所成的角.√ 解析 设D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，AE∩CD＝F，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
∴∠CPD为PC与平面PAB所成的角，∵球O的表面积为20π，∵PA⊥平面ABC，
∴PA＝2OF＝2，故选C.8.(2019·浙江)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则
A.β＜γ，α＜γ B.β＜α，β＜γ
C.β＜α，γ＜α D.α＜β，γ＜β√解析 由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，
所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，
而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β＜γ；
因为AC?平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α＞β.题组三 空间点、线、面的综合问题要点重组 (1)认真审题，并细观所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；
(2)解决与翻折有关的问题的两个关键
①要明确翻折前后的变化量和不变量.一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化.
②在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形.√ 解析 若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；
由题干知△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，于是B正确；
由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知，C不正确；√ 解析 ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，
∴EF∥AD1∥BC1.
∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴EF∥平面BCC1B1.11.(2019·衡中调研)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E，F的平面分别与棱BB1，DD1交于点G，H，设BG＝x，x∈[0，a].给出以下四个命题：①平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为45°；②四边形EGFH的面积的最小值为a2；③四棱锥C1－EGFH的体积为 ；④点B1到平面EGFH的距离的最大值为 a.其中真命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√ 解析 平面EGFH与平面ABCD所成角最大为∠D1BD≠45°，故①错误；
连接GH，由题意可知四边形EGFH为菱形，因为平面B1D1DB⊥平面EGFH，作B1M⊥GH于点M，
则线段B1M的长度即为点B1到平面EGFH的距离，
最大值为点B1到D1B的距离，综上，真命题共3个.12.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；
④∠PDA＝45°.
正确的为________.(把所有正确的序号都填上)①④解析 由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，
得AE⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴PB⊥AE，
∴①正确；
由正六边形的性质计算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正确.易错易混练1.α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是
A.α，β都平行于直线l，m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β√解析 对于A，l，m应相交；
对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；
对于C，l，m应相交.易错提醒 线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想.2.已知高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为21π，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为√解析 设此正三棱柱两底面的中心为O1，O2，AB＝a，
则球O的球心为线段O1O2的中点，
设球O的半径为R，记A1B1，BB1，BC的中点分别为D，E，F，
则DE∥A1B，EF∥B1C，
则∠DEF为异面直线A1B与B1C所成的角或其补角，押题冲刺练1234561.(2019·临沂模拟)已知直线a，b和平面α，若a?α，b?α，则“a⊥b”是“b⊥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若a?α，b?α，a⊥b?b⊥α；
若a?α，b?α，b⊥α?a⊥b，
所以“a⊥b”是“b⊥α”的必要不充分条件.√2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是
A.①② B.②③ C.①④ D.③④123456√解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；
垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；
当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；
当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确.1234563.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，PA＝AB，M，N分别是PC，AB的中点，则下列命题中错误的是
A.MN∥平面PAD B.MN⊥平面PCD
C.平面PCD⊥平面PAD D.平面PAD⊥平面PBC√123456解析 如图，取PD的中点为Q，则易知MQ∥AN且MQ＝AN，所以MN∥AQ，所以MN∥平面PAD，故A正确；
易知CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故C正确；
因为PA＝AD，所以AQ⊥PD.又易知CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD，故B正确；123456过点P作AD的平行线l，则l为平面PAD与平面PBC的交线，且PA⊥l，PB⊥l，所以∠APB即为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角，易求得∠APB＝45°，故D错误.123456√123456解析 连接BD，OB，
则OM∥DB，
∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角.
由已知条件可知PO⊥平面ABCD，1234565.已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：
①若a?α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
②若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
③若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
上述四个命题中，正确命题的序号是________.①④123456解析 对于①，a?α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的判定定理，即可得到a⊥β，又a?α，则α⊥β，故正确；
对于②，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或a与b相交但不垂直，故不正确；
对于③，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确；
对于④，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确.1234566.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(点A′不与点F重合)，则下列命题中正确的是________.(把所有正确的序号都填上)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值.①②③解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大.本课结束 本课结束 第14练 空间点、线、面的位置关系[小题提速练]
题组一 空间线面位置关系的判断
要点重组 判断空间点、线、面的位置关系，主要依据四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如果要否定一结论，只需找到一个反例即可．
1．(2019·潍坊模拟)设α，β为两个不同平面，直线m?α，则“α∥β”是“m∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若α∥β，m?α，则m∥β；反之，若m∥β，且m?α，则α，β可以平行也可以相交，故“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，α∥β，则m∥β
答案 B
解析 若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，α∥β，则m?β或m∥β，故D错误．
3．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交成60°角 D．异面且成60°角
答案 D
解析 如图，直线AB，CD异面．
因为CE∥AB，
所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.
答案 若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)
解析 若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③?②正确；若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α可以相交但不垂直，故①②?③不正确；若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③?①正确．
题组二 空间角的求解
要点重组 (1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置．
(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影．
5．(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.
在△DB′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，
∴cos∠DB1B′＝.
方法二 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.
由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，
∴＝(－1,0，)，
＝(1,1，)，
∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，
||＝2，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
6．已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4，若平面ABC与平面BCD垂直，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 以DB，DC为邻边作平行四边形BDCE，连接DE，AE，如图所示，
易知∠ABE为异面直线AB与CD所成的角．
由条件可得AB＝4，BE＝4，AE＝2，
在△ABE中，由余弦定理得
cos∠ABE＝＝.
