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概率与统计 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.排列数、组合数公式，组合数的性质
(1)排列数公式：
＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)
＝ (m≤n).
规定：0！＝ .
(2)组合数公式：
规定： ＝ .
(3)组合数性质： ＝ ， ＝ .1____________________＝______________.12.二项式定理及二项展开式的通项公式
二项式定理：
(a＋b)n＝ .
二项展开式的通项：Tk＋1＝ (k＝0,1，…，n).
3.二项式系数的性质
为二项式系数(区别于该项的系数)，其性质：
(1)对称性： ＝ (k＝0,1,2，…，n).
(2)系数和： ＝ ， ＝ .2n－12n(3)最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第________项；
二项式系数为___；n为奇数时，(n＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第
_____项及第__________项，其二项式系数为 及 .4.随机事件之间的关系有哪些？答案 (1)必然事件Ω，P(Ω)＝1；
不可能事件?，P(?)＝0.
(2)包含关系：A?B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A＋B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件.
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件.
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A，事件B互斥，P(AB)＝0.5.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式P(A) .
(2)几何概型的概率计算公式P(A)＝
(3)若A，B互斥，则P(A＋B)＝ .P(A)＋P(B)(5)若A，B相互独立，则P(AB)＝ .P(A)·P(B)6.离散型随机变量的期望与方差
E(X)＝ .
D(X)＝ .
7.常用的抽样方法有哪几种？x1p1＋x2p2＋…＋xnpn[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn答案 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.8.统计中有哪些数字特征？答案 众数、中位数、平均数、极差、方差(标准差).10.独立性检验
利用随机变量K2＝ 来判断“两个分类变量有关系”的方法
称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.
11.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).X落在三个特殊区间的概率为：(1)P(μ－σ(3)P(μ－3σ①特殊元素优先安排.②合理分类与准确分步.③排列、组合混合问题先选后排.④相邻问题捆绑处理.⑤不相邻问题插空处理.⑥定序问题排除法处理.⑦分排问题直排处理.⑧“小集团”排列问题先整体后局部.⑨构造模型.⑩正难则反，等价条件.
(2)若η＝aξ＋b(a，b为常数)，则E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若ξ服从两点分布，则E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p).(3)古典概型中基本事件个数的确定方法(4)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.(5)相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.1.(事件关系不清易错)
设命题甲：“事件A与事件B是对立事件”，命题乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件精练易错考点1234567891011√12123456789101112解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.
设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，
事件B：“3次出现正面”，但A，B不是对立事件.1234567891011122.(2019·柳州模拟)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为
A.36 B.72 C.24 D.48√解析 根据题意，分2步进行分析，1234567891011√12123456789101112解析 由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，
因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，
即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，
又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈A∪B”，
则事件E包含9个基本事件，4.(面积关系不清易错)
在平面直角坐标系中，圆O被y＝sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为123456789101112√即大圆的半径为3，设“此点投放到‘鱼眼’部分”为事件A，123456789101112√6.(2019·湘赣十四校联考)如图是某市2019年3月1日至3月16日的空气质量指数折线统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量下列说法不正确的是
A.出现过连续4天空气质量重度污染
B.空气重度污染的频率为0.5
C.空气质量指数的平均值小于200
D.相邻两天空气质量指数之差的最大值195123456789101112√123456789101112解析 12日、13日、14日、15日连续4天空气重度污染，故A正确；
＋(－62)＋14＋21＋63＋23＋(－8)]＜200(也可根据图形判断，8个数据大于200,8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大)，故C正确；
相邻两天空气质量指数之差的最大值为7日和8日之差260－83＝177，故D不正确.1234567891011127.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是
A.5 B.6 C.7 D.8解析 由甲组学生成绩的平均数是88，
可得 [70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m＋5)]＝88，
解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.√1234567891011128.(频率分布直方图意义不清易错)
某地区为了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若a∶b＝7，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是
A.35 B.24
C.46 D.65√123456789101112解析 因为10(a＋b)＝1－10×(0.010＋0.020＋0.030)＝0.4，
所以a＋b＝0.04，
又a∶b＝7，由两式解得a＝0.035，
所以身高落在[110,130)内的频率为10×(0.035＋0.030)＝0.65，
所以身高落在[110,130)范围内的学生人数为100×0.65＝65.1234567891011129.(概型理解错误)
从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若
xy≥k(k＞0)的概率为 ，则k的最大值是________.2解析 因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}，
所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，
所以集合M中元素的个数为5×5＝25.
