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计数原理 [小题提速练]题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 两个计数原理要点重组 (1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.
(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的.1.在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是
A.120 B.204 C.168 D.216√ 解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，
当数字不含0时，从9个数字中选三个，
则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有 ＝168(个)，
当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，
它们只有递减一种结果，共有 ＝36(个)，
根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有
A.30种 B.27种
C.24种 D.21种√ 解析 由题意知本题需要分类来解答，
首先A选取一种颜色，有3种情况.
如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；
这时最后两个点也有2种情况；
如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；
这时最后两个点有3种情况.
所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法.3.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有
A.9种 B.18种 C.12种 D.36种√ 解析 若种植2块西红柿，
则他们在13,14或24位置上种植，剩下两位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；
同理，若种植2块黄瓜或2块茄子也是6种种植方式，
所以一共有6×3＝18(种)种植方式.4.有一个游戏，盒子里装有大小完全相同，标号分别为1,2,3,4,5,6的6张牌，甲、乙两人轮流摸牌(不放回)，规定如下：第一次由甲先摸，乙后摸，并称为一轮，然后下一轮开始由牌号大的人先摸.若第一轮甲、乙分别摸到2和3，第三轮由甲先摸，则在第二轮中甲、乙摸牌的所有可能情况的种数为________.6解析 由题意可知第三轮由甲先摸，
说明第二轮的结果应是甲的牌号大，
而第一轮摸出2张牌后只剩下4张不同的牌，
所以在第二轮中甲的牌号大的情况有6种，
即在第二轮中甲、乙摸牌的情况共有6种.题组二 排列、组合要点重组 (1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步.
(2)排列组合问题的常用解法
①特殊元素(特殊位置)优先安排法；
②相邻问题捆绑法；
③不相邻问题插空法；
④定序问题缩倍法.√ 5.(2019·衡水调研卷)将5个字母a，a，b，b，c排成一列，则不同的排法种数为
A.60 B.48 C.36 D.30解析 先设置好5个位置，相当于将5个字母填入5个位置，
首先从5个位置中选2个放字母a，a，
然后从剩余3个位置中选2个放字母b，b，剩余1个即为c，6.(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)167.(2019·100所名校联考)某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车中甲与乙必须相邻的不同检测顺序有________种.2888.(2019·衡水信息卷)某市委巡视组决定将9名干部(7男2女)分成3个小组，分别安排到该市甲、乙、丙三个县去巡察工作，若要求每组至少2人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有________种.11 172故不同的派遣方案共有1 680＋2 142＋7 350＝11 172(种).题组三 二项式定理要点重组 (1)求二项展开式的特定项的实质是通项Tk＋1＝ 的应用，可通过确定k的值再代入求解.
(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.
(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，
A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足28令8－4k＝0可得k＝2，5当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.11.(2019·临沂模拟)(2x＋y)(x－2y)5展开式中x3y3的系数为________.－120故x3y3的系数为－160＋40＝－120. 12.(2019·郑州模拟)已知a<0，(1＋ax＋x2)5的展开式中含x2项的系数为15，则a＝________.－1解得a2＝1.又a<0，所以a＝－1.易错易混练1.某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为
A.60 B.40 C.120 D.240√所以共有不同的安排方案种数为3×20＝60.易错提醒 平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况.2.已知 n(a为实常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为
A.1 B.±1 C.2 D.±2√解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，易错提醒 解决以上类型的问题，避开陷阱的关键是正确区分两个系数即二项式系数和二项展开式系数，求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝
的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
此外，还需注意以下两点：
①第m项：此时k＋1＝m，即k＝m－1，直接代入通项；
②常数项：该项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0即可.1.某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天.若甲、乙两人需安排在相邻的两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有
A.192种 B.144种 C.96种 D.72种押题冲刺练123456√解析 甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、周五两天，也可以排在周五、周六两天，其他4人要在剩下的四天全排列，2. 8展开式中含x5项的系数为
A.1 071 B.－1 071 C.1 120 D.－1 120123456√1234563.已知(ax－1)2(x＋2)5的展开式中含x3项的系数为－40，则展开式中所有项的系数和为
A.243 B.4 C.0 D.－243√＝40(2a2－4a＋1)＝－40，
解得a＝1.所以(ax－1)2(x＋2)5＝(x－1)2(x＋2)5，
令x＝1，得展开式中所有项的系数和为0.1234564.由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0，则这样的不同数字代码共有________个.120123456－401234566.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案的种数为________.(用数字作答)96故共有24＋72＝96(种)不同的参赛方案. 本课结束 第16练 计数原理[小题提速练]
题组一 两个计数原理
要点重组 (1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的．
1．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A．120 B．204 C．168 D．216
答案 B
解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C＝36(个)，
根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.