7．(2019·渭南模拟)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的表面积为20π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，AE∩CD＝F，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
∴∠CPD为PC与平面PAB所成的角，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴CD＝AE＝3，AF＝AE＝2且F为△ABC所在截面圆的圆心，
∵球O的表面积为20π，
∴球O的半径OA＝，
∴OF＝＝1，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA＝2OF＝2，
∴PD＝＝，
∴tan∠CPD＝＝＝，
故选C.
8．(2019·浙江)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则( )
A．β＜γ，α＜γ B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α D．α＜β，γ＜β
答案 B
解析 由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β＜γ；因为AC?平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α＞β.
题组三 空间点、线、面的综合问题
要点重组 (1)认真审题，并细观所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解；
(2)解决与翻折有关的问题的两个关键
①要明确翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．
②在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′－BCD的体积为
答案 B
解析 若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；
由题干知△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，于是B正确；
由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知，C不正确；
由VA′－BCD＝VC－A′BD＝知，D不正确．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为( )
A．6＋4 B．6＋2
C．3＋4 D．3＋2
答案 A
解析 ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，
∴EF∥AD1∥BC1.
∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，
∴EF∥平面BCC1B1.
由正方体的棱长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2为腰，EF＝2为上底，BC1＝2EF＝4为下底的等腰梯形，故周长为6＋4.
11.(2019·衡中调研)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E，F的平面分别与棱BB1，DD1交于点G，H，设BG＝x，x∈[0，a]．给出以下四个命题：①平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为45°；②四边形EGFH的面积的最小值为a2；③四棱锥C1－EGFH的体积为；④点B1到平面EGFH的距离的最大值为a.其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 平面EGFH与平面ABCD所成角最大为∠D1BD≠45°，故①错误；连接GH，由题意可知四边形EGFH为菱形，故四边形EGFH的面积S＝×EF×GH，又EF＝a，所以要使四边形EGFH的面积最小，只需GH最小，又GHmin＝a，所以四边形EGFH的面积的最小值为a2，故②正确；四棱锥C1－EGFH的体积V＝＋，因为＝×C1F×a＝，点E到平面C1GF的距离为a，所以V三棱锥E－C1GF＝，同理可得V三棱锥E－C1HF＝，所以四棱锥C1－EGFH的体积为，故③正确；因为平面B1D1DB⊥平面EGFH，作B1M⊥GH于点M，则线段B1M的长度即为点B1到平面EGFH的距离，最大值为点B1到D1B的距离，故点B1到平面EGFH的距离的最大值d＝＝，故④正确，综上，真命题共3个．
12.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；
④∠PDA＝45°.
正确的为________．(把所有正确的序号都填上)
答案 ①④
解析 由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，
得AE⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴PB⊥AE，
∴①正确；
由正六边形的性质计算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正确．
1．α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线l，m
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
答案 D
解析 对于A，l，m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l，m应相交．
易错提醒 线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想．
2．已知高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为21π，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为( )
A. B．－ C. D.
答案 A
解析 设此正三棱柱两底面的中心为O1，O2，AB＝a，则球O的球心为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，则4πR2＝4π＝21π，则a＝3.记A1B1，BB1，BC的中点分别为D，E，F，则DE∥A1B，EF∥B1C，则∠DEF为异面直线A1B与B1C所成的角或其补角，通过计算可得DE＝EF＝，DF＝，cos∠DEF＝－，故异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.
易错提醒 两条异面直线所成角求解关键是通过平移作出所求角，要注意两条异面直线所成角的范围是.
1．(2019·临沂模拟)已知直线a，b和平面α，若a?α，b?α，则“a⊥b”是“b⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a?α，b?α，a⊥b?b⊥α；若a?α，b?α，b⊥α?a⊥b，所以“a⊥b”是“b⊥α”的必要不充分条件．
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
答案 B
解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．
3．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，PA＝AB，M，N分别是PC，AB的中点，则下列命题中错误的是( )
A．MN∥平面PAD B．MN⊥平面PCD
C．平面PCD⊥平面PAD D．平面PAD⊥平面PBC
答案 D
解析 如图，取PD的中点为Q，则易知MQ∥AN且MQ＝AN，所以MN∥AQ，所以MN∥平面PAD，故A正确；易知CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，故C正确；因为PA＝AD，所以AQ⊥PD.又易知CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD，故B正确；过点P作AD的平行线l，则l为平面PAD与平面PBC的交线，且PA⊥l，PB⊥l，所以∠APB即为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角，易求得∠APB＝45°，故D错误．
4.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 连接BD，OB，
则OM∥DB，
∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角．
由已知条件可知PO⊥平面ABCD，
OB＝3，PO＝，BD＝2，PB＝2，
在△PBD中，由余弦定理可得
cos∠PDB＝＝＝.
5．已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：
①若a?α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
②若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
③若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
上述四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ①④
解析 对于①，a?α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的判定定理，即可得到a⊥β，又a?α，则α⊥β，故正确；对于②，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或a与b相交但不垂直，故不正确；对于③，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确；对于④，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确．
6.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(点A′不与点F重合)，则下列命题中正确的是________．(把所有正确的序号都填上)
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
答案 ①②③
解析 ①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