因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，其余情况均为xy≤0，
所以要使xy≥k(k＞0)的概率为 ，需1＜k≤2，所以k的最大值为2.10.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示.1234567891011125.25123456789101112解析 本题考查线性回归方程.当x＝7时，估计y的值为0.7×7＋0.35＝5.25.11.(2019·天津模拟)点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为 每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.
(1)求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；123456789101112解 设“四人中恰有k人获赠16元代金券”为事件Ak，其中k＝0,1,2,3,4.123456789101112(2)这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X，Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望.123456789101112解 随机变量ξ的所有可能取值为0,3,4.
P(ξ＝0)＝P(A0)＋P(A4)P(ξ＝3)＝P(A1)＋P(A3)∴随机变量ξ的分布列为12.(2019·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图.123456789101112解 该组数据的平均数123456789101112因为0.03＋0.1＋0.2＝0.33<0.5，
0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，
所以中位数a∈[8.5,9.5)，
由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7,5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会.
①你认为这9个名额应该怎么分配？并说明理由；123456789101112解 从每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，从每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名.
理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1,0.2，所以按照1∶2进行名额分配.123456789101112②座谈中发现9名学生中理工类专业的较多，请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否为理工类专业”有关？123456789101112临界值表：123456789101112解 由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03＋0.1＋0.2)＝66(人)，超过8.5小时的共有200－66＝134(人).
于是列联表为：123456789101112所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否为理工类专业”有关. 本课结束 热点回扣6 概率与统计
1．排列数、组合数公式，组合数的性质
(1)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)
＝(m≤n)．
规定：0！＝1.
(2)组合数公式：
C＝＝
＝.
规定：C＝1.
(3)组合数性质：C＝C，C＝C＋C.
2．二项式定理及二项展开式的通项公式
二项式定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn.
二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…，n)．
3．二项式系数的性质
C为二项式系数(区别于该项的系数)，其性质：
(1)对称性：C＝C(k＝0,1,2，…，n)．
(2)系数和：C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…
＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(3)最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第项；二项式系数为；n为奇数时，(n＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第项及第项，其二项式系数为及
4．随机事件之间的关系有哪些？
答案 (1)必然事件Ω，P(Ω)＝1；
不可能事件?，P(?)＝0.
(2)包含关系：A?B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A＋B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件．
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件．
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A，事件B互斥，P(AB)＝0.
(6)对立事件：A∪＝Ω，A∩＝?.
(7)独立事件：事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，事件A与事件B独立，则A与，与B，与也相互独立．
5．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝＝.
(2)几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
(3)若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(4)P(A)＝1－P()．
(5)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．
(6)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率Pn(k)＝Cpk·(1－p)n－k.
(7)条件概率：P(A|B)＝，
P(B|A)＝.
6．离散型随机变量的期望与方差
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn.
7．常用的抽样方法有哪几种？
答案 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
8．统计中有哪些数字特征？
答案 众数、中位数、平均数、极差、方差(标准差)．
9．线性回归
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
10．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
11．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．X落在三个特殊区间的概率为：(1)P(μ－σ(3)P(μ－3σ(1)排列、组合问题的求解方法与技巧
①特殊元素优先安排．②合理分类与准确分步．③排列、组合混合问题先选后排．④相邻问题捆绑处理．⑤不相邻问题插空处理．⑥定序问题排除法处理．⑦分排问题直排处理．⑧“小集团”排列问题先整体后局部．⑨构造模型．⑩正难则反，等价条件．
(2)若η＝aξ＋b(a，b为常数)，则E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若ξ服从两点分布，则E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．
(3)古典概型中基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
(4)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
(5)相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
1．(事件关系不清易错)
设命题甲：“事件A与事件B是对立事件”，命题乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
2．(2019·柳州模拟)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为( )
A．36 B．72 C．24 D．48
答案 A
解析 根据题意，分2步进行分析，
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有＝6(种)分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有A＝6(种)情况，则一共有6×6＝36(种)不同的问卷调查方案．
3．(基本事件不明易错)
已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈A∪B”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈A∪B”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝＝.