2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有( )
A．30种 B．27种
C．24种 D．21种
答案 A
解析 由题意知本题需要分类来解答，
首先A选取一种颜色，有3种情况．
如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；
这时最后两个点也有2种情况；
如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；
这时最后两个点有3种情况．
所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(种)方法．
3．某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )
1
2
3
4
A.9种 B．18种 C．12种 D．36种
答案 B
解析 若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；同理，若种植2块黄瓜或2块茄子也是6种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．
4．有一个游戏，盒子里装有大小完全相同，标号分别为1,2,3,4,5,6的6张牌，甲、乙两人轮流摸牌(不放回)，规定如下：第一次由甲先摸，乙后摸，并称为一轮，然后下一轮开始由牌号大的人先摸．若第一轮甲、乙分别摸到2和3，第三轮由甲先摸，则在第二轮中甲、乙摸牌的所有可能情况的种数为________．
答案 6
解析 由题意可知第三轮由甲先摸，说明第二轮的结果应是甲的牌号大，而第一轮摸出2张牌后只剩下4张不同的牌，所以在第二轮中甲的牌号大的情况有6种，即在第二轮中甲、乙摸牌的情况共有6种．
题组二 排列、组合
要点重组 (1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步．
(2)排列组合问题的常用解法
①特殊元素(特殊位置)优先安排法；
②相邻问题捆绑法；
③不相邻问题插空法；
④定序问题缩倍法．
5．(2019·衡水调研卷)将5个字母a，a，b，b，c排成一列，则不同的排法种数为( )
A．60 B．48 C．36 D．30
答案 D
解析 先设置好5个位置，相当于将5个字母填入5个位置，首先从5个位置中选2个放字母a，a，然后从剩余3个位置中选2个放字母b，b，剩余1个即为c，故不同的排法种数有C·C＝30.
6．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
方法二 间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种)．
7．(2019·100所名校联考)某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车中甲与乙必须相邻的不同检测顺序有________种．
答案 288
解析 合资品牌有4辆，且甲与乙相邻，所以共有AA种检测顺序，又因为自主品牌不相邻，采用插空法可知有A种检测顺序，因此，根据分步乘法计数原理，共有AAA＝288(种)检测顺序．
8．(2019·衡水信息卷)某市委巡视组决定将9名干部(7男2女)分成3个小组，分别安排到该市甲、乙、丙三个县去巡察工作，若要求每组至少2人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有________种．
答案 11 172
解析 分组的方案有以下三类：①每组3人，此时不同的派遣方案共有CCC＝1 680(种)；②一组2人，一组2人，一组5人，此时不同的派遣方案共有A＝2 142(种)；③一组2人，一组3人，一组4人，此时不同的派遣方案共有(CC－C)A＝7 350(种)，故不同的派遣方案共有1 680＋2 142＋7 350＝11 172(种)．
题组三 二项式定理
要点重组 (1)求二项展开式的特定项的实质是通项Tk＋1＝Can－kbk的应用，可通过确定k的值再代入求解．
(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决．
(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足
9．(2019·天津)8的展开式中的常数项为________．
答案 28
解析 二项展开式的通项Tk＋1＝C(2x)8－kk＝k·28－kCx8－4k，令8－4k＝0可得k＝2，故常数项为2×26×C＝28.
10．(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
答案 16 5
解析 该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
11．(2019·临沂模拟)(2x＋y)(x－2y)5展开式中x3y3的系数为________．
答案 －120
解析 (x－2y)5展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k(－2y)k
＝(－2)kCx5－kyk.
令5－k＝2，得k＝3，则2×(－2)3C＝－160，
令5－k＝3，得k＝2，则(－2)2C＝40.
故x3y3的系数为－160＋40＝－120.
12．(2019·郑州模拟)已知a<0，(1＋ax＋x2)5的展开式中含x2项的系数为15，则a＝________.
答案 －1
解析 (1＋ax＋x2)5的展开式中含x2的项为C(ax)2＋Cx2，所以Ca2＋C＝15，解得a2＝1.又a<0，所以a＝－1.
1．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )
A．60 B．40 C．120 D．240
答案 A
解析 由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法．
再将两组安排在其中的两个部门，有A＝20(种)不同的安排方案，
所以共有不同的安排方案种数为3×20＝60.
易错提醒 平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况．
2．已知n(a为实常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案 C
解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·k＝akC ，令＝0，得k＝3，则其常数项为Ca3，根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
易错提醒 解决以上类型的问题，避开陷阱的关键是正确区分两个系数即二项式系数和二项展开式系数，求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
此外，还需注意以下两点：
①第m项：此时k＋1＝m，即k＝m－1，直接代入通项；
②常数项：该项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0即可．
1．某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天．若甲、乙两人需安排在相邻的两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( )
A．192种 B．144种 C．96种 D．72种
答案 B
解析 甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、周五两天，也可以排在周五、周六两天，所以甲、乙两人的安排方式共有CA＝6(种)，其他4人要在剩下的四天全排列，所以所有人的安排方式共有6A＝6×24＝144(种)．
2.8展开式中含x5项的系数为( )
A．1 071 B．－1 071 C．1 120 D．－1 120
答案 C
解析 Tk＋1＝C(2x2)8－k(－1)k()k＝(－1)kC28－k·，令16－k＝5，解得k＝4.所以展开式中含x5项的系数为C24＝1 120.
3．已知(ax－1)2(x＋2)5的展开式中含x3项的系数为－40，则展开式中所有项的系数和为( )
A．243 B．4 C．0 D．－243
答案 C
解析 (x＋2)5展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k2k，所以(ax－1)2(x＋2)5的展开式中含x3项的系数为a2C×24－2aC×23＋C×22＝40(2a2－4a＋1)＝－40，解得a＝1.所以(ax－1)2(x＋2)5＝(x－1)2(x＋2)5，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为0.
4．由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0，则这样的不同数字代码共有________个．
答案 120
解析 C＝120.
5．(x＋3)5的展开式中的常数项等于________．
答案 －40
解析 5展开式的通项
Tk＋1＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－kCx5－2k，
所以(x＋3)·5的展开式中的常数项为
(－1)3·22C＝－40.
6．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案的种数为________．(用数字作答)
答案 96
解析 根据题意，分2种情况讨论：
①选出的4人中没有甲，有A＝24(种)方案；
②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A＝24(种)方案，则此时共有3×24＝72(种)方案．
故共有24＋72＝96(种)不同的参赛方案．
