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解析几何 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.直线方程有哪几种形式？答案 (1)点斜式方程：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k).
(2)斜截式方程：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k).(5)一般式方程：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0).答案 ①l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；
②l1与l2重合?k1＝k2，b1＝b2；
③l1⊥l2?k1k2＝－1；
④l1与l2相交?k1≠k2.2.(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，两直线有几种位置关系？如何判断？(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，A2，B1，B2，C1，C2都不为零)有几种位置关系？如何判断？③l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；3.三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，x2)两点的距离
?
|AB|＝ .
?
(2)点到直线的距离d＝ (其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0).
(3)两平行线间的距离d＝ (其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0).(3)圆与圆位置关系有五种：令|O1O2|＝d3，则d3＝|r1－r2|?内切，0＜d3＜|r1－r2|?内含，d3＞r1＋r2?外离，d3＝r1＋r2?外切，|r1－r2|＜d3＜r1＋r2?相交.5.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质y2＝2px|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)e＝1(0＜e＜1)(e＞1)牢记常用结论(1)四种常用直线系方程
①定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(除直线x＝x0)，其中k是待定系数.
②共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(除直线l2)，其中λ是待定系数.
③平行直线系方程：直线y＝kx＋b中，当k一定、b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，C1是变量.
④垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋C2＝0，C2是变量.1.(图形考虑不全致误)
若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为 ，则点P的坐标为
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2，－1) D.(2,1)或(－1,2)精练易错考点1234567891011√12化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，
故点P的坐标为(1,2)或(2，－1).123456789101112√1234567891011121234567891011√12123456789101112在x轴上的顶点为(±2,0).
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.81234567891011√12解析 由双曲线的方程得a＝1，c＝ ，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2 )2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.123456789101112√123456789101112∴m2－2＝n2＋1，
∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，解得m＝2，n＝1，∴c2＝m2－2＝n2＋1＝2，123456789101112√1234567891011121234567891011127.(面积计算不当致误)
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若△AOB的面积为4，则|AB|等于
A.6 B.8 C.12 D.16又AB为过焦点的弦，所以y1y2＝－4.√123456789101112√1234567891011121234567891011129.(直线倾斜角概念不清易误)
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(2，－1)，如果直线l：y＝kx＋k＋2与线段AB
总是相交，那么直线l的倾斜角的取值范围是_______________.123456789101112解析 如图，直线l过定点C(－1,2)，直线l与线段AB相交，
kAC＝1，kBC＝－1，10.(最值计算思路不明致误)
已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支
上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________.123456789101112123456789101112解析 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，当F1，P，F2三点不共线时，
在△PF1F2中，由余弦定理得1234567891011121234567891011122123456789101112解析 如图所示，设F为焦点，易知F(2,0)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，
由|MP|＝|AP|，得∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，
又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，
所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，12.(2019·湘赣十四校联考)在直角坐标平面中，已知△ABC的顶点A(－2,0)，B(2,0)，C为平面内的动点，且sin Asin B＋3cos C＝0.
(1)求动点C的轨迹Q的方程；123456789101112解 方法一 设C(x，y)，
由已知sin A·sin B＋3cos C＝0.123456789101112方法二 设C(x，y)，由已知sin A·sin B＋3cos C＝0.
∴sin Asin B－3cos(A＋B)＝0，
即4sin Asin B－3cos Acos B＝0，123456789101112又A(－2,0)，B(2,0)，(2)设过点F(1,0)且不垂直于x轴的直线l与Q交于P，R两点，点P关于x轴的对称点为S，证明：直线RS过x轴上的定点.123456789101112证明 由(1)知，过点F(1,0)的直线l的斜率为0时与Q无交点，不合题意.
故可设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，代入Q的方程得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0恒成立.
设P(x1，y1)，R(x2，y2)(x1≠x2)，则S(x1，－y1)，123456789101112123456789101112∴直线RS过x轴上的定点(4,0). 本课结束 热点回扣5 解析几何
1．直线方程有哪几种形式？
答案 (1)点斜式方程：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k)．
(2)斜截式方程：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k)．
(3)两点式方程：＝(直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且y1≠y2，x1≠x2)．
(4)截距式方程：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，a，b≠0)．
(5)一般式方程：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，两直线有几种位置关系？如何判断？
(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，A2，B1，B2，C1，C2都不为零)有几种位置关系？如何判断？
答案 (1)①l1∥l2?k1＝k2，b1≠b2；②l1与l2重合?k1＝k2，b1＝b2；③l1⊥l2?k1k2＝－1；④l1与l2相交?k1≠k2.
(2)①l1∥l2?＝≠；②l1与l2重合?＝＝；
③l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0；④l1与l2相交?≠.
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，x2)两点的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
4．已知点P(x0，y0)与圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2.则点与圆、直线与圆、圆与圆分别有几种位置关系？如何判断？
答案 (1)点与圆的位置关系有三种：令d1＝，则d1＞r1?点P在圆O1外，d1＝r1?点P在圆O1上，d1＜r1?点P在圆O1内．
(2)直线与圆的位置关系有三种，可用几何法和代数法判断：令d2＝，直线与圆方程联立后得到的一元二次方程的判别式为Δ，则d2＞r2?相离?Δ＜0，d2＝r2?相切?Δ＝0，d2＜r2?相交?Δ＞0.