4.(面积关系不清易错)
在平面直角坐标系中，圆O被y＝sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由函数y＝sin?x的图象可得函数的周期为＝6，即大圆的半径为3，设“此点投放到‘鱼眼’部分”为事件A，由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝＝.
5．(二项式定理概念不清)
(2019·巢湖模拟)8(ax－1)展开式中含项的系数为21，则实数a的值为( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
答案 A
解析 8的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck·，令＝－，求得k＝3；令＝，求得k＝(不合题意，舍去)．故展开式中含项的系数为C3·a＝21，则实数a＝3.
6．(2019·湘赣十四校联考)如图是某市2019年3月1日至3月16日的空气质量指数折线统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量下列说法不正确的是( )
A．出现过连续4天空气质量重度污染
B．空气重度污染的频率为0.5
C．空气质量指数的平均值小于200
D．相邻两天空气质量指数之差的最大值195
答案 D
解析 12日、13日、14日、15日连续4天空气重度污染，故A正确；这16日空气重度污染的频率为＝0.5，故B正确；＝200＋[14＋75＋43＋(－43)＋(－120)＋(－48)＋60＋(－117)＋(－40)＋(－21)＋(－62)＋14＋21＋63＋23＋(－8)]＜200(也可根据图形判断，8个数据大于200,8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大)，故C正确；相邻两天空气质量指数之差的最大值为7日和8日之差260－83＝177，故D不正确．
7.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 由甲组学生成绩的平均数是88，可得[70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m＋5)]＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
8．(频率分布直方图意义不清易错)
某地区为了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若a∶b＝7，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是( )
A．35 B．24 C．46 D．65
答案 D
解析 因为10(a＋b)＝1－10×(0.010＋0.020＋0.030)＝0.4，
所以a＋b＝0.04，
又a∶b＝7，由两式解得a＝0.035，
所以身高落在[110,130)内的频率为10×(0.035＋0.030)＝0.65，
所以身高落在[110,130)范围内的学生人数为100×0.65＝65.
9．(概型理解错误)
从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k＞0)的概率为，则k的最大值是________．
答案 2
解析 因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，其余情况均为xy≤0，所以要使xy≥k(k＞0)的概率为，需1＜k≤2，所以k的最大值为2.
10．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋.若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为______吨．
答案 5.25
解析 本题考查线性回归方程．由题意得＝4.5，＝3.5，代入线性回归方程得3.5＝0.7×4.5＋，解得＝0.35，则线性回归方程为＝0.7x＋0.35.当x＝7时，估计y的值为0.7×7＋0.35＝5.25.
11．(2019·天津模拟)点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．
(1)求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；
(2)这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X，Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设“四人中恰有k人获赠16元代金券”为事件Ak，其中k＝0,1,2,3,4.
则由P(Ak)＝Ck4－k.
得P＝P(A0)＋P(A1)＝C04＋C1·3＝＋＝＝.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,3,4.
P(ξ＝0)＝P(A0)＋P(A4)
＝C04＋C40＝，
P(ξ＝3)＝P(A1)＋P(A3)
＝C13＋C31＝，
P(ξ＝4)＝P(A2)＝C22＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
3
4
P
ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋3×＋4×＝.
12．(2019·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的平均数和中位数a(a的值精确到0.01)；
(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7,5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．
①你认为这9个名额应该怎么分配？并说明理由；
②座谈中发现9名学生中理工类专业的较多，请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否为理工类专业”有关？
阅读时间不足8.5小时
阅读时间超过8.5小时
总计
理工类专业
40
60
非理工类专业
总计
附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．
临界值表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)该组数据的平均数
＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9.
因为0.03＋0.1＋0.2＝0.33<0.5，
0．03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，
所以中位数a∈[8.5,9.5)，
由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a＝＋8.5≈8.99.
(2)①从每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，从每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．
理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1,0.2，所以按照1∶2进行名额分配．
②由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03＋0.1＋0.2)＝66(人)，超过8.5小时的共有200－66＝134(人)．
于是列联表为：
阅读时间不足8.5小时
阅读时间超过8.5小时
总计
理工类专业
40
60
100
非理工类专业
26
74
100
总计
66
134
200
K2的观测值k＝≈4.432＞3.841，
所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否为理工类专业”有关．