(3)圆与圆位置关系有五种：令|O1O2|＝d3，则d3＝|r1－r2|?内切，0＜d3＜|r1－r2|?内含，d3＞r1＋r2?外离，d3＝r1＋r2?外切，|r1－r2|＜d3＜r1＋r2?相交．
5．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)
|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
y2＝2px(p＞0)
图形
几何性质
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝＝(0＜e＜1)
e＝＝(e＞1)
e＝1
准线
x＝－
渐近线
y＝±x
(1)四种常用直线系方程
①定点直线系方程：经过定点P0(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(除直线x＝x0)，其中k是待定系数．
②共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(除直线l2)，其中λ是待定系数．
③平行直线系方程：直线y＝kx＋b中，当k一定、b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，C1是变量．
④垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋C2＝0，C2是变量．
(2)弦长公式
若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b(k≠0)上，则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|.
(3)双曲线的方程与渐近线方程的关系：若双曲线方程为－＝1，则渐近线方程为－＝0?y＝±x.派生公式：若渐近线方程为y＝±x?±＝0，双曲线可设为－＝λ，λ≠0.
(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：①|AB|＝x1＋x2＋p；②y1y2＝－p2，x1x2＝.
(5)抛物线y2＝2px(p＞0)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为2p；椭圆＋＝1(a＞b＞0)的通径长为.
1．(图形考虑不全致误)
若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案 C
解析 设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
2．(位置关系表示不当易错)
直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，由|MN|≥2，得2≤2，所以d2≤1，即8k2＋6k≤0，解得－≤k≤0.
3．(曲线方程中几何性质不清易错)
以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－＝1.
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
5．(2019·丰台区模拟)已知F1，F2为椭圆M：＋＝1和双曲线N：－y2＝1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为( )
A. B．1 C. D.
答案 B
解析 ∵F1，F2为椭圆M：＋＝1和双曲线N：－y2＝1的公共焦点，∴m2－2＝n2＋1，
∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，
∴＝(不妨设m＞0，n＞0)．
解得m＝2，n＝1，∴c2＝m2－2＝n2＋1＝2，
∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为×＝1.
6．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立解得或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
7．(面积计算不当致误)
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|等于( )
A．6 B．8 C．12 D．16
答案 D
解析 设A，B，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝|OF|·|AB|＝2，不满足题意．又AB为过焦点的弦，所以y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得|y1－y2|×1＝4，所以y＋y＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝16.
8．(椭圆类型考虑不全易误)
“0A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 方程＋＝1表示椭圆，
即解得0所以“09．(直线倾斜角概念不清易误)
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(2，－1)，如果直线l：y＝kx＋k＋2与线段AB总是相交，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．
答案 ∪
解析 如图，直线l过定点C(－1,2)，直线l与线段AB相交，
kAC＝1，kBC＝－1，
结合图形可知直线l的倾斜角的取值范围是∪.
10．(最值计算思路不明致误)
已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
答案
解析 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a.
当F1，P，F2三点共线时，2c＝|PF1|＋|PF2|＝a，
此时e＝＝；
当F1，P，F2三点不共线时，
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－e2，
又－1解得1所以e的取值范围为，即e的最大值为.
11．(平面图形性质挖掘不透易错)
已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝________.
答案 2
解析 如图所示，设F为焦点，易知F(2,0)，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，由|MP|＝|AP|，得∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.
12．(2019·湘赣十四校联考)在直角坐标平面中，已知△ABC的顶点A(－2,0)，B(2,0)，C为平面内的动点，且sin Asin B＋3cos C＝0.
(1)求动点C的轨迹Q的方程；
(2)设过点F(1,0)且不垂直于x轴的直线l与Q交于P，R两点，点P关于x轴的对称点为S，证明：直线RS过x轴上的定点．
(1)解 方法一 设C(x，y)，
由已知sin A·sin B＋3cos C＝0.
∴＋3×＝0.
∴y2＋3×＝0(y≠0)．
化简得点C的轨迹Q的方程为＋＝1(y≠0)．
方法二 设C(x，y)，由已知sin A·sin B＋3cos C＝0.
∴sin Asin B－3cos(A＋B)＝0，
即4sin Asin B－3cos Acos B＝0，
∴tan A·tan B＝.
∴kAC·kBC＝－tan A·tan B＝－，
又A(－2,0)，B(2,0)，
∴直线AC的斜率kAC＝(x≠－2)，直线BC的斜率kBC＝(x≠2)，
×＝－(x≠－2且x≠2)．
化简得点C的轨迹Q的方程为＋＝1(x≠－2且x≠2)．
(2)证明 由(1)知，过点F(1,0)的直线l的斜率为0时与Q无交点，不合题意．
故可设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，代入Q的方程得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0恒成立．
设P(x1，y1)，R(x2，y2)(x1≠x2)，则S(x1，－y1)，
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∴直线RS：y＋y1＝(x－x1)．
令y＝0，得x＝＋x1＝
＝＝
＝＋1＝＋1＝4.
∴直线RS过x轴上的定点(4,0)．
